第04講平面向量系數和（等和線、等值線）問題

（高階拓展、競賽適用）

（5類核心考點精講精練）

平面向量與代數、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。

平面向量是有效連接代數和幾何的橋梁，已成為高考數學的一個命題熱點。

近年，高考、模考中有關“系數和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學生在解決此類問題時，

往往要通過建系或利用角度與數量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高，而向量三點共

線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算，數

形結合思想得到了有效體現，同時也為相關問題的解決提供了新的思路，大家可以學以致用

知識講解

如圖，P為AAOB所在平面上一點，過O作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在使得0P=

下面根據點P的位置分幾種情況來考慮系數和x+y的值

①若尸e/時，則射線OP與/無交點，由///AB知，存在實數；I,使得。P=

而AB=08—04,所以=—于是x+y=4U=0

②若尸史/時，

（i）如圖1,當P在/右側時，過P作CD//A6,交射線Q4,0B于C,D兩點,則

\OCD~\OAB,不妨設AOCD與八。43的相似比為女

由P,C,。三點共線可知：存在2eH使得：

OP=WC+(1-2)OD=kWA+左(1—2)08

所以x+y=左2+左(1-2)=左

<ii)當P在/左側時，射線0P的反向延長線與A5有交點，如圖工作P關于。的對稱點P,由(i)

的分析知：存在存在R使得：

OP'=WC+(1-=kWA+(1-2)OB

所以OP'=-kWA+-(1-2)(98

于是x+y=-kA+-k(l-A.)=-k

綜合上面的討論可知：圖中0P用。A。3線性表示時，其系數和九+y只與兩三角形的相似比有關。

我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。

因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過。作A3邊的垂線

設點P在/'上的射影為P,直線/'交直線AB于點則I止除^(女的符號由點P的位置確定)，因

此只需求出|的范圍便知x+y的范圍

考點一、“x+y”或以+〃”型綜合

典例引領

1.(全國?高考真題)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=^

AB+〃AD，則4+〃的最大值為

A.3B.2&C.75D.2

【答案】A

【法一：系數和】，分析：如圖，

由平面向量基底等和線定理可知，當等和線/與圓相切時，2+〃最大，此時

AB+BE+EF

4+〃=竺—=3,故選A.

ABABAB

【法二：坐標法】詳見解析版

2,（衡水中學二模）邊長為2的正六邊形A5CDE尸中，動圓。的半徑為1,圓心在線段（含短點）上運

動，尸是圓。上及其內部的動點，設向量24尸=機43+〃24尸（根,〃￡尺），則m+〃的取值范圍是（）

A（l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

分析:如圖，設AP=〃?AB+/AF,由等和線結論，機+〃="=乙竺=2.此為相+〃的最小值;

ABAB

AH

同理，設4尸=根48+〃4/，由等和線結論,m+n==5.此為租+〃的最大值.

AB

綜上可知工+幾￡[2,5].

1.在矩形ABCD中，AB=IAD=2,動點P在以點。為圓心且與相切的圓上,

若AP=AAB+,則之+〃的最大值為（）

A3B2>/2CV5D2

2.如圖，正六邊形ABCDEF,P是ACDE內（包括邊界）的動

點，設AP=aA8+/AR（a,，eR）,則a+夕的取值范圍是

3.如圖在直角梯形A3CD中，AB//CD,AB±AD,AD=DC=1,AB=3,動點P在以C為圓心,

且與直線3。相切的圓內運動，^AP=aAD+BAB（a,/3eR）

則a+萬的取值范圍是

3.在，ABC中，A3=6,8c=8,ABJ.BC,M是.MC外接圓上一動點，AM=A.AB+juAC,則義+〃

的最大值是（）

54

A.1B.-C.-D.2

43

4.（22-23高三上?江蘇蘇州?階段練習）在ABC中，AB=4,BC=3,C4=2,點P在該三角形的內切圓

上運動，若=+（加，幾為實數）,則加+〃的最小值為（）

5174

A.—B.-C.—D.一

183189

5.（22-23高一下?廣東珠海?期末）在ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=&）°,尸是.ABC的外接圓上的一

點，AP^mAB+nAC，則〃?+”的最大值是（）

31二

A.1B.-C.-D.&

考點二、“+”或“+”型綜合

典例引領

1.已知。是cABC內一點，且。4+。8+OC=0,點M在:OBC內（不含邊界），若AM=AAB+^AC，則

2+2〃的取值范圍是

B.(1,2)

2.已知,ABC為邊長為2的等邊三角形，動點P在以為直徑的半圓上.若AP=AAB+,則24+〃

的取值范圍是

3.若點C在以P為圓心,6為半徑的弧AB上，且PC=xPA+yPB，則2x+3y的取值范圍為

4.設長方形ABCD的邊長分別是4。=1,人3=2,點。是BCD內（含邊界）的動點，設AP=xAB+yAD,

則x+2y的取值范圍是

1.在矩形ABC。中，AB=1,AO=VLP為矩形內一點，且AP=g.若"=九45+〃4。（4〃€用，則2+①

的最大值為（）

.3癡3+73n娓+3及

2244

2.（2023?安徽淮南?一模）已知G是ABC的重心，過點G作直線與AB,AC交于點,且入河=依2,

AN=yAC,（x,y>0）,則3x+y的最小值是

3.已知。是AASC內一點，且。A+O2+OC=0,點加在AOBC內（不含邊界），若AM=XAB+〃AC,則

彳+2〃的取值范圍是

A.（1,|JB.（1,2）C.由）D.

4.（22-23高三上,江蘇南通,開學考試）在ABC中，AB=3,AC=2,A=1,過ABC的外心O的直線（不

經過點A）分別交線段AB,AC于Q,E,且法=2送，AE=MAC,則"〃的取值范圍是（）

11+4761311+4^23

AA.bD.

1851018'15

"14+3A/613「14+3新23-

Lr?L/.

18'1018'15

考點三、“/或”型綜合

典例引領

JT

1.如圖，已知。為銳角三角形ABC的外心,A=1■，且04=xOB+yOC,求2x—y的取值范圍?

1.（2023?全國?高三專題練習）在矩形A8C。中，AB=1,AD=6,動點P在以點C為圓心且與B。相切的

UL1UUUULIU1U

圓上.若AP=XAB+〃AD，則2-〃的最小值為（）

A.73B.1C.-1D.-V3

考點四、"/或”/型綜合

典例引領

1.（2023?浙江?高三專題練習）如圖，在直角梯形ABCD中，AB±AD,AB〃DC,AB=2,AD=Z）C=1,

圖中圓弧所在圓的圓心為點C,半徑為《，且點尸在圖中陰影部分（包括邊界）運動.若AP=xAB+yAC,

其中x,y￡R,則4x-y的取值范圍是（）

A」2,3+述〕B」2,3+好

4J2

2.（2022春?安徽六安?高三階段練習）在直角梯形A3CD中，AB±AD,DCSAB,AD=DC=1,AB=2,E、

產分別為AB、BC的中點，點尸在以A為圓心，AO為半徑的圓弧DE上變動，（如圖所示），若

AP=AED+JLIAF,其中則24-〃的取值范圍是.

-------K

1.（2023?四川?校聯考三模）在直角梯形ABCD中，AB±AD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分

別為BC,。的中點，以A為圓心，AD為半徑的半圓分別交54及其延長線于點M,N,點、P在MDN上

運動（如圖）.若=+其中4,〃eR,貝口2-5〃的取值范圍是

C.12應,2]D.卜20,20]

考點五、系數和（等和線）的綜合應用

典例引領

1.如圖所示，“BC中，AC=3,點/是8c的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC,AM與BN相交于點

P,且.PN=2PM,貝必ABC面積的最大值為

5.5.2.我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為"趙爽弦圖".如圖，

它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知=為線段的中點，設

p為中間小正方形EFGH內一點（不含邊界）.若MP=^ME-MB，則X的取值范圍為.

2222

3.（2023?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，橢圓二+與=1（°＞。＞0）與雙曲線工-與=1（加＞0,”＞0）有公共焦

abmn

點片（-c,0）,^（c,0）（c＞0）,橢圓的離心率為e一雙曲線的離心率為eZ,點尸為兩曲線的一個公共點，且

13

/單E=60。，則/+/=；/為△A耳尸鳥的內心，K/G三點共線，且GP?/尸=0，x軸上點A,3滿足

AI=AIP.BG—GP,則外+4的最小值為

1.（2024高三?全國?專題練習）在.ABC中，三個內角分別為A,B,C,AB=4,AC=3,BC=2,H為ABC

的垂心.AH-xAB+yAC,則上=.

X

2.（22-23高二下?廣東汕尾?期末）如圖，在ABC中，點。在線段48上，且AO=；A8,E是CD的中點，

延長AE交于點H,點P為直線AH上一動點（不含點A）,且AP=XAB+〃AC（4〃eR）.若AB=4,

311

3.（20-21高一?江蘇?課后作業）已知M8C中，CD=BC,EC=-AC,AF=-AB,若點P為四邊形AEOF

523

內一點（不含邊界）且DP=-；OC+xDE,則實數x的取值范圍為.

IA.好題沖關

1.（2023高三?全國?專題練習）在正方形ABCD中，AC與8。交于點。，E為邊BC上的動點（不含端點）,

21

AE=2,AC+pDO,貝！!7+—的最小值為.

2.（2023高三?全國?專題練習）如圖，四邊形0LBC是邊長為1的正方形，點。在Q4的延長線上，且仞=1,

點尸是△BCD（含邊界）的動點，設OP=XOC+〃OD,則幾+〃的最大值為.

3.（22-23高一下?四川眉山?階段練習）已知點G是4ABe的重心，過點G作直線分別與AB,AC兩邊相交于

點N兩點（點M,N與點、B,C不重合），設A3=xAM,AC=yAN,則-+7的最小值為____-

x—1j-1

4.（2023高三?全國?專題練習）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點，若

AP=xAB+yAC,則2x+2y的最大值為

5.（2023高三?全國?專題練習）如圖，在」,ABC中，/為邊BC上不同于B,C的任意一點，點N滿足

UUULUUUUUU

AN=2NM.若4V=xAB+yAC>貝1J犬+9/的最小值為.

6.（22-23高一下?河南省直轄縣級單位?階段練習）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E,

使得DE=2CD.動點尸從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，AP=AAB+juAE.則

7.（23-24高三下?安徽?階段練習）已知正方形ABCD的邊長為2,中心為。，四個半圓的圓心均為正方形

ABCD各邊的中點（如圖），若尸在BC上，且AP=XAB+〃AD,則幾+〃的最大值為.

8.（23-24高一下?天津?期中）如圖，在，ABC中，A。=；A&AE=gAC,C￡）與BE交于點尸,A6=2,

AC=3,APBC=l,則/.淺的值為;過點尸的直線/分別交AB,AC于點設AM=〃ZAB,

AN=nAC（機>0,〃>0）,則m+2n的最小值為.

9.（21-22高三上?河南鄭州?階段練習）如圖，在扇形中，ZAOB=UO°,04=03=2,點〃為。3的

中點，點P為曲邊4WB區域內任一點（含邊界），若。尸=加。4+“。加，則〃?+〃的最大值為.

OMB

10.（22-23高三下?上海寶山?開學考試）如圖所示，ZBAC=y,圓M與AB,AC分別相切于點，E,

點尸是圓M及其內部任意一點，AP=xAD+yAE（x,ye7?）,則2元+3y的取值范圍是

11.（2024高三下?全國?專題練習）如圖,平面內有三個向量04，。8,0。，其中詼,。8=120,OA,OC=30,

且網=倒=1,|。4=2石，^OC=mOA+nOB^則/篦+〃=.

12.（22-23高二上?上海寶山?階段練習）設點尸在以A為圓心，半徑為1的圓弧8c上運動（包含8、C兩

2

個端點），ZBAC=-TT,且AP=xAB+yAC,則x+y+孫的取值范圍為.

13.（19-20高一上?黑龍江牡丹江?期末）如圖，扇形的半徑為1,圓心角/A4c=120。，點P在弧BC上運

動，AP=xAB+yAC,則3x+y的最大值為.

14.（22-230高三上?浙江臺州,期末）如圖，已知正方形ABCD,點E,F分別為線段BC,CD上的動點，且

\BE]=2\CF\,^AC=xAE+yAF（x,yeR）,則x+y的最大值為.

15.（22-23高三?浙江?階段練習）已知+耳=卜4=1,AB與AC所成角為60。，點尸滿足|AP-AC|W1,若

AP=xAB+yAC,則％+V的最大值為.

->1f

16.（22-23高一下?重慶萬州?期中）如圖，在ABC中，8O=]BC,點E在線段上移動（不含端點），

丸1

若危=彳6+〃/,則方+三的取值范圍是—?

17.（21-22高三下?浙江杭州?階段練習）已知正三角形ABC的邊長為2,￡）是邊BC的中點，動點尸滿足|P。區1,

S.AP=xAB+yAC,其中無+>21,則2元+y的最大值為.

18.（22-23高一下?湖北孝感?期中）趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作

序時，介紹了“勾股圓方圖"，亦稱"趙爽弦圖"（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中

間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖"，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小

等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設+〃/，若AO=3AF，則幾-〃的值為.

19.（23-24高三上?陜西漢中?階段練習）對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能

給人以美感，激發學生對數學的興趣.如圖，在菱形ABCO中，^ABC=12O,AB=2,以菱形ABC。的四條

邊為直徑向外作四個半圓，P是這四個半圓弧上的一動點，若。尸=XD4+〃DC,則幾+〃的最大值

為.

20.（23-24高一下?安徽宿州?期中）由三角形內心的定義可得：若點。為4ABe內心，則存在實數2,使得

x+y的最大值為

第04講平面向量系數和（等和線、等值線）問題

（高階拓展、競賽適用）

（5類核心考點精講精練）

平面向量與代數、幾何融合考查的題目綜合性強，難度大，考試要求高。

平面向量是有效連接代數和幾何的橋梁，已成為高考數學的一個命題熱點。

近年，高考、模考中有關“系數和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學生在解決此類問題時，

往往要通過建系或利用角度與數量積處理，結果因思路不清、解題繁瑣，導致得分率不高，而向量三點共

線定理與等和線巧妙地將代數問題轉化為圖形關系問題，將系數和的代數運算轉化為距離的比例運算，數

形結合思想得到了有效體現，同時也為相關問題的解決提供了新的思路，大家可以學以致用

知識講解

如圖，P為AAOB所在平面上一點，過O作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=xOA+yOB

下面根據點P的位置分幾種情況來考慮系數和x+y的值

①若Pe/時，則射線OP與/無交點，由///AB知，存在實數X,使得。P=

AB=OB-OA,所以OP=,于是x+y=2-2=0

②若尸史/時，

（i）如圖1,當P在/右側時，過尸作CD//A6,交射線Q4,05于兩點，則

AOCD-AOAB,不妨設AOCD與AQ4B的相似比為女

由P,C,。三點共線可知：存在4eH使得：

OP=AOC+(1-2)OD=kWA+左(1—2)06

所以x+y=左2+左(1-2)=左

<ii)當P在/左側時，射線0P的反向延長線與A3有交點，如圖工作。關于。的對稱點P,由(i)

的分析知：存在存在aeH使得：

OP'=WC+(1-2)OD=kWA+(1-MOB

所以OP'=-kWA+-(1-2)(98

于是x+y=-kA+-k(l-A)=-k

綜合上面的討論可知：圖中OP用。4。3線性表示時，其系數和x+y只與兩三角形的相似比有關。

我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。

因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過。作A5邊的垂線

設點尸在/'上的射影為P,直線/'交直線AB于點則出1=(左的符號由點P的位置確定)，因

此只需求出|的范圍便知x+y的范圍

考點一、“x+y”或以+〃”型綜合

典例引領

1.(全國高考真題)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=2

AB+〃AD，則幾+〃的最大值為

A.3B.272C.y/5D.2

【答案】A

【法一：系數和】

分析：如圖，

由平面向量基底等和線定理可知，當等和線/與圓相切時，4+〃最大，此時

,AFAB+BE+EF

A+LI=----=------------------

ABABAB

故選A.

【法二：坐標法】

【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系.

設A（0,l）,3（0,0）,C（2,0）,0（2,l）,P（x,y）,

24

易得圓的半徑7=不，即圓C的方程是（x-2）9-+y2=g,

/、/、/、UUUUL1UUUIU

AP=（x,j-l）,AB=（O,-l）,AD=（2,O）,若滿足=

x=2ux無

則[,n=-^=\-y,所以；L+〃=q_y+l,

y—1=-X22

設z=57+l,即y+l-=O,點P（x,y）在圓口-2）2+/=[上,

X<2

所以圓心（2,0）到直線]-y+l-z=O的距離dWr,即[1-—石，解得lVz43,

卜1

所以z的最大值是3,即幾+〃的最大值是3,故選A.

【點睛】（1）應用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數

乘運算.

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的

形式，再通過向量的運算來解決.

2,（衡水中學二模）邊長為2的正六邊形ABCD跖中，動圓。的半徑為1,圓心在線段（含短點）上運

動,尸是圓。上及其內部的動點，設向量=+R）,則根+〃的取值范圍是（）

A（l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

A（Z74R

分析:如圖，設AP="?AB+〃AE,由等和線結論，m+〃="=上‘=2.此為加+〃的最小值;

ABAB

AH

同理，設AP="?AB+〃AE,由等和線結論，m+n=——=5.此為m+〃的最大值.

AB

綜上可ftlm+ne[2,5].

4.在矩形ABCD中，AB^1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與相切的圓上,

若AP=AAB+/JAD,則的最大值為（）

A3B2^/2C45D2

解：如圖所示：

過A作的垂線，垂足為H,則AH=C5=C戶=〃，當瓦GP三點共線時，高線最長，即

（"〃）max=—=3

r

5.如圖，正六邊形A5CDEF,尸是ACDE內（包括邊界）的動

點，設=+則。+尸的取值范圍是

解：連接3fA。因為正六邊形ABCDEF,由對稱性知道

BF±AD,AD±EC,設3/與A￡>交于點G,CE與AD交于點H,

當尸在CE上時，AP在AD上射影最小為AH；

當P與。重合時，AP在A。上射影最大為A。；

\AH\\AP\

則<a+/3<

|AG||AG|

Y

則3<。+/7<4

6.如圖在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB±AD,AD=DC=1,AB=3,動點P在以。為圓心,

且與直線BD相切的圓內運動，設AP=aAD+j3AB(a,j3eR)

則。+，的取值范圍是

解：設圓C與直線3。相切于點E,過A作于G,作直線///。8,且直線/與圓C相切與產，

連EF,則所過圓心，且EFLBD,由圖可知，對圓C內任意一點尸

AP在直線AG上的射影長度d滿足：|AG|<d<|AG|+1EF|,

又"叫""刃=金，|EF|=2|EC|=2|CD|sinZABD=於

?\DB\V10VW

35

所以］——<d<,——

vioVio

而a+=所以1<。+尸<g

3.在ABC中，AB=6,BC=8fABIBC.M是，ABC外接圓上一動點，若+則X+4

的最大值是()

54

A.1B.—C.—D.2

43

【答案】C

【解析】以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設M的坐標為(5cose,5sind),

1o94

由AM=XA2+//AC(5cos0+5,5sin6?)=A(y,y)+〃(10,0),

.?.X+〃="n(，+0)+］可得利用正弦函數的圖像及性質即得解.

62

【詳解】以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系,

B

設M的坐標為(5cosa5sin。)，過點8作軸

42418

sinA=—,AB=6BD=ABsinA=一,AD=ABcosA=—

555

7724

:.OD=AO-AD=-:.B(——,—)

555

iQ24

又A(-5,0),5(5,0)/.=y),AC=(10,0),AP=(5cos6+5,5sin0)

，§）+〃（1。，0）

AM=AAB+juAC(5cos+5,5sin3)=

/.//=—cos0——sin,2=——sin。

28224

/.X+4=—cos0+—sin0+—=—sin（0+^）+—

23262

514

當Sm（6+0）=l時，（2+"）max=z+3=1

023

故選:c

【點睛】本題考查了向量的坐標運算和向量的數乘運算和正弦函數的圖像和性質，以及直角三角形問題，

考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.

4.（22-23高三上?江蘇蘇州?階段練習）在ABC中，AB=4,BC=3,6=2,點尸在該三角形的內切圓

上運動，AP=mAB+nAC（加，〃為實數），則加+〃的最小值為（）

51-74

A.—B.—C.—D.一

183189

【答案】B

網

【分析】由AP=加4?+nAC可得“卡〃-T~mnT，再結合余弦定理，面積公式可求出cosA、

-----AB+-----AC

\m-\-nm+nJ

sinA、BC邊上高力,內切圓半徑r,最后根據平行線等比關系即可求解.

mrii

【詳解】AP=mAB+nAC=(m+n)——AB+——AC,由P在內切圓上,

m+nm+n)

,,m+n=網

故

\m+nm+n

假設一^AB+—=由于—^—+—^=1,AP=(m+n]AE,

m+nm+nm+nm+n

AP

則加+〃=^,且E為5C上一點，A,P,石三點共線，

AE

由平行線等比關系可得，要使m+〃，即,尸|與,目之間的比例最小，則「在內切圓的最高點，如圖所示,

AB2+AC2-BC211

由cosA-

2ABAC16

因為sinA>0,所以sinA=^E5,

16

設BC邊上高為〃，內切圓半徑為廣,

由S.="8.AC.sinA=gBC./2=：r(A8+AC+BC),

所以/2=巫，r=叵,

26

可得根+〃的最小值為h-一2r!=1

n3

故選：B.

網

【點睛】關鍵點點睛：這道題關鍵的地方是轉化得到〃'+"-「：nY，令

----AB+-----AC

\m+nm+nJ

vnn

——AB+——AC=AE,觀察到分母的系數相加為1,則可得到E為BC上一點，再結合平行線等比關系

m+nm+n

以及圖象可得到比例最小的具體位置

5.（22-23高一下?廣東珠海?期末）在ABC中，AB=l,AC=2,44c=60。，P是ABC的外接圓上的一

點，AP=mAB+nAC＜則"?+”的最大值是（）

31L

A.1B.—C.-D.布

2/

【答案】B

【分析】利用余弦定理與勾股定理得&ABC是直角三角形，進而可以建立直角坐標系，根據點的坐標得向量

的坐標，由向量的坐標運算可得加+〃的表達式，進而利用三角函數求最值即可.

【詳解】因為在ABC中，AB=1,AC=2,ZSAC=60°,

由余弦定理得=AB2+AC2_2AB.AC.cos/AC=l+4-2xlx2xcos60°=3,

所以BC=g,貝l|A"+be?=AC?,所以AB1BC,

故以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

易得A(1,O),C(_1,0),B(；，￥),則AB=-1,y-,AC=(-2,0),

設尸的坐標為(cose,sin0),則AP=(cos夕—1,sin0),

又AP=mAB+nAC，

所以(cos8—1,sin6)二根(一；，^^]+〃(-2,0)=,

cosc/-l=-------2n_

2行_2百

則I—fp?m-------sine,

*zj，33

sm8=——m

2

二匚I、IV5.nini.，八吟I,1i3

fy\以機+〃=—sin3—cos0H—=sin0—H—<1H—=一,

222161222

當且僅當sin,-。=1時，等號成立，即機+〃的最大值為|.

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是建立直角坐標系，利用向量的線性運算法則得到相，”的關系式，從而

利用三角函數的性質得解.

考點二、—X+W或“加+””型綜合

典例目闞

5.己知。是‘ABC內一點，且。4+08+OC=0,點〃在“0BC內（不含邊界），若AM=AAB+〃就，則

4+2〃的取值范圍是

B.(l,2)

【答案】B

【解析】因為。是「ABC內一點，且。4+。8+。。=0,所以。為cABC的重心

M在，OBC內(不含邊界)，且當"與。重合時,4+2〃最小，

2「1111

此時AM=/lAB+〃AC=§x-(AB+AC)=-AB+-AC

所以2=；,〃=；,即4+2〃=1

當M與C重合時,2+2//最大，此時AM=AC

所以2=0,〃=1,即2+2〃=2

因為用在cOBC內且不含邊界

所以取開區間，即2+2〃e(1,2).

6.己知二ABC為邊長為2的等邊三角形，動點P在以5c為直徑的半圓上.若AP=2AB+,則22+〃

的取值范圍是

答案：造

_2_

【解析】如圖，取AB中點為。,

AP=2AB+juAC=2AAD+/JAC

顯然，當P與C重合時,22+//取最小值1.

將平行移動至與（。相切處，

P為切點時,22+〃取最大值.

延長P0交于G,易知OG=Ob=EP=」.

2

FFAP5

由等和線及平行截割定理,——=2,——=-.

FPAE2

所以22+〃的最大值為g.

故24+〃的取值范圍是1,1.

7.若點C在以P為圓心,6為半徑的弧A3上，且尸C=xPA+yPB2x+3y的取值范圍為

【解析】令PC=(2x+3y)PD,

則PD=--—PA+—-—PB,

2%+3y2x+3y

2x

即PD=PA,+3ypB

2%+3y2x+3y

一1一一1一

其中2=5PAp與=~PB-

由于在JAB中,|班|=3,|咫|=2,幺尸4=120°,

且點D在線段A4上（含端點4,4），

因此|9|麴|K4j,其中P8是邊4片上的高.

=（PBi-PAH=PB[+PAl-2P5i=19

可得|4可=灰.

Spg=卜|P41?sin4P4=；同4HP"I

可得IPH1=之叵.

19

所以，豆豆麴J|PD|3.

19

再由PC=(2x+3y)P。

8.設長方形ABCD的邊長分別是A。=1,A3=2,點P是BCD內（含邊界）的動點，設AP=xAB+yAD,

則x+2y的取值范圍是

解:如圖，取AD中點瓦則

AP=xAB-{-2yAE,

此時的等和線為平行于BE的直線顯然，當點P與點B重合時,x+2y最小為1,當點P與C重合時,x+2y最

大，

上,CFBCc

由于——=——=2,

AFAE

所以A把T=3,

AF

AC

于是尤+2y的最大值為空=3,

AF

所以x+2y的取值范圍是[1,3].

1.在矩形A8CD中，⑷5=1,AO=G，P為矩形內一點，且AP=￥.若AP=XAB+〃AD（2,則力+也〃

的最大值為（）

3V6C3+A/3Da+3?

A.-R

22,4,4

【答案】B

【分析】可根據條件畫出圖形，根據圖形設/P4E=。，目.OW，WTT],則AP又可用AB,A。表示為:

7V3〃

Z=——costf

AP=-cos3AB+-sin3AD.所以根據平面向量基本定理得到：<j,所以

22

〃=一sinO

2+^3//=^-(cos(9+sin^)=^-sinf^+^,sin(e+?)最大值為1,所以丸+石口的最大值為^.

JT

【詳解】如圖，設/巳鉆=凡o<0<-,

6A

則……/vsin061.

cos0AB+—AD=-cos0AB+-sin0AD'

7322

y.AP=AAB+juAD；

，A=——拒COSUA

.2

??1;

1.八

u=-sinu

I2

4+6〃=乎(cose+sing)=^-sin^+^<；

；/+瓦的最大值為手.

故選B.

【點睛】考查共線向量基本定理，兩角和的正弦公式，正弦函數sinx的最大值，以及平面向量基本定理.

2.(2023?安徽淮南?一模)已知G是aABC的重心，過點G作直線MV與AB,AC交于點林N,且4W=工好,

AN=yAC,(x,y>0),則3x+y的最小值是

87542,-

A.-B.-C.-D.-+-V3

32233

【答案】D

【分析】首先根據M,G,N三點共線得到AG=rA〃+(l-f)AN,也就是AG=fxAB+(l-r)yAC,再利用

uiiriuumiuurii

=+得到二廠3,最后利用基本不等式求3…的最小值.

因為M,G,N三點共線，^AG=tAM+(l-t)AN,因為瘋=xAB,AN=yAC,所以AG=fxAB+(lT)yAC,

uuriuumiumrii\\

又G為重心，i^AG=-AB+-AC,而AB,AC不共線，所以江=￡