2025屆江蘇省射陽中學高三模擬預測數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合W=[y]y=2x,xe[-1,1]｝,JV=|X|^=log2(l-x)j,則MP|N=()

A.0,2]B.[1,2]C.[-2,1)D.[-2,1]

2.已知復數z=M■的共軌復數為7,貝()

2+1

A.3B.4C.5D.6

3.在公差不為0的等差數列｛4｝中，若4+4=2?，則±的最小值為()

st

59-63

A.-B.—C.—D.一

3552

4.若非零向量心B滿足同=2問，且向量3在向量3上的投影向量是-;a,則向量N與3的

夾角為()

712?！?兀一

A.—B.—C.—D.兀

636

5.在復平面內，復數z=kina-2sinA)+(costz-2cosmi(i為虛數單位)與點Z(G,1)對

應，則cos(a-/)=()

A1n岳「1n7

8448

9

6.已知(1+x)2+(1+X)3H--F(1+X)9=〃0++%%2H----F(29%,則。2的值為()

A.60B.80C.84D.120

22

7.已知橢圓c：j+2=l,稱點P(%,比)和直線/：筆+岑=1是橢圓C的一對極點和極

線，每一對極點與極線是一一對應關系當P在圓外時，其極線/是橢圓從點P所引兩條切線

的切點所確定的直線(即切點弦所在直線)結合閱讀材料回答下面的問題：已知P是直線

尸」x+4上的一個動點，過點尸向橢圓0工+仁=1引兩條切線，切點分別為監N,直

線"N恒過定點T,當說=而時，直線的方程為()

A.x+2y-4=0B.x+2y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y-4=0

8.已知一幾何體上半部分為圓臺尸。，下半部分為圓錐S。，其中圓錐S。底面的半徑為r,

試卷第1頁，共4頁

高為h.圓臺尸。的兩底面的半徑分別為「和國，高為26該幾何體內接于表面積為100兀

7

的球，則圓臺尸。的體積為（）

A.（10+V21）7rB,2（10+V2T）nC.400+萬）兀D,6（10+V21）7t

二、多選題

9.已知。>0,b〉0,滿足。+26=4,則下列說法正確的是（）

[2]6

A.ab<2B.-+-<1C.a2+b2>—D.3a+9A>18

ab5

57r

10.把函數/（x）=6sin0x+cos0x（O<0<3）的圖象向左平移F個單位長度，得到的函數

圖象關于原點對稱，則下列說法正確的是（）

A./（x）的最小正周期為兀

B./（無）的圖象關于直線尤4對稱

6

C.〃尤）在（-三少上單調遞增

D.若“X）在區間[4,a）上存在極大值點和極小值點，則實數。的取值范圍為亭+⑹

11.投擲一枚質地均勻的硬幣，規定拋出正面得2分，拋出反面得1分，記投擲若干次后，

得〃分的概率為勺，下列說法正確的是（）

A.P,=—B.g=—

1222

C.當“23時，+D.當時，月=2-2*

三、填空題

12.從公比不為1的正項等比數列｛%｝的前8項中任取三項，則這3項能構成等比數列的概

率為.

13.已知y=/（x）-3x是定義域為R的偶函數，/（x）的導函數/'（x）滿足/（1+力=。（1-力,

貝I]/，（2026）=.

14.如圖，將邊長為1的正五邊形/BCDE的各邊延長，得到一個正五角星.若點尸,。在正五

角星的內部（含邊界），則力?福的最小值為.

試卷第2頁，共4頁

A.

四、解答題

15.已知V/BC的三邊。也。所對的角分別為4B,C,5(asiM-/?sia8)=3csinC.

⑴求證：tarU=4tan5；

(2)若求tanC的取值范圍.

16.在四棱錐P-48CD中，底面/BCD是等腰梯形，AD//BC,面P/CL底面

ABCD,PALAC,PA=BC=2AB=4,ZABC=60°.

P

(1)證明：ABLAP；

⑵求平面ACP與平面CDP夾角的余弦值.

17.若函數/(x)=Rnx/>0)與函數g(x)=l的圖象在公共點處有相同的切線.

⑴當4=1時，求函數/(x)與g(x)在公共點處的切線方程；

⑵求。的最小值：

18.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線G§-/=i(a>o),離心率為半，點?是￡上任

意一點.拋物線G：%2=2?,

試卷第3頁，共4頁

⑴求G的方程；

(2)過點尸作。的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于43兩點，求證：平行四邊

形以。8的面積為定值；

(3)PC,即是G的兩條切線，G。是切點，求△尸CD面積的最小值.

19.在“五四”來臨之際，某學校團委組織以“春風吹，青春啟航”為主題的知識競賽，比賽分

初賽和決賽兩個階段，甲、乙兩人進入決賽爭奪冠軍，決賽規則如下：每輪答題獲得1分，

其概率為獲得2分，其概率為(.最多進行20輪答題，某同學累計得分為20分時，比賽

結束，該同學獲得冠軍，另一同學獲得亞軍.

⑴當進行完3輪答題后，甲同學總分為y,求y的分布列及頤y)；

⑵若累計得分為機的概率為(初始得分為。分，4=1)

p

①求Pm-m-\的表達式(0<m<19,meN*).

②求獲得亞軍的概率.

試卷第4頁，共4頁

《2025屆江蘇省射陽中學高三模擬預測數學試題》參考答案

題號12345678910

答案CCDBCDADACDABD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】由函數值域求出集合函數定義域求出集合N,由交集定義求得McN.

【詳解】依題意，M={y|y=2x,xe[-l,l]}=[-2,2],

*.*1-x>0,x<1,

...N={x>=log20_x）}=（-8,1）,

所以MnN=-2,l）

故選：C.

2.C

【分析】利用復數的除法運算以及共輒復數的定義，再結合乘法運算即可求得結果.

3-4i_（3-4i）（2_i）_6-3i—8i+4i?_2-Hi_2_H.

【詳解】2+i-（2+i）（2-i）一~22-i2-5一丁丁

所以-z=2]+^11i,

故選：C

3.D

【分析】依題意可得s+/=6,再由乘“1”法及基本不等式計算可得.

qt

【詳解】=2%,...s+f=6,.,.二+;=1,顯然sJeN*,

66

41（41V522ts15"―9_3_

/廣匕+7限+/=^丁。/32仁―

2

當且僅當=2t=v即"2,s=4時取等號.

3s6t

故選：D.

4.B

答案第1頁，共15頁

【分析】運用投影向量的公式，結合數量積運算即可.

a-b一1一

【詳解】B在商上投影向量有F?d——U

144

由于伍3"[0,兀],

故選：B.

5.C

【分析】根據復數的幾何意義得到方程組，然后相加，結合同角三角函數關系式和兩角差的

余弦公式計算即可.

sina-2sin/?=6sin2a_4sinasin/?+4sin2/?=3

【詳解】

cos6Z-2cos/7=1cos2a-4cosacos"+4cos2y0=1

1-4(cosacos/?+sinasin,)+4=4,1一4cos（。一萬）=0,

故選：C.

6.D

【分析】根據條件，利用多項式的運算及組合，得。2=C；+C；+C；+…+C；,即可求解.

【詳解】由題知。2=C；+C：+C；+…+C；=l+3+6+10+15+21+28+36=120,

故選：D.

7.A

【分析】根據極點極線的定義，寫出極點坐標和極線方程，再利用切點弦和弦中點斜率乘積

為定值，得直線的方程.

【詳解】設尸則的直線方程為，x0x?I"4!],

',~164―

整理得,%（）（x-2y）+16y-16=0

x-2y=0(x=2-、

解得,?-?「定點r(2,1)

16y-16=0[y=1

答案第2頁，共15頁

MT=TN，則T為肱V中點,kMN-kOT=--kMN=--

TW：7-1=-1(X-2),即x+2尸4=0.

故選：A.

8.D

【分析】組合體的存在外接球，作出圖形，由圖形去列出關系式，從而求出半徑和高，然后

求體積.

【詳解】外接球半徑尺，則4位?2=ioo兀,,及=5.

MR=MQ=MS=R=5,OQ=r,PR=^-r,PO=?.h,SO=h,,

設外接球球心M,^.^PMR,PR-+PM-=MR\BPr2+(PS-MS)2=MR2,

在RUMOQ,OQ2+OM2=MQ2,即RUMOQ,r2+(MS-OS)2=MQ2,

-療+/=

1525ch=3

則‘(3〃-5)2+方/=25，"|r=V21

...%=；(21兀+9兀+3后71)*6=6(10+.)兀,

故選：D.

9.ACD

i21(\

【分析】選項A,據基本不等式可得；選項B,—+1=:("+26)一+1進而根據基本不等

ab4v\ab)

式可得；選項C,將。=4-26代入片+濟得/+/=5,_：；+：,進而可得；選項D,

利用基本不等式3"+9"22行尹，進而根據指數的運算可得

【詳解】ab=--a-2b<-\^^\=2,當且僅當“=26=2時取等號，故A確；

2212J

答案第3頁，共15頁

121u2b2aa}^1（c

—+5+——+——>—5+2

ab4ab4

4

當且僅當a=b=3時取等號，故B錯誤;

5〃—166+16=5,用16、16

a+/=（4-26）2+/=+一>一，

55

當6=]8,04時取等號，故C正確;

3"+爐=30+3?士炳

當且僅當。=26=2時取等號，故D正確，

故選：ACD

10.ABD

【分析】利用輔助角公式化簡函數/（x）,由已知求出。即得解析式，再利用正弦函數的圖

象性質逐項判斷.

【詳解】/（尤）=2sin（0x+￡）,f（x+=2sin[?（x+（兀）+.]=2sin（t?x+得兀。+.）,

57r57rjr12

由/（x+一）關于原點對稱，得一①+—=Tt+kjjkeZ,a）=2+一k,kGZ,

121265

兀

而0<G<3,則G=2,f（x）=2sin（2x+—）,

6

2兀

對于A,/（x）的最小正周期7=k=兀，A正確；

2

對于BC,由2x+巴=烏+左兀4eZ,得》=工+如水eZ,直線x=工是〃x）的圖象一條對稱

62626

軸，B正確，C錯誤；

TTTTTTTT

對于D,由-二4x<。，得0W2x+：<2a+：,而/（無）在[-二,。）上有極大值點又有極小

126612

值點，

兀32

則2。+—>—兀，解得“〉一兀，D正確

623

故選：ABD

11.ACD

【分析】根據給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件的概率，逐項分析計算即可得解.

【詳解】對于A,第一次投擲出現反面，則6=g,A正確；

對于B,得2分的事件，可以是投擲2次都出現反面，也可以是投擲1次出現正面，

答案第4頁，共15頁

1113

R=：XK=9,B錯誤；

2224

對于C,當“23時，得〃分的事件，可以在得”-1分后投擲出現反面，

也可以是在得"-2分后投擲出現正面，因此+_2,C正確；

對于D,由選項C知，當〃wN*時，P"+2=；A+I+；P,，則匕+2+^￡+1=匕+|+；匕，

因此數列是常數列，只+|+；匕=鳥+；4=*+3；=1,即勺=2-

所以當〃210時，匕=2-2月+1，D正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩

互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關鍵.

12.A

14

【分析】根據等比數列的性質，可知任取3項能構成等比數列共有12種取法，根據計數原

理，前8項中任取三項，共有C；=56種取法，結合古典概型可得答案.

【詳解】從公比不為1的正項等比數列｛%｝的前8項中任取三項，共有C；=56種取法，

其中能構成等比數列的有%)，(。2，%，。4)，(%，。4，。5)，(%，。5，。6)，(%，&，%)，

(。6，07，"8)，(。3，05，%)，(“2，04，06)，(04，06，08)，(,。4，%)，(“2，05，08)，

12種取法，

193

假設任取三項并能構成等比數列為事件A,所以尸(4)=9==.

v75614

故答案為：弓3.

14

13.3

【分析】先根據y=/(x)-3x是偶函數得出/(x)的一個等式關系，再對其求導得到了'(X)的

一個等式關系，然后結合/'(I+x)=/'(I-無)推出了'(X)的周期，最后根據周期求出/，(2026)的

值.

【詳解】因為用=/(勸-3無是定義域為R的偶函數,所以〃f)-3(r)=/(x)-3x,即

/(-x)+3x=/(%)-3%.

/(一外+3尤=/。)一3苫兩邊求導，可得：-f'(-x)+3=f'(x)-3,可得/(x)+/Vx)=6.

因為/'(l+x)=/'(l-x),所以/'(x)的圖象關于直線x=l對稱，則/'(x)=/'(2-x).

答案第5頁，共15頁

用-x代替x可得f\-x)=廣(2+X).

將八一)=—)代入「(月+八年=6中,可得/'(x)+/'(2+x)=6①.

用x+2代替x可得/'(x+2)+/G+4)=6②.

由②-①可得：r(x+4)=/,(x).

所以/'(X)是周期為4的周期函數.

所以八2026)=八4x506+2)=八2).

在八x)+/'(-》)=6中，令x=2,可得八2)+八-2)=6.

又因為((無)的圖象關于直線x=1對稱，所以/'(2)=/'(0).

在/'(x)+/'(-x)=6中，令x=0,可得2/(0)=6,解得/'(0)=3,

所以/⑵=3,即尸(2026)=3.

故答案為：3.

14,-2-V5

【分析】按照P0所處的位置分類，結合向量數量積的幾何意義及圖形特征可得尸,。點分別

在圖中的處時取最小值，利用黃金分割即可求解.

【詳解】要使萬?而最小，它們夾角必定為鈍角或平角，若尸，。在五角星內，

只要延長APAQ與邊界相交于點P,Q,在保持AP,AQ夾角不變情形下，

IZP|>|ZP|,\AQ'\>\AQI,則赤?愆〈萬?而，

所以P,。必定在五角星邊界上先考察點尸位置，根據對稱性，分兩種情形：

1.點尸在邊上：

①先考慮極端情形：若點p與右頂點y重合，

則而在后上投影向量的模最長且與靜反向的就是加(即。與M重合)，所以此時

舒?而最小，

答案第6頁，共15頁

M.

②再考慮一般情形：利用微調法分析，當點p在邊上由y向。移動時，|萬|變小,

且而在不上投影向量的模I）應I也變小為I通故萬?而變大，不合題意;

2.點尸在ver廳的邊。尸上：

①先考慮極端情形：若點尸與頂點歹重合，則此時|疝?|>|/但注意到而在萬上投影

向量的模最長且反向的是前，

且根據相交弦定理知：|石用與7|>|方川萬所以此時萬.而〈善.前

②再考慮一般情形：利用微調法分析，當點尸在邊CF上由萬向c移動時，?后?變小，而而

在萬上投影向量方的模會變大，

過尸作N3的垂線7W,垂足為N,則尸,N",/四點共圓，

由相交弦定理知|萬川萬|=|萬川京|<|力川益|=|方川而

答案第7頁，共15頁

所以此時方.屈〈萬.萬，

WF

如圖：在頂角為36。的等腰三角形，設左'-=k,

3-…ABBC「Li、，aka,解得人=也二1,

^CD-BCMBC-BD^ka-a-ka

2

所以cos72。一二一1二1，

AC4

A

a-ka/^\kaV

BkaC

綜上，當尸，。分別與頂點RM重合時,萬?而取最小值

由于黃金分割比：—=1匚，二—=叵蟲,

而NE=1,則=

EY2EY22

同理=旦，貝|/丫=?+1=2±^,

222

所以（后.而）=后.而=_[lx2±也一4五+5+3「46+8

\/min224~4

=-2-V5,

故答案為：-2-V?

【點睛】關鍵點點睛：按照P。所處的位置分類,結合向量數量積的幾何意義及圖形特征分

類求解.

15.（1）證明見解析

⑵55可

【分析】（1）可以采用正弦定理邊角互化,再用余弦定理得到54cos5=4。,最后結合和角

答案第8頁，共15頁

公式和同角三角函數關系式計算即可；

(2)有了A,3兩角之間的正切關系，直接將C用A和3表示，轉變成關于B的函數，借

助函數單調性求范圍即可.

【詳解】(1)由正弦定理得5(/-^)=3°2

322

222C+C

Da+c-b5上，5acosB=4c

2ac2ac5a

5sinAcosB=4sinC=4sin(/+8)=4sinAcosB+4cosAsinB

sinAcosB=4cosAsin5,/.tan4=4tanB.

tan4+tan85tan55

.、tanC=-tan(A+B}=-

(2)i)1-tanAtaaS1-4tan2B

4tan5------一

tan5

v—<B<—,<*.——<tan^<1，令tan5=%「.——</<l,

6433

tan。=----,y=At—,,.1

4z_lt由于>==——,在小上單調遞增,

則原函數也是在此上單調遞增.

A—<4t--<3,.\-<tanC<5樞，即tanC的取值范圍為

3t3

16.(1)證明見解析

⑵也

19

【分析】(1)利用面面垂直的性質可得尸/,平面/BCD,再利用線面垂直的性質可得結論.

(2)以A為原點，以/5NC,/尸分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，求出平面CD尸的

一個法向量以及平面NCP的一個法向量，利用空間向量夾角公式求解即可.

【詳解】(1),??平面P/C_L底面/8CA,

平面尸/CPI平面

PAu平面PAC,PA±AC,:.PA±平面ABCD,

又因為A8u平面ABCD,PA±AB.

(2)因為底面/BCD是等腰梯形，AD//BC,

AB=2,SC=4,ZABC=60°,

答案第9頁，共15頁

AC=^4+16-2x2x4x；=2五，

AB1+AC2=16=SC2,.'.BAIAC,

由（1）P/_L平面/BCD,

以A為原點，以尸分別為x,%z軸，建立如圖所示的坐標系.

設平面CD尸的一個法向量用=（x,%z）,

n}-DC|x+V3j=0

"n}-CP1一2島+4二=0,

令x=26可得?.=(273,-2,-^),

而平面/CP的一個法向量%=（1。0），

設平面ACP與平面CDP的夾角為e

2732歷

cos6二

||^-719x1-19

17.(l)j=x-l.

（2）1

【分析】（1）設切點，求斜率，建立方程組求解即可;

（2）設切點，求斜率，建立方程組，包含尤。、人。三個未知數，消參，得到關于修、。的關

系式，再轉化為函數關系式，通過研究函數單調性進而求值域即可.

【詳解】（1）當2=1時，/（x）=lnx,

設（x。,%）為〃x）與g（x）的一個公共點,

答案第10頁，共15頁

因/'(x)=：,g'(x)=，

X。X。

故切點為（1,0）且左=1,

所以/'（X）與g（無）在公共點處的切線方程為＞=x-L

（2）設）（%,%）（%＞0）為/（何與8（與的一個公共點,

因，（x）=（'g'（x）=m

A，lnx^—1---,(J)

-aa..a

由②得％%=。＞0,即％=一,將其代入①中得，一lnxo=l---,

入0%0工0

1lnx+1

即一=3n一,

ax0

令〃（x）=S,則”3=匕型回=羋，

%XX

則當0＜x＜l時，〃（x）＞0，M尤）在區間（0,1）單調遞增;

當x＞l時，”（尤）＜0,〃（》）在（1,+8）單調遞減,

故:d（x）max=Ml）=l，又因。＞0,故/1，當且僅當/=1"=1時取"=”，

故。的最小值為1.

【點睛】關鍵點點睛：本題的主要考點為求曲線的切線方程，在本題中需要注意兩點，其一,

切勿忽視函數的定義域，導致。的范圍擴大；其二，多變量問題的處理可通過消參來降元，

與此同時，務必重視函數與方程的關系.

2

18.（1）^--/=1.

（2）證明見解析

小16盤

⑶丁

【分析】（1）由離心率即可求解；

答案第11頁，共15頁

（2）尸（無。，%）,求得48坐標，進而得到再結合面積公式求解即可;

（3）設尸（如比）,。（再，必），D（X2,y2）,通過導數求得切線方程，結合韋達定理求得弦

長，點到線的距離公式求得高，代入面積公式，進而可求解;

【詳解】（1）解：設雙曲線的焦半距為c,則c2=/+],

又因為離心率為型，所以二=型，

3a3

代入得（平a）2=/+i,解得°=百，

2

所以雙曲線G的方程為:-V=i.

(2)

。5為漸近線>=-巨工，

3

直線/尸的方程為了-％=-?

V3

y=—X

3w1也也1)

聯立方程‘解倚”-xo+Tyo)Txo+-yo,

百/7

)-%=一1

grp,,,卜+島。|

所以CM=----1=——-

11百

同理可得*%-3即-后”,,卜0一島o|

所以?=j——廣―1

11V3

由于直線。4的斜率左=里，因此//Qx=30°,所以4405=2/40、=60°,

3

所以平行四邊形"的面積為?.必由?

丫2

因為點尸在雙曲線。上，所以自-/=1,即/-3/=3,

所以平行四邊形以。2的面積為".

2

答案第12頁，共15頁

（3）

因為函數的導數為_/=x,所以直線PC的方程為了-必=再（》-%），

由于尸（%，%）在直線PC上，則為-必=%（七一網）=%再一2%，為+%=%%,

同理％+%=%%，

所以。（如乂），D（X2,%）均滿足方程為+y=XoX,

所以直線CD的方程為x（）x=y+%,

聯立方程/，得f_2x0x+2%=0,

[x=2y

所以項+%=2玉），玉々=2%,

則CD=Jl+x；|xj—x2|=Jl+x；?-8%f

又因為尸到直線CD的距離d=Wj"J,

Jl+x；

所以公PCD面積T=—CD-d=—卜;—oI'J收;—&o=G；-?Po）2,

88

又因為只一2%=3火-2%+3=3（%一）2+>

3--3-

所以72（與當尸為（土Til時7取最小值3”

39（33）9

所以△尸CD面積最小值為竺業.

9

【點睛】方法點睛：定值問題常見方法：

（1）從特殊入手，求出定值，再證