第大許導(dǎo)教及其成用、泉中恭等式

一:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷,10

2022?新高考I卷,15

導(dǎo)數(shù)與切線2022?新高考D卷，14

2024?新高考I卷,13

2024?新高考n卷，16(1)

1.局考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)

2022?新高考I卷,22(1)

算法則的應(yīng)用和求切線方程；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)2023?新高考I卷，19

單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般

單調(diào)性、最2024?新高考I卷，18(1)

不超過(guò)三次)以及借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取

值及恒成立2022?新高考n卷，14

得極值的必要和充分條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大

問(wèn)題2022?新高考II卷，22(1)

值、極小值,會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值。

2023?新高考n卷，22(1)

2.高考對(duì)基本不等式的考查，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問(wèn)題。2023?新高考n卷，11

極值、極值

2024.新高考D卷，16(2)

點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)與比較

2022?新高考I卷,7

大小、基本

2022?新高考n卷，12

不等式

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了導(dǎo)數(shù)與切線和函數(shù)最值的知識(shí)點(diǎn)，II卷也考查到了切線,但是是體現(xiàn)在大題

16題的第一問(wèn)中，同時(shí)也考查到了恒成立問(wèn)題。切線問(wèn)題備考時(shí)注意含參數(shù)和公切線的問(wèn)題即可，難度

一般都是較易和適中。導(dǎo)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式證明等問(wèn)題。

導(dǎo)數(shù)常結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)、最值等問(wèn)題綜合考查，比如含函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題、恒成立問(wèn)題等，理解劃歸與轉(zhuǎn)化

思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與切線及單調(diào)性問(wèn)

題。

三:試題精講

一、填空題

【題1】(2024新高考I卷」3)若曲線y=e"+c在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=InQ+1)+a的切線，貝Ia=

二、解答題

【題2】(2024新高考I卷」8)已知函數(shù)/Q)=lnxJ+aa;+b(,—l)3

2—x

⑴若6=0,且廣(2)>0,求a的最小值；

[題3](2024新高考II卷J6)已知函數(shù)/Q)=e。-ac—a3.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線沙=/(2)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程;

(2)若/(2)有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.

高考真題練

一、單選題

】（2022新高考I卷7）設(shè)a=0.1e弋6=[,c=—ln0.9,則（）

9

A.aVbVcB.cVbVaC.cVaVbD.aVcVb

(2023新高考n卷6)已知函數(shù)f(c)=ae*—In*在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

48

二、多選題

【題6】(2022新高考n卷」2)若2，v滿足"/夕=1,則()

A.2+沙41B.x+y^—2C.a:2+y22D.x2+y2>l

[<7](2023新高考II卷41)若函數(shù)/(c)=alnx+~+=(aWO)既有極大值也有極小值，則().

xx

A.bc>QB.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0

三、填空題

[題8](2022新高考I卷」5)若曲線沙=Q+a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是.

【題9】(2022新高考n卷-14)曲線v=ln㈤過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,

四、解答題

0](2022新高考I卷-22)已知函數(shù)/(a?)=e*—ax和g(x)—ax—Inrc有相同的最小值.

(1)求a;

(2023新高考I卷-19)已知函數(shù)/(,)=a(e"+a)—2.

(1)討論/(,)的單調(diào)性；

(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),/(c)>21na+

【題12】(2022新高考n卷-22)已知函數(shù)/(2)=xeax—ex.

(1)當(dāng)Q=1時(shí)，討論/(力)的單調(diào)性；

【題13】(2023新高考II卷,22)⑴證明：當(dāng)0V力V1時(shí)，/一/vs[nx</；

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/3)=C(C為常數(shù))r(x)=o

/㈤=x\aGQ)[㈤=axa~l

于(x)=ax(a>0,aW1)/(6)=a"lnQ

/(2)=logaM。>0,QW1)/'(/)一

xl1na

f?)=e"r(c)=ex

/(a?)=Ina;rQ)=[

/(x)=sina;rQ)=cosx

f(x)=cosx/'(a;)=—sin/

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則：[/(力)土g(力)了=廣(力)土g'Q);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則:[f(x)g(x)]r=ff(x)g(x)+/Q)g，Q);

⑶函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(，)片o,則［卑］=’㈤。叱，⑸。’㈤.

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)g=/［gQ)］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)9=/(“)，u=g^x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為y1=yLu」：

3、切線問(wèn)題

⑴在點(diǎn)的切線方程

切線方程g—/(g)=7(g)(力一g)的計(jì)算：函數(shù)g=f(x)在點(diǎn)A(g,/(g))處的切線方程為0一/(g)=ff

(g)Q—3),抓住關(guān)鍵依7巴

［k=f\x0)

(2)過(guò)點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為P(g,%),則斜率A；=r(3),過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：y-yo=f'(Xg)(x—x0),

又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)A(m,九)，所以八一yo—f'(xo)(m—g)然后解出x0的值.(g有幾個(gè)值，就有幾條切

線)

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

二、單調(diào)性基礎(chǔ)問(wèn)題

4、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法:設(shè)函數(shù)夕=/(⑼在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果>0,則g=/(0為增函數(shù);如果廣

(x)<0,則夕=f(x)為減函數(shù).

5、已知函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

①若/(，)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有r3)>o恒成立(但不恒等于o)；反之，要滿足/'(2)>o,

才能得出/(rc)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/㈤在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有r(，)wo恒成立(但不恒等于。)；反之,要滿足/'3)<0,

才能得出了(0在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.

三、討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

⑴求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解;定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；

(2)變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分:導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)

需單獨(dú)討論的部分)；

⑶求根作圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根,并能做出導(dǎo)函數(shù)與2軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)

間段已知，可直接得出結(jié)論)；

(4)未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；

(5)正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；

(6)一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo));

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù),令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo).

(7)借助二階定區(qū)間(通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；

類型二:含參數(shù)單調(diào)性討論

(1)求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解,定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的

區(qū)間)；

(2)變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分:導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)

需單獨(dú)討論的部分)；

(3)恒正恒負(fù)先討論(變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；

(4)根的分布來(lái)定參(此處需要從兩方面考慮:根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；

(5)導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

四、極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)/Q)在點(diǎn)g附近有定義,如果對(duì)g附近的所有點(diǎn)都有/Q)</(g),則稱/(g)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記

作"極大值=/(g)如果對(duì)XO附近的所有點(diǎn)都有/(c)>/(g),則稱/(g)是函數(shù)的一個(gè)極小值,記作沙極小值=

/(g).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱g為極值點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)/Q)極值的一般步驟

⑴先確定函數(shù)/(⑼的定義域；

⑵求導(dǎo)數(shù)r(c)；

⑶求方程廣(0=0的根；

⑷檢驗(yàn)八①)在方程/，(2)=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函

數(shù)g=f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)g=，(x)在這個(gè)

根處取得極小值.

注:①可導(dǎo)函數(shù)/(①)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是：3是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即/(g)=0,且在須,左側(cè)與

右側(cè)，廣(力的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②/'(2。)—。是g為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/(,)=",/'(0)=0,但g=0不是極值點(diǎn)?另外,

極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/(2)=團(tuán)，在極小值點(diǎn)g=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：g為可導(dǎo)函

數(shù)f(x)的極值點(diǎn)(須))=0；但/'(g)=O^xo為f(x)的極值點(diǎn).

、函數(shù)的最值

函數(shù)y=f(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)/(①)最小值為極小值與靠近極大值

的端點(diǎn)之間的最小者.

2

導(dǎo)函數(shù)為f(a:)—ax+bx+c—a(x—的)(a;—g)(機(jī)<.x1<x2<.n)

(1)當(dāng)a>0時(shí)，最大值是/Qi)與/(n)中的最大者;最小值是/(電)與/(m)中的最小者.

(2)當(dāng)aV0時(shí)，最大值是/(g)與f(m)中的最大者;最小值是/(g)與f(n)中的最小者.

一般地，設(shè)y=/(2)是定義在［m,n］上的函數(shù)，y=f(x)在(m,n)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)夕=/(a;)在［m,n］上

的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

(1)求9=/(2)在(m,n)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將夕=/(,)的各極值與y(m)和/(")比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

【導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用常用結(jié)論】

2、恒成立和有解問(wèn)題

(1)若函數(shù)/(2)在區(qū)間。上存在最小值/(c)min和最大值/(，)max,則

不等式/(力)>a在區(qū)間。上恒成立O/QOmin〉a；

不等式/(c)>a在區(qū)間。上恒成立=/(2)min>a；

不等式/(c)在區(qū)間。上恒成立0/3)111ax<6；

不等式/(2)W6在區(qū)間。上恒成立O/(c)max<b；

(2)若函數(shù)/(c)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?山,n)，則

不等式/(c)>a(或/(a;)>a)在區(qū)間。上恒成立

不等式/(c)<b(或f(x)&b)在區(qū)間。上恒成立=m&b.

(3)若函數(shù)/(,)在區(qū)間。上存在最小值和最大值/(2)max，即/(。)?［m,九］，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有

以下結(jié)論：

不等式aV/(t)在區(qū)間。上有解OaV/lMmax；

不等式aW/(t)在區(qū)間。上有解OaW/(t)max；

不等式a>/(rc)在區(qū)間。上有解Qa>/(c)min；

不等式a>/(c)在區(qū)間。上有解=a>/(,)mM；

(4)若函數(shù)/(c)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?a,九)，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：

不等式a</(a;)(或a4/(c))在區(qū)間O上有解oa<n

不等式b>/(c)(或b>/Q))在區(qū)間。上有解=b>館

(5)對(duì)于任意的XtE[a,6],總存在x2G[m,n]，使得/(g)<c?(x2)of⑹爪4箕(①2)*；

⑹對(duì)于任意的Xie[a,b],總存在工2C[m,n]，使得/(的)>93)。/(㈤由〉。。)*；

⑺若存在gG[a,b],對(duì)于任意的x2E[m,汨，使得/(g)<g(x2)=/(①i)mm&9(g)min；

(8)若存在的C[a,6],對(duì)于任意的X2E[m■，汨，使得/(為)>g(22)O/01)max'g(±2)max；

①)；

(9)對(duì)于任意的xre[a,b],x2C[m,n]使得/(g)<g(rc2)o/(g)max&g(2m"n

(10)對(duì)于任意的ge[a,b],x2￡[m,n]使得/⑶)>9(g)o/Oi)min>g(g)max；

(11)若存在[a,b],總存在22」[館,汨，使得/Ql)&g(g)Of(Cl)min&g(啊)max

(12)若存在的e[a,b],總存在gC[m,汨，使得/(曲)>9(工2)o/(g)皿。/(電溫.

名校模擬練

一、單選題

【題14】(2024?河北保定?三模)曲線/(，)=e。3工在點(diǎn)(0,/(0))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面

積為()

【題15】(2024?陜西西安?三模)已知函數(shù)/⑺=5、則/⑺在點(diǎn)(5,/(5))處的切線方程

為()

A.4/一g-28=0B.4/+g—12=0C.力一4g—12=0D.力+4g—22=0

【題16】(2024?河北保定?三模)已知二次函數(shù)g=a6Q—b)(bWO且bWl)的圖象與曲線g=ln/交于點(diǎn)P,

與n軸交于點(diǎn)4(異于點(diǎn)O),若曲線"=Inc在點(diǎn)P處的切線為，，且/與AP垂直，則Q的值為()

A.」B.-1C.一6D.-2

e

【題17】(2024?貴州六盤(pán)水?三模)已知曲線g=62—31n0的一條切線方程為g=—c+zn,則實(shí)數(shù)m=

()

A.-2B.-1C.1D.2

o1

【題18】(2024?湖南長(zhǎng)沙?二模)已知m>0,0,直線y=—x+m與曲線y=21nx—n+4相切，貝U—十

工的最小值是()

n

A.4B.3C.2D.1

廣（2024?貴州黔東南?二模）已知正實(shí)數(shù)m5滿足62。-2+66=62-2。+6-，則（1—擊的最大值為（）

A.0B.C.1D.日

【題20】（2024?福建泉州?二模）在等比數(shù)列｛冊(cè)｝中，SQ是函數(shù)/（￡）="—1。C+疝1（3，）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若

a2a4—2^2Q3—2，則土的值為（）

A.-4B.—5C.4D.5

（2024?天津和平?三模）已知函數(shù)/（R）=A/^sin&xrcosctxr—1-sin（2tz）2：-G/且。＞0）,xER,

若函數(shù)/（c）在區(qū)間（0,2元）上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

（2024?遼寧?二模）已知正實(shí)數(shù)a,b,記上仁max14a,b,J亍卜則”的最小值為（）

A.V2B.2C.1D.V3

，：：(2024?新疆喀什?三模)已知a=ln(sinl.O2),b=上粵2,c=lnl.O2,則()

01

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【題24】（2024?安徽合肥?三模）已知函數(shù)/㈤在致上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/㈤，若/（c）滿足:

（①一1）[尸（劣）一/⑺]＞0,/（2—①）=f（。）"一為,則下列判斷正確的是（）

A.7（l）＞e/（0）B./（2）＞e2/（0）C./（3）＞e3/（0）D./（4）＜e4/（0）

二、多選題

；（2024?河北衡水?三模）已知函數(shù)/（①）=x3-mx2,2=2是函數(shù)/（2）的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.m=3

B.函數(shù)/0）在區(qū)間（一1,2）上單調(diào)遞減

C.過(guò)點(diǎn)（1,—2）能作兩條不同直線與g=/（/）相切

D.函數(shù)g=/[/（0]+2有5個(gè)零點(diǎn)

【題26】（2024?重慶?三模）若函數(shù)/（力）=alnx-2x2+bx既有極小值又有極大值，則（）

A.ab<0B.a<0C.b2+16a>0D.|a—fe|<4

.（2024?山西太原?三模）已知名1是函數(shù)/（力）=63+^/+九71Vo）的極值點(diǎn)，若/但）=

/2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（力）的對(duì)稱中心為（0,九）B./（—

C.2劣1+/2=0D.的+g>0

28】（2024?河北?三模）已知函數(shù)/（⑼及其導(dǎo)函數(shù)/（a;）的定義域均為R,記g（c）=/（>）,若/（3+2c）為

偶函數(shù)，g（l+c）為奇函數(shù),則下列結(jié)論正確的是（