特點：平頂.曲頂柱體體積=？特點：曲頂.1、曲頂柱體體積一、二重積分概念柱體體積=底面積

╳高第七節二重積分1第1頁播放求曲頂柱體體積采取“分割、取近似、求和、取極限”方法，以下動畫演示．2第2頁1)“分割”用任意曲線網分D為n個區域以它們為底把曲頂柱體分為n

個2)“取近似”在每個則以平帶曲中任取一點小曲頂柱體3第3頁4)“取極限”令3)“近似和”4第4頁2、二重積分定義5第5頁積分區域積分和被積函數積分變量被積表示式面積元素即什么樣函數可積呢？在二重積分定義中，對閉區域劃分是任意，取點是任意.6第6頁假如在D上可積,這時分區域D,可用平行坐標軸直線來劃則面積元素為故二重積分可寫為引例1中曲頂柱體體積:7第7頁二重積分幾何意義當被積函數大于零時，二重積分是柱體體積．當被積函數小于零時，二重積分是柱體體積負值．8第8頁(1)若(2)若偶倍奇零回想:在一元函數定積分學中,假如積分區間對稱性與被積函數奇偶性相結合則有更詳細,問題:多元函數重積分有沒有類似規律?9第9頁設函數D位于x軸上方部分為D1,在D上在閉區域D上連續,(1)設域D關于x軸對稱(關于變量y對稱性),則則DD位于y軸右側部分為D2,在D上(2)設域D關于y

軸對稱(關于變量x對稱性),則則10第10頁(3)域D關于原點對稱,則則在第一象限部分,則有想幾何圖形11第11頁3、二重積分性質下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區域D上連續,A為D面積.

性質2線性性質

這里A為D面積.

性質112第12頁性質4性質3區域可加性

推論1推論2保號性保序性13第13頁性質5估值性質證所以于是14第14頁性質6(二重積分中值定理)幾何意義：曲頂柱體體積=某一點平頂柱體體積是離散平均值在連續上代替物15第15頁abxyo假如積分區域為D：1、在直角坐標系下計算二重積分二、二重積分計算

X型區域特點：

穿過區域內部且平行于y軸直線與區域邊界相交不多于兩個交點.abxyo16第16頁dxyoc假如積分區域為：

Y型區域特點：穿過區域內部且平行于x軸直線與區域邊界相交不多于兩個交點.17第17頁已知平行截面面積立體體積設所給立體垂直于x

軸截面面積為A(x),則對應于小區間體積元素為所以所求立體體積為上連續,回想---微元法主要應用18第18頁設曲頂柱底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體曲邊梯形19第19頁積分區域為：普通地，——先對y積分，后對x積分二次積分記為abxyo20第20頁dxyoc假如積分區域為：——先對x

積分，后對y積分二次積分21第21頁說明:(1)若積分區域既是X–型區域又是Y–型區域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還能夠交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則22第22頁

2.計算方法步驟

畫D計算分步寫D選型說明選型二要素:不或少分區

f(x,y)可或易積若D域為復雜型,或分區或另選坐標系23第23頁將化為二次積分,其中

D

由直線圍成。解法1先畫出積分區域D，將D

向y

軸投影，先x后y,例1xyo24第24頁xyo解法2先y后x,

將D

向x

軸投影,25第25頁例2.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍閉區域.解法1.

將D看作X–型區域,則解法2.

將D看作Y–型區域,

則看成X型域或Y型域都行，而且計算量一樣大26第26頁解例3先求兩曲線交點先對

y

積分，27第27頁解例4只能先積分x，先積分y是無法計算28第28頁例2’.計算其中D是直線所圍成閉區域.解:

由被積函數可知,所以取D為X–型域:先對x

積分不行,只能先積分y，先積分x是無法計算29第29頁計算積分需要注意問題初等函數原函數不一定是初等函數,所以不一定都能積出.比如

,30第30頁解例5先x后y,兩曲線交點31第31頁解例5兩曲線交點選擇積分次序標準：

若選擇先y后x,(1)積分輕易；

(2)盡可能少分塊或不分塊.

麻煩。32第32頁例4.求兩個底圓半徑為R直交圓柱面所圍體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體頂為則所求體積為33第33頁34第34頁解例635第35頁解積分區域為將D

向y

軸投影,

改變積分次序.例7說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分次序.36第36頁解設則例8交換下面積分次序:37第37頁設將D

向y

軸投影,38第38頁例9交換下面積分次序:39第39頁例4’.交換以下積分次序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區域,則40第40頁利用對稱性簡化二重積分計算設積分區域D關于y

軸對稱，yxox-x(1)若f(x,y)關于

x是奇函數，則有(2)若f(x,y)關于x是偶函數，則有其中是D右半區域。41第41頁利用對稱性簡化二重積分計算設積分區域D關于x軸對稱，(1)若f(x,y)關于

y

是奇函數，則有(2)若f(x,y)關于x是偶函數，則有其中是D上半區域。yxo42第42頁例10設有平面區域解oxy利用對稱性簡化二重積分計算43第43頁解oxy選(A).44第44頁例11求二重積分解oxy區域D分別對稱于x軸和y軸，45第45頁2、在極坐標系下計算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標來計算二重積分：

1)當積分區域D為圓域、環域或扇形域等時,D邊界用極坐標表示較為簡單；

2)被積函數含有等形式時,用極坐標積分較為輕易.

直角坐標與極坐標轉換關系為：

46第46頁所以面積元素為47第47頁二重積分化為極坐標下二次積分公式區域特征如圖48第48頁答:問

改變范圍是什么?(1)(2)注意:原點位置與區域關系尤其,對49第49頁解例12在極坐標系下,xyo50第50頁解51第51頁例13解區域D關于y軸對稱，用極坐標，xyo52第52頁xyo53第53頁例.

n

為偶數n

為奇數回想上冊書中,一個慣用定積分公式偶數次用倍角公式降低次數54第54頁例14解直接做麻煩,化為極坐標,55第55頁例15解所以在極坐標系下,圓方程為直線方程為56第56頁解計算二重積分例16由區域對稱性和函數奇偶性，可只考慮第一象限部分，xyo57第57頁解法1例17xyo58第58頁所以59第59頁xyo解法2例17用直角坐標系，先對

x積分，60第60頁所以61第61頁例18解62第62頁求曲頂柱體體積采取“分割、取近似、求和、取極限”方法，以下動畫演示．63第63頁求曲頂柱體體積采取“分割、取近似、求和、取極限”方法，以下動畫演示．64第6