2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題卷解三角形

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

22

1.已知點尸為橢圓C?土+2L=1上第一象限的一點，左、右焦點為耳PE,的平分線與云軸

43'

交于點M過點可作直線PA1的垂線，垂足為包。為坐標(biāo)原點，若|O”|=g,則△片;38面積為（）

A/B.373C.1D.3

2.如圖，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的

反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線E：,-2=1（。〉°'6〉0）的左、右焦點分別為

4

可,工，從工發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，8兩點反射后，分別經(jīng)過點C和且cosNB4C=-《

ABBD=0,則E的離心率為（）.

D.V5

22

3.已知橢圓C：?+q_=l的左，右焦點分別為耳，工，點P是直線i=2上與點4（2,0）不重合的動

點，則_四J—的最小值為（）

sin/尸鳥耳

A.昱B巫C.2若D.4

32

4.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,/RAC=120。，c=2,方=1,史為8c邊上一點，且

/氏4。=90°廁448的面積為()

A.GC.3

B至D正

45610

5.已知/(%)=/，71cosx+sinx，則曲線y=/(x)在％=0處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面

積為()

B.7+4&C.l

A7-W1D.2

222

6./\ARC的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinB-GsinA=0，貝1J*》=()

A忑B-2A/3D.2

7.逢山開路，遇水架橋，我國摘取了一系列高速公路“世界之最”，鍛造出中國路、中國橋等一張張閃

亮的“中國名片”.如圖，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在A,B,C三處測的道路一側(cè)

山頂尸的仰角依次為30。，45°,60°其中=BC=b(0<a<3b),則此山的高度為()

12ab(a+b)B113ab(a+b)

A'2V3b-a

23b-a

C115ab(a+b)16ab(a+b)

D-2V3b-a

23b-a

8.在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,八ARC的面積為S,且滿足

2S^s/3BABC>4"—9ac=0，則sinA-sinC=()

A.土R石C.+巫D.叵

一3366

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另

22

一個焦點上.請根據(jù)橢圓的這一光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：已知橢圓C?二+乙=1，其左、右焦點分別

,169

是瓦，工,直線/與橢圓C相切于點P,且|尸耳|=2,6關(guān)于直線I的對稱點為耳,,過點P且與直線I垂直

的直線r與橢圓長軸交于點M則下列結(jié)論正確的是（）

A.NFiPF?=]B.婷,P,F2三點共線

C.NFJM=NF?PM口.閨凹：區(qū)閘=1：3

22

10.已知雙曲線—卓=1。〉0）的左，右焦點分別為片（―c,0）,耳（c,0）直線y=—2（x—c）

與雙曲線C右支相交于A,8（其中A在一象限），若用=|/闞，則下列說法正確的是（）

A.cos=--B.b-3

C.|A@=竽D（A3耳的面積為15

11.2024年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布

?伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點與（-c,0）,g（c,0）距離之

積等于定值c2（c〉o）的點的軌跡稱為雙紐線,已知點p（%,%）是雙紐線C上一點，下列關(guān)于雙紐線的

說法正確的是（）

FIFAWORLDCUP

Qdt_cir2022

A.|PO|的最大值為6cB.雙紐線是中心對稱圖形

C.--<y0<-D.P到H,月距離之和的最小值為2c

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a,b,c分別是ZVlBC的三個內(nèi)角A,B,。所對的邊，若a=3,C=120°,△ABC的

面積s=￡叵，則。=.

4

13.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,asinA+bsinB-csinC-y/3bsinA,則

C=.

14.設(shè)△AB。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=4，sin^A+^=0，△ABC的面

積為6，則。的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

、n

15.在△ABC中，ZA為鈍角，a=7，sin2B=—bcosB-

7

⑴求NA；

⑵若辦=3，求ZiABC的面積?

16.已知函數(shù)F(x)=4cos[x—Ejsinx—2sin1—冷+2%]—1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在△ABC中,。，4c分別是角A、B、C所對的邊，記△ABC的面積為S,從下面①②③中選取兩個

作為條件,證明另外一個成立.

@f(A)=l-,@S=-ab\?a1=b-+bc-

2

17.已知ZVEC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且理0+吧4―4cosC=0.

sinAsinB

⑴證明：a2+b2=2c2；

(2)若cos3=‘inB,求cosA的值.

sinAsinC

18.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。力,c,且2acosC-ccosB=bcosC-

(1)求角C；

(2)若C。是NACB的角平分線,CD=4，^，Z\ABC的面積為18班，求。的值.

19.在△ABC中,AB=6，BC=5?

（1）若。=24求$足4的值；

（2）若△ABC為銳角三角形,cosA=2,求△ABC的面積.

一16

參考答案

I.答案：C

解析：如圖所示,延長耳N,交尸心的延長線于點N,

因為PH為NF^PF2的平分線,耳N,由三線合一得為等腰三角形,

即閨H=|PN同為耳N的中點，

因為。為4月的中點，所以所為△Nf；g的中位線，

故8N=2OH|=1,設(shè)耳尸=加，

由橢圓定義知，耳尸=2a—8尸=4—相，

a

由出尸|=|0M得4—根=加+1,解得m=—^

故四|=|,1卬=:

針「+|凡尸「_因用2

在△PKB中,由余弦定理得cosNE/E,=?

2閨外優(yōu)P|

-2X5X3一二

22

故sin/EPK=Jl—1|1=g'

1]C5543

故S.PF,=5|乙斗山牛皿/片桃=5><=-X—X—=——■

>252

:

故選：c.

2.答案：C

解析：連接￡A,￡8,根據(jù)題意，片,A,C三點共線,

4

F.,B,￡)三點共線.cos/KAB=-cos/R4C=—

^15

-------*--------,,IT,AB\4

且由=O知=5故+——^=-.

￡A|5

所嚼V

可設(shè)由闿=3/,|/叫=4，，寓⑷=5九

由于4a=2a+2a=（山山―囚A|）+（閨石—火即

=IM+W-（IM+IM）-

=|/^A|+|/^B|—|AB|=5t+3t—4t=4,，故。=%.

從而出H=5〃，閨_8|=3〃,故優(yōu)A|=3a,I與同二a.

在AAK6中，由余弦定理得，（Ze?=（5ay+（3a）2—2x5ax3ax：,

2

解得c彳=士5，

a22

22

解析:由橢圓c?土+匕=1知，焦點耳（—1,0）,耳（1,0〉

,43

由正弦定理可知一回—=2R,其中R為4PF、F,外接圓的半徑,

sin/P&E

因為耳（-1,0），瑪（1,0），由圓的性質(zhì)可知，外接圓圓心在y軸上,如圖,

P

M

Pix

x=2

不妨設(shè)圓心為M(O,a)，則圓的方程為爐+(,_“)2=R2,

由題意，圓M與直線i=2有公共點2且火=|加？卜

顯然當(dāng)圓M與直線％=2相切時,R=有最小值2,

此時尸為切點，如圖,

所以，此時-四11_取最小值2|4月=2x2=4,

sinN尸工411

故選:D

4.答案：D

解析：因為在△ABC中,ABAC=120。，又。為5C邊上一點，且ABAD=90°，

所以NC4Z)=々AC—N54Z)=120°—90°=30°，

yv=V-LV

人"ABC-U^ABD丁OACAD'

所以1z?csinN5AC=‘cADsinN5Ar>+'bADsinNDAC，

222

所以工乂1乂2乂立=工*2*4。+，*1X人。乂，，解得AD=^~，

222225

所以寺。嘉

故選:D.

5.答案：A

7171

解析：因為/(%)=尸cosx+sinx,所以f(%)=_/'sinx+cosx，

令x=￡得到/弓)=一/］卜吟+cos5，

代入回原函數(shù)得到/(x)=(2-石)cosx+sinx,

而/(0)=2—百，故切點為(0,2—百)，

而/'(x)=-(2-G卜inx+cosx'/'(0)=1>

設(shè)曲線y=/(x)在x=0處的切線斜率為左，

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得k=/'(0)=1，

故切線方程為y一(2—=化簡得y=x+2—

令x=0，得到y(tǒng)=2—&,所以與y軸交點為(0,2—6)，

令丁=0，得到苫二百一？，所以與x軸交點為(、6—2,0)，

且設(shè)三角形面積為S,故s=gx|2—6卜|6—2|=上產(chǎn)-故A正確.

故選：A

6.答案：A

解析：由正弦定理―--=—-—，得QsinB=Z?sinA，

sinAsinB

所以asinB-yfisinA=bsinA—V3sinA=0，

又人￡(0,兀)，所以sinA>0,所以

故選：A.

7.答案：D

解析：如圖，設(shè)點P在地面上的正投影為點O,

則/B4O=30。，/尸50=45。，/尸CO=60。

設(shè)山高尸。=力，則AO=G/Z,BO=h,C0=J

3

在△AOC中，cosABO=-cos/CBO,

22

a2+h2-3/12b+h--

由余弦定理即有：~—________3_

2ah2bh

整理…『

所以人口、但蛆叫

23b-a

故選：D.

8.答案：C

即，所以，

解析：因為2s=白麗?前，2><Lacsin3=J§accos3tanBuJ^

2

因為Be0,]，所以3=巴

3

根據(jù)正弦定理可得4sin?B=9sinAsinC=3，所以sinAsinC=」，

3

22

由余弦定理得^=a+c-ac=—^所以/+02=,

44

所以由正弦定理得sin2A+sin2C=—sinAsinC=—>

412

(sinA-sinC)2=sin2A+sin2C-2sinAsinC=---=—

v712312

所以sinA-sinC=±羋.

故選：C.

9.答案：BCD

解析：由題意可知：0=42=3，0=后二^=々，即閨月|=2行，

?.?|班|+|?周=8,則|%|=6,

閥尸用2閨用2

/.cosZFPF==g,且/耳尸耳e(O,兀卜則NRPF2=1八錯誤;

1221P用歸耳|

根據(jù)PM±/結(jié)合光線反射可知：NRPM=NF2PM,C正確;

設(shè)片，與n/=N，根據(jù)對稱可知：NRPN=NF：PN，

公產(chǎn)2=/耳'尸耳+/耳尸笈=2(/F]PN+/FiPM)=2ZNPM=兀，故片']，B三點共線，B正

確；

在△￡P(guān)M中，由正弦定理一怛網(wǎng)一區(qū)多則閨sinN^PM

5

sinZ^PMsinZ^MP'\F{P\smZ^MP

同理在中得理4=sinN￡P(guān)M

sinZF2MP

?.?NF2Mp=TI—NRMP,則sinZF2MP=sin（7i-ZF{MP）=sinZFXMP,

\EM\\F,M\\FM\IFPII.,,,…

：?^^=^^廁，則NR4』=二］=一，即A片"：EM=I：3，D正確;

111121

|而\F2P\\F2M\\F2P\3

故選：BCD.

10.答案：ACD

解析：根據(jù)直線AB的斜率左=—2,可得tan2,

故/耳心3為鈍角，故sin/耳心5=竽，cosNRRB：—與A正確,

由于=

故忸閭|.|=|A用一h閶=2a=2?,

又忸耳|-怛周=2a=2石,

故忸耳|=4。=4石，后周=2c,

△百83中，由余弦定理可得(4&『=(2c『+(26『一2x2cx26xt-fl

解得。=3(負(fù)值舍去)，故bug-a2=2,故B錯誤,

設(shè)|A劇=x,|A^|=2〃+%=2行+%

在△耳耳A中,

由余弦定理可得(26+x『=6?+x2—2x6xx與

解得x=*，故|A5|=2a+x=竽，故C正確,

將X換成一X，把y換成_y得J(r+c)2+(_y)2卜…)?+(-?=c2>

即J(x+c)+y2.J(x_c1+y2=。2，故雙紐線關(guān)于原點中心對稱，B正確；

C選項，S△尸6%=g閥“PE|sinN不迅=g閨4閱淇中閨閭=2c，

又2(七,%)在雙紐線上，故|所|?忸8|=。2，

2

故csinZFlPF2—2c?聞，所以=；csinNGP￡<-^c,

當(dāng)且僅當(dāng)“產(chǎn)2=3時，等號成立，所以—]<為<,C正確；

D選項,|產(chǎn)國+歸耳,2膽而呵=2c,當(dāng)且僅當(dāng)|F%|=|F閭時，等號成立,

故D正確;

A選項，當(dāng)2。重合時,歸0|=0，

當(dāng)2。不重合時，而=J_所+時，

2122

2

兩邊平方得PO=|西2+:需+g|兩,方用cos耳Pg,

在△助月中,由余弦定理得閨閶2=歸片「+歸閭2_2歸片“尸閭cos片Pg①,

2

^\PF}f+\PF2f-2\PF,\-\PF2\COSF}PF2=4C②，

2222

式子①②聯(lián)立得,~po=c+|Pf；|-|P^|cosZF{PF2=C+CCOSZF{PF2<2c,

當(dāng)尸落在彳軸上（除原點）時，等號成立，

故|可上J5c,歸0|的最大值為?「A錯誤.

故選：BCD.

12.答案：7

解析：由三角形面積公式可得5=1。66垣。=身叵，

24

因為a=3,C=120°,所以工x3x6xsinl20°="且，解得b=5,

24

由余弦定理可得c?="+廿—2。力cosC=9+25+15=49,

解得c=7.

故答案為：7.

5兀

13.答案：—

6

解析：由正弦邊角關(guān)系，可得/+〃=/—瘋方，

_ci2+b2—c2_A/3rrc\\

又vcosCr------------------------,Cw(0,71)，

2ab2

5兀

所以c=3.

6

故答案為：一

6

14.答案：^21

一7T兀4兀

解析：?.?A￡（0,兀），「.A+—￡

又sin]A+5）=0，所以A+三二兀，故V

-1-?r\

則△ABC的面積S4”=—Z?csinA=—x4xcsin—=A/3，所以c=l，

△AABC223

由余弦定理得〃2=Z?2+c2-2Z?ccosA=16+1-2x4x1x=21,

故〃=^21,

故答案為：yj2\,

15.答案：(1)A=臼;

3

e15g

4

解析：（1）由題意得2sinBcosB="bcosB，因為NA為鈍角，

7

得cos3w0，則2sinB=——/?’

7

b2aq

由正弦定理一-一=一-一得sin56sinAsinA?

sinAsinB萬

解得sinA=K3,因為NA為鈍角，則4=".

23

⑵當(dāng)b=3時，由余弦定理/=/+/一2bccos

得49=9+。2—6ccos——，即/+3(?-40=0，解得c=5,

3

nni1,.1〈。百1573

KJcZ?csin4A=X5x3><-

^ABC=22T^^'

16.答案：（1）kn-^,kn+^,(&:eZ)

(2)證明見解析

解析：⑴由函數(shù)/(x)=4cos|x--^-jsinx-2sin(—|-+2x1-1,

可得/(x)=2\/3cosxsinx+2sin2x+2cos2x-l，

化簡得：/(x)=V3sin2x+cos2x=2sin［2x+—1,

因為即+r2E+多

所以E-gwxW左兀+彳(左eZ),

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為E—，(左ez).

⑵若①③

11JT

由S=—次?=—obsinC,所以sinC=1，所以C=—，

222

由/(A)=1,知2sin(2A+t1=1,因為C=］，所以Ae,

所以24+95子，所以吟

，匚I、Ir-?7C7L7L

加以B—71-------二一

236

由余弦定理：/=加+/—2bccosA=b2+c2—be，

將a?=c2-b2代入得:2b~-be=0，c=2/?，a=6b，

所以/=02一人2=3^2="2+2)2=及+bc，

若由①③n②,由由/(A)=L知2si“2A+f|=l,

由Ae(O,7i),2A+四e［四，史］，所以24+色=型，A='

I，6(66J663

由余弦定理:々2=>2+。2—2)ccosA結(jié)合a2—b2+bc，

jr

所以H=2bc，c=2b，a=y/3b，所以4+〃=/,c=萬，

所以S=工absinC='a/?.

22

若由②③=>①，由5=工次2=工。加也。，所以5足。=1，所以。=巴，

222

所以〃2=/一人2,〃2=匕2+A，所以02一匕2=方2+歷，

再由S=!〃。$1113二工次7得：/?=（?$1115，

22

所以/=2c之sin2B+c2sin5，所以2sin?B+sinB-l=O?

所以sinB《灰，。必號即右兀一方4、

所以/（A）=1-

17.答案：（1）證明見解析

⑵？V3

0

解析：（1）證明：由正弦定理及條件可得幺+色―4cosc=0,

ab

由余弦定理可得之士d-4.后+匕/=0,

ablab

化簡得4+k=2/.

,曰a2+c2-b1￡

（2）由co