第05講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

證明函數(shù)的對(duì)稱性

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第18題,17分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用不等式求取值范圍

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值

3能進(jìn)行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式

【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1基本方法

核心知識(shí)點(diǎn)「知識(shí)點(diǎn)2常見類型

考點(diǎn)1直接法證明簡(jiǎn)單不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)2構(gòu)造函數(shù)證明不等式

考點(diǎn)3轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)類型證明不等式

核心考點(diǎn)考點(diǎn)4數(shù)列類型不等式的證明

考點(diǎn)5三角函數(shù)類型不等式的證明

考點(diǎn)6切線放縮法證明不等式

知識(shí)講解

1.基本方法

在不等式構(gòu)造或證明的過程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與e*、Inx有關(guān)的常用

不等式等方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行證明.

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；

(3)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

(4)構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

2.常見類型

與e*有關(guān)的常用不等式:

(1)er>1+x(xeR)；(2)ex>ex(XGR).

與Inx有關(guān)的常用不等式:

■X—1

(1)----WlnxW%—1(%>0)；(2)--<lnx<—%(x>0)；

Xexe

2(x-l)

(3)lnx<------(0<x<l),lnx>———L(x>\)；

x+\x+1

(4)(x>l).

用x+1取代X的位置，相應(yīng)的可得到與ln(x+l)有關(guān)的常用不等式.

考點(diǎn)一、直接法證明簡(jiǎn)單不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))求證：

X

2.(2022高三?浙江?專題練習(xí))證明以下不等式:

(l)ex>x+l;

(2)lnx<x-l；

⑶eflna+l).

1.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))求證:

(l)ex>x2+l(x>0)；

(2)ex>ex;

⑶e"2ex+(x—球(x>0).

考點(diǎn)二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知為正實(shí)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)〃力=—吟.若曲線y=〃x)在點(diǎn)處

CUC十D

的切線方程為y=：(依-5).

(1)求a+b的值；

,21

(2)求證：/(%)>-------.

'x+1尤

2.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=a(x+a)—InxSeR)

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>31na+2

3.(2024?山東濟(jì)南?二模)已知函數(shù)/(*)=依2-lnx-Lg(x)=xeX-<zc2(aeR)?

⑴討論〃龍)的單調(diào)性;

(2)證明:/(x)+g(x)>x.

1.(2024?河北?三模)已知函數(shù)/(x)=cosx+2x.

⑴當(dāng)xe(-co,0)時(shí)，證明：/(x)<eA.

⑵若函數(shù)g(x)=ln(x+l)+e=〃x),試問：函數(shù)g("是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

0.2.(2024?河北保定三模)已知函數(shù)=1ax+lnx,x=l為/'(x)的極值點(diǎn).

⑴求a；

(2)證明：f(x)<2x2-4x.

3.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃x)=e*+(a-l)x-l,其中aeR.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，證明：/(x)>xlnx-cosx.

考點(diǎn)三、轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)類型證明不等式

典例引領(lǐng)

1.(全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=a/lnx+*,曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為y=e(x-l)+2.

⑴求。，6(2)證明：/U)>1

1.(2024高三?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=1-Inx+a12x32-ax{aeR).

(1)討論了(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)1=0且％￡(。/)，求證：")+尤--<1.

ex

考點(diǎn)四、數(shù)列類型不等式的證明

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(%)=%*-el

⑴當(dāng)Q=1時(shí)，討論，㈤的單調(diào)性;

(2)當(dāng)％>0時(shí)，f(x)<-1,求。的取值范圍；

111一I、

(3)設(shè)〃wN*,證明：12+I2+???+/〉ln(〃+l).

VI2+1V22+2

2.(2023?天津?高考真題)已知函數(shù)/(尤)=[g+；}n(尤+1).

⑴求曲線y=/(x)在尤=2處的切線斜率;

(2)求證:當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>1；

(3)證明：|<ln(?!)-

3.(2024?北京?三模)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)+%(x+l).

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若y(x)w-i恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍；

ln,n(n

⑶求證：XV,—<—.(且〃22)

4

1.(2024?河北?三模)已知函數(shù)/(%)=彳111了-加+(2a-l)x-a+l(aeR).

⑴若/(x)W0在［1,M)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：—+^—+—1—+---+-^-+—>ln2.

〃+1n+2〃+3n+n4〃

2.(2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無(wú))=(尤+2)ln(尤+1).

⑴證明：x>0時(shí)，/(x)>lx；

?2

(2)證明：ln(M+l)>^—.

M2A:+1

3.(2024?江蘇蘇州?三模)己知函數(shù)/'(x)=cosx,g(x)=a(2-x2).

⑴a=l時(shí),求歹(x)=/(幻-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)若/(尤)Ng(x)恒成立，求實(shí)數(shù)〃的最大值；

⑶求證:^sin］g-3-242)(左eR).

考點(diǎn)五、三角函數(shù)類型不等式的證明

典例引領(lǐng)

1.(2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(x)=e￡-ax2-x,/'(x)為了(元)的導(dǎo)數(shù)

(1)討論了'(x)的單調(diào)性；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(3)若。€卜，(；證明：e""^1+ecose-1+ln(sin<9cos6>)<1.

1.2.3.4.2.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=alnx-x+l(aeR),g(x)=sinx-x.

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

⑵證明：<0(neN*);

(3)證明：In2>sin———I-sin--——i-sin--——I----Fsin—(〃wN*).

n+1n+2〃+3In

1.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sinx-In(sinr),xe(l,2)

⑴求的最小值；

(2)證明：sinx-er-suu-In(sinx)>1.

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/Xx)=2sinx-ax

⑴若函數(shù)在［0,K］內(nèi)點(diǎn)A處的切線斜率為-a(a大0),求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

■JT

⑵①當(dāng)。=1時(shí)，求8。)=/(幻-111。+1)在0,-上的最小值;

O

②證明：；；1n+1

sin+sinH—+sin->ln——(neN,n>2).

n2v7

考點(diǎn)六、切線放縮法證明不等式

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=/一Q+2（4wR）,g（尤）=xe*+3.

⑴求函數(shù)〃元）的極值；

（2）當(dāng)xNO時(shí)，〃x）＜g（x）恒成立，求證：a＞0.

1.（2023高二?上海?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（勸=上/（左為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線

e

y=〃尤）在點(diǎn)（i,f（D）處的切線與x軸平行.

⑴求女的值；

⑵求了（X）的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)g（x）=（y+x）「（x）,其中/'（X）為了（X）的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意x＞0,g（x）＜l+e-2.

1-i-]nx

2.（2023?山東濟(jì)南?一模）已知函數(shù)〃X）=F一.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若a21,求證：＞H+—j（l+lnx）.

IN.好題沖關(guān)

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求證：若XK0,則e、＞l+x.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）證明：當(dāng)0＜無(wú)＜1時(shí)，x_x2＜sinx＜x；

3.（22-23高二下,河北滄州?階段練習(xí)）求證：,,〈冬

Ina-mb2

4.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）討論函數(shù)f（x）=Je，的單調(diào)性，并證明當(dāng)x＞0時(shí)，（%-2）el+^+2＞0.

x+2

]2

5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=xlnx-ox,證明：對(duì)一切xw（0,+oo）,都有In尤+1＞戶--—

成立.

6.（22-23高二下?北京?期中）已知函數(shù)/。）=叱-二

XX

⑴求曲線y=〃尤）在點(diǎn)（L/⑴）處的切線方程;

（2）求證：f（x）＜2x-3.

7.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e，-x(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=1.r12+l34.

⑴求證:/(x)>l；

⑵當(dāng)xN。時(shí)，求證：/(x)2g(x).

8.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))已知”x)=-/")f+x+21nx.

⑴求/'⑴并寫出〃元)的表達(dá)式；

(2)證明：/(%)<x-l.

9.(2023?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)

⑴求的最小值；

47

⑵證明：ln§>五.

10.(2023.廣西南寧?一模)/(x)=x-<21n(l+x),

⑴討論〃%)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)[=1時(shí)，證明〃%)之0；

⑶證明對(duì)于任意正整數(shù)幾，都有—?-----1------1---1------1>21n2.

nn+1n+24n—14〃

1.(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(%)=1!1%+依+1,。€11.

⑴討論“X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，證明：<e2x.

X

2.(2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e'-；x2-x.

⑴求函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程.

⑵證明：VXG[0,-+w),/(x)>sinx.

3.(2024?青海西寧?二模)已知函數(shù)/(%)=%2+(2-2〃)%-2alnx(〃￡R).

⑴若a=2,求〃x)的極值；

(2)^g(^)=/(x)+2a2-2x+ln2x,求證：g(x)>-1.

4.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=-lnx+e，—(e—l)x—l.

⑴求〃x)的最小值；

n，+1

(2)證明:VneN*,ln(n+l)+n<^ez.

Z=1

1.2.3.4.5.(2024?河北邢臺(tái)?二模)己知函數(shù)一(司=墨北+一三一。，

⑴當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)y=/(x)在尤=3處的切線方程；

1

(2)若/(x)Ve二恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶證明：ln(/7+l)!>n+2^+^--(/7>2).

6.(2024三?全國(guó)?專題練習(xí))已知/1(x)=(x-l)e"+]依~.

⑴當(dāng)。=e時(shí)，求“X)的極值；

(2)對(duì)求證：/(無(wú))2：?2+尤+1+111(尤一1).

7.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+a?—武0>0).

(1)討論〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)g(x)=x-ln(l+x),?,證明：g(sina)+g(cosa)<^.

8.(2024?北京昌平?二模)已知函數(shù)“x)=x+￡.

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(o"(o))處的切線方程；

⑵求在區(qū)間[0』上的最小值；

(3)若a>0,當(dāng)x>0時(shí)，求證：/(lna-x)>/(lna+x).

9.(2024?湖南長(zhǎng)沙三模)已知函數(shù)力(力=尤"+尤"7+…+x-l(〃eN+).

⑴判斷并證明力(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

⑵記力(X)在(0,+8)上的零點(diǎn)為乙,求證；

(i)｛七｝是一個(gè)遞減數(shù)列

/..、"+1'nY

(ii)V玉+/+…+%“<萬(wàn)+1?

10.(2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=l-x[(lnx)"-x],aeR.

12

⑴若函數(shù)〃元)在工=-處切線的斜率為一，求實(shí)數(shù)〃的值；

ee

⑵當(dāng)〃=2時(shí)，V]￡[l,+8),/(%)-儂：N0恒成立，求實(shí)數(shù)次的最大值;

〃2

(3)當(dāng)4=2時(shí)，證明：￡/「>ln(2"+l),"eN*.

7-1

1.（2019?北京?高考真題）已知函數(shù)/（無(wú)）=；/一/+尤.

4

（0）求曲線y=/（x）的斜率為1的切線方程；

（團(tuán)）當(dāng)尤w|-2,4］時(shí)，求證：x-6</（x）<x；

（0）設(shè)/（》）="（尤）-0+。）|（。€1<）,記/。）在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M（°）,當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a

的值.

2.（2018■全國(guó)■高考真題）已知函數(shù)〃x）=（2+x+ax2）ln（l+尤）-2x.

（1）若a=0,證明：當(dāng)一l<x<0時(shí)，/（x）<0；當(dāng)x>0時(shí)，/（x）>0；

（2）若x=0是的極大值點(diǎn)，求4.

3.（2018?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)〃尤）=竺?二1.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（。,-1）處的切線方程；

（2）證明：當(dāng)421時(shí)，/（x）+e>0.

4.（2017?浙江?高考真題）已知數(shù)列代｝滿足：占=1,%=%+ln（l+無(wú)

證明：當(dāng)”eN*時(shí)，

（I）0<xn+l<xn.

（H）2""

（“）］■<為</！?

5.（2016?浙江可考真題）設(shè)函數(shù)/（尤）=----,元￡［0,1］.證明：

1+x

（團(tuán)）f（x）>l-x+x2;

33

（團(tuán)）-</?<-.

42

6.（2016?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)/（%）=ln%-%+l.

（團(tuán)）討論/⑺的單調(diào)性；

（團(tuán)）證明當(dāng)光￡（1,+8）時(shí)，

Inx

（團(tuán)）設(shè)c〉l,證明當(dāng)％￡（0,1）時(shí)，l+（c—1）%>心

7.（2015?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)/（%）=言一alnx.

（0）討論的導(dǎo)函數(shù)r（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

2

（團(tuán)）證明：當(dāng)?！?時(shí)/（%）之2〃+aln—.

第05講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

證明函數(shù)的對(duì)稱性

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第18題,17分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

利用不等式求取值范圍

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值

3能進(jìn)行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式

【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

______________知識(shí)點(diǎn)1基本方法

核心知識(shí)點(diǎn)「知識(shí)點(diǎn)2常見類型

考點(diǎn)1直接法證明簡(jiǎn)單不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)2構(gòu)造函數(shù)證明不等式

考點(diǎn)3轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)類型證明不等式

核，心考點(diǎn)考點(diǎn)4數(shù)列類型不等式的證明

考點(diǎn)5三角函數(shù)類型不等式的證明

考點(diǎn)6切線放縮法證明不等式

知識(shí)講解

3.基本方法

在不等式構(gòu)造或證明的過程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與e'、In%有關(guān)的常用

不等式等方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行證明.

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系;

(3)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

(4)構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

4.常見類型

與e1有關(guān)的常用不等式：

(1)ex>1+x(xeR)；(2)ex>ex(XGR).

與In%有關(guān)的常用不等式：

Y-111

(1)----<lnx<x-l(x>0)；(2)---<lnx<-x(x>0)；

2(1)/、2(x-l)

lnx<------(Ovx<l),lnx>------(x>l)；

x+\x+\

lnx>—(0<x<l),lnx<—(x>\).

22

用x+1取代工的位置，相應(yīng)的可得到與ln(x+l)有關(guān)的常用不等式.

考點(diǎn)一、直接法證明簡(jiǎn)單不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024高三，全國(guó)?專題練習(xí))求證：InxNl—-.

【詳解】證明：令/(x)=lnx-1+-(％>0),則廣(%)=—

Y—11

當(dāng)Ovxvl時(shí)，/'(%)=[-<0,函數(shù)/(%)=lnx-1+-單調(diào)遞減;

當(dāng)X>1時(shí)，/'(勸=Y出—一1>0,函數(shù)/(x)=lnx_l+IL單調(diào)遞增

XX

則"X)=Inx-1+4在X=1時(shí)求得最小值/(I)=Ini-1+!=0,

X1

即/(%)=lux-1+J20在(0,+GO)上恒成立，即lux21-J在(0,+8)上恒成立

2.(2022高三?浙江?專題練習(xí))證明以下不等式:

(l)ex>x+l;

(2)lnx<x-l；

(3)e"i>ln(x+l).

【詳解】(1)解:令/(x)=e，—(x+l),則有尸(x)=e-L

令/(無(wú))<0,即然—1<0,解得x<0；

令((x)>0,即解得x>0,

所以/(X)在(-8,0)單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)N/(0)=e°—l=0,即e'-(x+l)20.

所以元+1.

(2)解：^g(x)=lnx-(x-l)(x>0),貝lJg，(x)=L-l.

X

令g'(x)<0,即工一1<0,解得彳>0；

X

令?(尤)>0,即工一1<0,解得0cx<1,

尤

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，(1,y)上單調(diào)遞減，

所以gQ)=g(l)=lnl-(1—1)=0,即Inx-(尤一1)40,

所以InxWx-l.

(3)解：由(1)得e=x+1,所以廣匕(x-l)+l=x(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào))①.

由(2)得InxVx-l,所以ln(x+l)〈(尤+l)-l=x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))②

因?yàn)棰偈脚c②式取等號(hào)的條件不同，所以ei>ln(x+l).

1.(2023高三?全國(guó),專題練習(xí))求證：

(l)ex>x2+l(x>0)；

(2)ex>ex;

⑶e"〉ex+(x—I)?(x>0).

V2+1

【詳解】(1)要證e—f+1,只需證土上Wl,

e

令〃尤)=?(轉(zhuǎn)0),廣⑺=一邛40，

eee

故/(X)在R上單調(diào)遞減，由于/(o)=l,因xNO,

Y24-1

故----<1,貝IJ有(x>o).

ex

⑵令〃尤)=||，尸3=斗旦，

當(dāng)x>i時(shí)，r(x)<o；當(dāng)了<1時(shí)，r(x)>o,

可知/(X)在(-8，1)上單調(diào)遞增；在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以/⑴1mx="1)=1,

故號(hào)41,從而e'&ex成立.

e

⑶令/⑺=(x>0))y，(x)=_(xT)(；+e3),由/口)=0解得：％=3-e,x2=l,

令/'(x)>。，得3-e<x<l,令〃x)<。，得0vx<3-e或x>l

故〃x)在區(qū)間(0,3-e)和(1,+s)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3-e,l)上單調(diào)遞增，

由于〃。)=/(1)=1，

x2

則有e*+(xT)L］對(duì)％目0,y)恒成立,故得：e>er+(x-l)(x>0).

ex

考點(diǎn)二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知為正實(shí)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)若曲線y=/(x)在點(diǎn)處

CUC十u

的切線方程為y=g(依-％).

(1)求a+b的值；

21

⑵求證：-----?

X+1X

【答案】⑴2

⑵證明見解析

【分析】(1)根據(jù)切線方程列出關(guān)于〃,匕的方程組，解方程組即可.

(2)對(duì)要證明的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求解即可.

1ax-ax]nx+b

【詳解】(1)因?yàn)?⑺=-吟,所以尸(x)=

ax+bx(ax+b)2

a+b1

又因?yàn)閺V⑴="⑴=0,

(。+瓦)2a+b

所以曲線I⑶在點(diǎn)處的切線方程為尸占(1)=白，-工

由題意可知曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為y=g(歐-6),

1_a

所以2解得。=>=1(負(fù)值舍去),所以。+6=2.

1_b

、a+b2

Inx

⑵由第1問可知，，⑺=持

要證〃無(wú)絲三-工，即要證"上二-1

x+1Xx+1x+1X

只需證InxH---1^0.

x

1y—1

構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+-,貝i]g'(無(wú))=——,

xx

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，gr(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)尤e(l,+8)時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(無(wú))單調(diào)遞增,

21

所以g(x)疝n=g⑴=1,所以g(x)Nl,所以/(x2—.

x+l尤

2.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=a(x+a)-Inx(awR)

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>31na+2

【答案】⑴答案見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得/'(%),然后分與a>0討論，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由(1)可得的最小值為了(￡|,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f—21nx-l(x>0),轉(zhuǎn)化為g(x)的

最小值大于等于零，即可證明.

【詳解】(1)依題意x>0,f\x)=a--,

X

當(dāng)aW0時(shí)，/r(x)<0,

當(dāng)a>0時(shí)，由r(x)>0得尤〉;，由r(x)<0得0<x<(，

即當(dāng)a<0時(shí)函數(shù)/(X)在(0,+8)是減函數(shù)；

當(dāng)a>0時(shí)在是減函數(shù)，在1,+j是增函數(shù)；

(2)由(1)知當(dāng)a>0時(shí)，/(x)的最小值為/m=l+a2+lna,

1+a2+ina—(3Ina+2)——2InQ—1,

設(shè)g(x)=%2_21nx,

則g，(x)=2x二=2(1)(1),

XX

回函數(shù)g(x)在(0,1)是減函數(shù)，在(1,+8)是增函數(shù)，

即g(x)的最小值為g⑴=『—21111-1=0,即g(x)Ng(l)=0,

回g(a)20,即/(x)的最小值d￡|=l+/+lnaN31na+2,

0/(x)>31na+2.

3.(2024?山東濟(jì)南?二模)已知函數(shù)/(x)=ox2—lnx-l,g(x)=xe￡-ax2(aeRA

⑴討論的單調(diào)性；

(2)證明：f(x)+g(x)>x.

【答案】⑴答案見詳解

⑵證明見詳解

【分析】（1）求導(dǎo)可得尸（x）=牛二L分和a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)單調(diào)性;

（2）構(gòu)建網(wǎng)x）=/（x）+g（x）T,x>0,MxHe-.xX）,根據(jù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理分析網(wǎng)力的

零點(diǎn)和符號(hào)，進(jìn)而可得尸（無(wú)）的單調(diào)性和最值，結(jié)合零點(diǎn)代換分析證明.

【詳解】（1）由題意可得：的定義域?yàn)椋?,+e）,/3=2辦-工=犯?1,

XX

當(dāng)aWO時(shí)，貝ij2ar2-l<0在（0,+/）上恒成立,

可知/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'（x）>0,解得x>令/解得0<x<

2a2a

上單調(diào)遞減，在［修，+。上單調(diào)遞增;

可知“X）在

綜上所述：當(dāng)a<0時(shí)，“X）在（0,+8）上單調(diào)遞減;

\

當(dāng)a>0時(shí)，/（x）在0,上單調(diào)遞減,+。上單調(diào)遞增.

7

(2)構(gòu)建尸(x)=/(x)+g(x)-x=xe"-ln%—%-l,%>。,

則9(x)=(x+l)e-J-l=(x+l)(e-[,

由％>0可知x+l>0,

構(gòu)建h(x\=e*—,x>0,

x

因?yàn)槭琫”,y=-:在(°，+⑹上單調(diào)遞增,則從力在(。,+⑹上單調(diào)遞增,

旦心卜G2(0,/z(l)=e_l)0,

可知/z(x)在(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)七eg,1)

當(dāng)0<了<七，貝即尸'(x)<0；

當(dāng)犬>/，則。(力>。，即尸⑺>0；

可知F(x)在(0,無(wú))上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增,

Ab

貝(JF(x)>F(xo)=xoe-lnx0-x0-l,

又因?yàn)閑'°」=0,則eM=',Xo=eT。，xoef1,lL

x。%(2)

-%0

可得/(玉))=%ox-----Ine-x0-1=0,

即“x"0,所以/(x)+g(x)2x.

1.(2024?河北?三模)已知函數(shù)〃x)=cosx+2x.

⑴當(dāng)XW(YO,0)時(shí)，證明：/(x)<eA.

(2)若函數(shù)g(x)=ln(x+l)+e，-〃x),試問：函數(shù)g(x)是否存在極小值?若存在，求出極小值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴證明見解析

⑵存在；極小值為0.

【分析】(1)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得證；

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】(1)證明：函數(shù)〃x)=cosx+2x定義域?yàn)镽,

令F(x)=ex-2x-cos%,則F\x)=ex-2+sinx=(ex-1)+(sinx-1),

當(dāng)了￡(—oo,0)時(shí)，ex-l<e°-l=o,_Ssinx-l<0,所以尸'(%)<0,

函數(shù)方(x)=e*-2x-cosx在(-oo,0)上單調(diào)遞減，故F(x)>F(0)=0,

即e"-2%-cosx〉0，故e">/(冗)得證.

x

(2)由題意g(%)=ln(%+l)+e"—2%—COSX,%>-1,貝！J=~~+e-2+sinx,x>-1,

x+\

令力(x)=g'(x)=^—+e“-2+sinx,x>-l,貝!Jhr(x)=ex-------+cosx,x>-l

x+1(x+1)

TTTT

當(dāng)xe(O,$時(shí)，h'(x)>0,故函數(shù)/z(x)在(O.])單調(diào)遞增，則心)>〃(0)=0,即，(x)>0,

所以g(M在(吟單調(diào)遞增；

1-11

當(dāng)xe(-l,O)時(shí)，〃(x)單調(diào)遞增，且〃(0)=1>0,又〃(一七)=62+cos(-9)-4<0,

故七°e(-g,O),使得〃(%)=0,

所以當(dāng)了€(無(wú)0,0)時(shí)，〃(力>0,即函數(shù)版尤)在(%,0)上單調(diào)遞增，即〃(x)=g'(x)</7(0)=0,

所以函數(shù)g(x)在(x0,0)上單調(diào)遞減；

兀--11

當(dāng)兀￡[一,+8)時(shí)，ex>e2>2,72>4,--->0,即:----+ex-2+sinx>0,

2x+1x+1

jr

所以函數(shù)g(x)在片,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述，函數(shù)g(x)在(內(nèi),。)上單調(diào)遞減，在(。,+⑹上單調(diào)遞增，

因此，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g(M有極小值，極小值為g(0)=0.

故存在，極小值為0.

2.(2024?河北保定?三模)已知函數(shù)=/-辦+lnx,x=l為/(x)的極值點(diǎn).

⑴求a；

(2)證明：/(X)<2X2-4X.

【答案】⑴3；

(2)證明見解析；

【分析】(1)求導(dǎo)/。)=2%-。+工，由(⑴=0求解；

X

(2)轉(zhuǎn)化為證％2一1一111。20,g(x)=x2-x-lnx,由gQ)*>。證明.

【詳解】(1)解：f\x)=2x-a+~,

X

依題意，/'⑴=2x1-0+1=0,解得”3,

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以"=3；

(2)由(1)可知，/(x)=x2-3x+lnx,

要證/(%)=f-3x+lnx<2x2-4x,BPiiEx2-x-lnx>0,

設(shè)g(x)=%2—%—in%,貝U/(%)=21一］」=(XD(2x+1),

xx

所以當(dāng)X￡(O,1)時(shí)，gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，g'(X)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)兀=1時(shí)，g(x)取得極小值，也是最小值，

因?yàn)間⑴=0，g(x)之g⑴=。，

所以/(%)(2%2一4%.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式往往由/(九)而/0證明.

3.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(同=已》+(々-1)九-1,其中acR.

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃=2時(shí)，證明：/(x)>xhi￥-cosx.

【答案】(1)答案見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)就。21、a<1分類討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性；

(2)原不等式等價(jià)于e'+x+cosx—l—xlnx>0,x￡(0,+oo),當(dāng)OvxWl時(shí)，可由各式符號(hào)證明此不等式成立，

當(dāng)x>l時(shí)，設(shè)g(x)=』+%+co&r—l—jdnx,利用導(dǎo)數(shù)可證明g'(x)>0恒成立，據(jù)此可得g(x)的單調(diào)性，從

而可得原不等式成立.

【詳解】(1),.*/(%)=ex+((2-l)x-l,/./'(%)=ex+tz-l,

當(dāng)〃21時(shí)，r(x)=ex+a-l>0,函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<1時(shí)，由/'(%)=e*+a—1>。，得％>ln(l—a),

函數(shù)八%)在區(qū)間(1口(1-。),+8)上單調(diào)遞增，

由r(x)=e*+a—l<。，得了<ln(l—a),

函數(shù)八%)在區(qū)間(y,ln(l-a))上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)“21時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間.

當(dāng)a<1時(shí)，在(in。-。),+8)上單調(diào)遞增，在(-00,In(1-a))上單調(diào)遞減.

(2)，.,當(dāng)。=2時(shí)，f(x)=ex+x—1,

/.要證/(x)>xlnx-co&x,即證e"+x+cosx-l-xlnx>0,xe(0,+oo),

①當(dāng)0<%Wl時(shí)，???eX+x+cosx-l>0,xlnx<0,

ex+x+cosx—1—xlnx>0；

②當(dāng)x>l時(shí)，令g(x)=eX+%+co&x-l-xlnx,

貝！Jg'(x)=ex-sinx-lnx,設(shè)/z(x)=g'(x),貝U//(%)=ex-cosx--,

Qx>l,/.ex>e>2,-1<--<0,—1<—cosx<1,/zr(x)>0,

x

"(x)在(l,+°o)上單調(diào)遞增，/./z(x)>/z(l)=e-sinl-0>0,即g'(x)>0,

二.g(%)在(L+oo)上單調(diào)遞增，1.g(%)>g⑴=e+cosl>0,

即ex+x+cosx—1—xlnx>0.

綜上，當(dāng)〃=2時(shí)，/(x)>xlnx-cosx.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立，應(yīng)該根據(jù)不等式中含有的函數(shù)的類型進(jìn)行合理的分類討論，

特別是含有三角函數(shù)式時(shí)，可根據(jù)其值域選擇分類討論的標(biāo)準(zhǔn).

考點(diǎn)三、轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)類型證明不等式

典例引領(lǐng)

bpX-l

1.(全國(guó)局考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=a/lnx+〈,曲線y=f(x)在點(diǎn)(Lf(D)處的切線方程為y=e(x-l)+2.

x

⑴求。，6(2)證明：/?>1

【答案】(1)a=l,b=2.(2)詳見解析.

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)求導(dǎo)法則求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是在該點(diǎn)的切線的斜率，結(jié)合

切線方程以及該點(diǎn)的函數(shù)值，將函數(shù)值和切線斜率代入原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)可求得參數(shù)值；(2)由(1)可得f(x)

的解析式，/(x)為多項(xiàng)式，對(duì)要證的不等式進(jìn)行變形，使之成為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系式，再分別利用導(dǎo)函

數(shù)求出兩函數(shù)在定義域內(nèi)的最值，可證得兩函數(shù)的大小關(guān)系，進(jìn)而證得.

試題解析：(1)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)?0,+8),

f\x)=aex\nx+-ex-^^.

XXX

由題意可得/(1)=2,/⑴=e.故口=1,b=2.

2

(2)證明：由(1)知，f(x)=exlnx+-ex~1,

X

2

從而/W>1等價(jià)于x\nx>xe~x--.

e

設(shè)函數(shù)g(%)=Hnx,則g<%)=l+lnx.

所以當(dāng)g&)<0；

當(dāng)xe[j,+oo]時(shí)，g'(x)>0.

故g(x)在,,j上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0,+?)上的最小值為g(；)=1.

2

設(shè)函數(shù)%(%)=枕一”——,貝！|"(%)="'(1一%).

e

所以當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，"%)>。；當(dāng)尤￡(1,+8)時(shí)，”(%)V。.故%(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

從而Mx)在(0,+8)上的最大值為〃⑴=

e

綜上，當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),即上x)>l.

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而證明不等式恒成立.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、不等式的恒成立

和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/■(%)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)

“X)的定義域；②對(duì)〃x)求導(dǎo)；③令/(x)>0,解不等式得x的范圍就是遞增區(qū)間；令尸(力<0,解不

等式得x的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)/(X)的極值及最值(閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函

數(shù)值的大小).本題(2)的證明過程就是利用導(dǎo)數(shù)分別求出g(x)在(0,+?)上的最小值及力(x)在(0,+8)上的

最大值，進(jìn)而得證的.

1.(2024高三?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=l-lnx+a?/-a尤(aeR).

(1)討論AM的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=0且xe(0,l),求證：以蟲+尤-L<1.

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【答案】(1)見解析(2)證明見解析

【分析】(1)函數(shù)/(刈定義域?yàn)?0,+8),求出導(dǎo)函數(shù)，通過。=0,a>0,“<0判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求解函數(shù)

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的單調(diào)區(qū)間；(2)運(yùn)用分析法轉(zhuǎn)化證明，要證，只需證，法一中要證——+x—<1,只需證：