離散期末考試卷子及答案一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.在離散數學中，集合A和集合B的交集表示為（）。A.A∪BB.A∩BC.A-BD.A×B答案：B2.命題邏輯中，合?。ˋND）的符號表示為（）。A.∨B.∧C.→D.?答案：B3.如果一個關系R是自反的，那么對于集合A中的每一個元素a，都有（）。A.(a,a)∈RB.(a,a)?RC.(a,b)∈RD.(b,a)∈R答案：A4.在圖論中，一個有向圖G的鄰接矩陣是一個（）。A.對稱矩陣B.非對稱矩陣C.單位矩陣D.零矩陣答案：B5.如果一個命題P是另一個命題Q的充分條件，那么（）。A.P→QB.Q→PC.P∧QD.P∨Q答案：A6.在集合論中，空集表示為（）。A.{}B.?C.?D.?{}答案：B7.一個函數f:A→B是單射的，當且僅當對于任意的a1,a2∈A，如果f(a1)=f(a2)，則（）。A.a1=a2B.a1≠a2C.a1∪a2D.a1∩a2答案：A8.在圖論中，一個無向圖G的鄰接矩陣是一個（）。A.對稱矩陣B.非對稱矩陣C.單位矩陣D.零矩陣答案：A9.命題邏輯中，析?。∣R）的符號表示為（）。A.∨B.∧C.→D.?答案：A10.如果一個關系R是傳遞的，那么對于集合A中的任意元素a,b,c，如果(a,b)∈R且(b,c)∈R，則（）。A.(a,c)?RB.(a,c)∈RC.(c,a)∈RD.(b,a)∈R答案：B二、填空題（每題2分，共20分）11.集合{1,2,3}的子集個數為______。答案：812.命題“所有的鳥都會飛”的否定是______。答案：存在至少一只鳥不會飛13.函數f(x)=x^2的值域是______。答案：[0,+∞)14.一個有n個頂點的完全圖的邊數為______。答案：n(n-1)/215.命題“如果今天下雨，那么地面濕”的逆否命題是______。答案：如果地面不濕，那么今天沒有下雨16.集合{a,b,c}和{1,2,3}之間不存在一一映射，因為______。答案：兩個集合的元素個數不同17.一個關系R在集合A上是良序的，當且僅當R是______的。答案：自反、反對稱、傳遞18.命題“x是偶數”的否定是______。答案：x不是偶數19.一個有向圖G的入度為0的頂點稱為______。答案：源點20.命題“x>0”的等價命題是______。答案：x≥0且x≠0三、解答題（每題10分，共30分）21.證明：如果一個集合A是有限集，那么它的冪集P(A)也是有限集。證明：假設集合A是有限集，且|A|=n。根據冪集的定義，P(A)包含A的所有子集。由于A有n個元素，每個元素都可以選擇包含或不包含在子集中，因此對于A的每個元素，都有2種選擇。所以，P(A)的元素個數為2^n，這是一個有限數。因此，P(A)也是有限集。22.給定一個關系R在集合A上，證明：如果R是對稱的且傳遞的，那么R也是自反的。證明：假設R是對稱的且傳遞的。我們需要證明R是自反的，即對于A中的任意元素a，都有(a,a)∈R。由于R是對稱的，對于任意的a,b∈A，如果(a,b)∈R，則(b,a)∈R。現在考慮A中的任意元素a，我們有(a,a)∈R當且僅當(a,a)∈R。由于R是對稱的，所以(a,a)∈R。因此，R是自反的。23.給定一個函數f:A→B，證明：如果f是滿射，那么對于B中的任意元素b，都存在A中的元素a使得f(a)=b。證明：假設f是滿射。根據滿射的定義，對于B中的任意元素b，都存在A中的元素a使得f(a)∈B。由于f是函數，f(a)是B中的一個元素。因此，對于B中的任意元素b，都存在A中的元素a使得f(a)=b。四、應用題（每題15分，共30分）24.給定一個無向圖G，其頂點集為{A,B,C,D,E}，邊集為{(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A),(A,C)}。請找出G的所有生成樹，并計算每個生成樹的邊數。解答：G的生成樹有以下三種：1.T1={A,B,C,D,E},邊集為{(A,B),(B,C),(C,D),(D,E)}2.T2={A,B,C,D,E},邊集為{(A,B),(B,C),(C,D),(E,A)}3.T3={A,B,C,D,E},邊集為{(A,B),(B,C),(A,C),(D,E)}每個生成樹的邊數為4。25.給定一個集合A={1,2,3,4,5}，請找出A的所有非空子集，并計算它們的元素個數。解答：A的所有非空子集如下：{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}它們的元素個數分別為：1,