第十四章整式的乘法與因式分解（壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一已知多項式乘積不含某項求字母的值】 1【類型二多項式乘多項式與圖形面積】 2【類型三多項式乘法中的規律性問題】 5【類型四利用完全平方配方求多項式最小/大值問題】 8【類型五平方差公式在幾何圖形中的應用】 13【類型六完全平方公式在幾何圖形中的應用】 19【類型七十字相乘法因式分解】 25【類型八分組分解法因式分解】 31【類型一已知多項式乘積不含某項求字母的值】例題：（2023春·浙江紹興·七年級統考期末）若去括號后不含的一次項，則的值為．【變式訓練】1．（2023春·江西萍鄉·七年級統考期末）若代數式的結果中不含字母x的一次項，則a的值是．2．（2023春·浙江·七年級期末）已知的展開式中不含項和項，那么，．【類型二多項式乘多項式與圖形面積】例題：（2023春·安徽六安·七年級統考期末）閱讀材料并解答問題：我們已經知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示，例如：就可以用圖①的面積來表示．(1)請寫出圖②所表示的代數恒等式．(2)請畫圖，用平面幾何圖形的面積來表示代數恒等式．【變式訓練】1．（2023春·河南開封·七年級統考期末）如圖，某體育訓練基地有一塊長米，寬米的長方形空地，現準備在這塊長方形空地上建一個長米，寬米的長方形游泳池，剩余四周全部修建成休息區．（結果需要化簡）

(1)求長方形游泳池的面積；(2)求休息區的面積；(3)休息區比游泳池的面積大多少平方米？2．（2023春·陜西榆林·七年級統考期末）如圖，在某高鐵站廣場前有一塊長為，寬為的長方形空地，計劃在中間留兩個長方形噴泉池（圖中陰影部分），兩個長方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道．

(1)求該長方形空地的面積；（用代數式表示）(2)求這兩個長方形噴泉池的總面積；（用代數式表示）(3)當，時，求這兩個長方形噴泉池的總面積．【類型三多項式乘法中的規律性問題】例題：（2023春·江西新余·八年級統考期末）觀察下列各式．…請根據你發現的規律完成下列各題：(1)根據規律可得______；（其中為正整數）(2)計算：．（結果保留冪的形式）(3)計算：．（結果保留冪的形式）【變式訓練】1．（2023春·安徽六安·七年級統考期末）觀察下列各式：；；；；(1)根據上面各式的規律可得：________．(2)根據上面各式的規律可得：________．(3)若，求的值．2．（2023春·山東青島·七年級統考期末）（1）計算觀察下列各式填空：第1個：___________；第2個：___________；第3個：___________；這些等式反映出多項式乘法的某種運算規律．（2）猜想：若n為大于1的正整數，則___________．（3）利用（2）的猜想結論計算：___________．（4）擴展與應用：___________．【類型四利用完全平方配方求多項式最小/大值問題】例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級統考期末）閱讀材料：數學課上，老師在求代數式的最小值時，利用公式：，對式子作如下變形：，因為，所以，當時，，因此有最小值，即的最小值為．通過閱讀，解下列問題：(1)代數式的最小值為___________，此時的值為___________(2)試比較代數式與的大小，并說明理由．【變式訓練】1．（2023春·江蘇淮安·七年級統考期末）將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數式的最小值．解：原式．，．當時，的最小值是．(1)請仿照上面的方法求代數式的最小值．(2)代數式的最大值為______．2．（2023春·浙江·七年級統考期末）在學習了乘法公式“”的應用后，王老師提出問題：求代數式的最小值．同學們經過探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，當時，的值最小，最小值為1．∴的最小值是1，請你根據上述方法，解答下列問題：(1)求代數式的最小值；(2)求代數式的最小值；(3)若，求的最小值．3．（2023春·廣東茂名·七年級統考期末）把代數式通過配方等手段得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質解決問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數式求值，解方程，最值問題等都有廣泛的應用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因為不論a取何值，總是非負數，即．所以，所以當時，有最小值．根據上述材料，解答下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：_____________；(2)將變形為的形式，并求出的最小值；(3)若代數式，試求N的最大值．【類型五平方差公式在幾何圖形中的應用】例題：（2023春·廣東揭陽·七年級統考期中）長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖）

(1)上述操作能驗證的等式是___________（請選擇正確的一個）A．B．C．(2)應用你從（）選出的等式，完成下面習題：①已知，，求的值；②計算【變式訓練】1．（2023秋·河北邢臺·八年級校聯考期末）乘法公式的探究及應用．

【探究】（1）將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成一個如圖2的長方形，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式_________；【應用】（2）運用你所得到的乘法公式，完成下列齊題：①若，，求的值；②計算：．【拓展】（3）計算：．2．（2023春·廣東河源·七年級統考期末）如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長方形．

(1)請你表示出圖①中陰影部分的面積_________________________；請你表示出圖②中陰影部分的面積_________________________；(2)比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：_________________________；(3)請應用公式計算：．3．（2023春·山東濰坊·七年級校聯考階段練習）如圖，在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形．

(1)通過計算兩個圖形的面積陰影部分的面積，可以驗證的等式是______；請選擇正確的一個A.B.C.D.(2)應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計算：【類型六完全平方公式在幾何圖形中的應用】例題：（2023春·浙江紹興·七年級校聯考期中）圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式，，之間的等量關系為________________．(2)運用你所得到的公式，計算：若為實數，且，，試求的值．(3)如圖3，點C是線段上的一點，以為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【變式訓練】1．（2022秋·河北廊坊·八年級廊坊市第四中學校考期中）圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．

(1)圖②中陰影部分的正方形的邊長是；(2)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：方法1：；方法2：；(3)觀察圖②，請寫出代數式，，之間的等量關系：．(4)根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：已知：，，求：的值；2．（2023春·山東濰坊·七年級統考期末）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個大正方形．(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是（用含a，b的代數式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗證的等式是：（請選擇正確的一個）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點，以為邊向上分別作正方形和正方形，連結．若，求的面積．3．（2023春·山東煙臺·六年級統考期中）如圖1是長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)你認為圖2中陰影部分的正方形的邊長等于多少？___________．(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【類型七十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級校考階段練習）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項系數2可以寫成，常數項可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號，將1、2寫在“×”號左邊，將、3或1、寫在“×”號的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數：①的系數為；②的系數為；③的系數為；④的系數為．顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數，因此有：．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號右邊的數使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數字；

②分解因式：________．【變式訓練】1．（2023春·廣西北海·七年級統考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)2．（2023春·廣西梧州·七年級統考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．3．（2023春·湖南岳陽·七年級統考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發現第③個“交叉相乘之和”的結果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結論：(1)將多項式進行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數的所有可能值．4．（2023春·陜西榆林·八年級統考期末）閱讀下列材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據材料，把下列式子進行因式分解．(1)；(2)；(3)．5．（2023春·七年級單元測試）閱讀材料：根據多項式乘多項式法則，我們很容易計算：；．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得：；．通過這樣的關系我們可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式．如將式子分解因式．這個式子的二次項系數是，常數項，一次項系數，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：．利用這種方法，將下列多項式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【類型八分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級高新一中校考期末）《義務教育數學課程標準（2022年版》關于運算能力的解釋為：運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力，因此，我們面對沒有學過的數學題時，方法可以創新，但在創新中要遵循法則和運算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于已學過的方法進行分解．例題：用拆項補項法分解因式．解：添加兩項．原式請你結合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【變式訓練】1．（2023春·廣東深圳·八年級統考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項式無法直接使用上述方法分解，如，我們可以把它先分組再分解：，這種方法叫做分組分解法．請解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三邊，且滿足，請判斷的形狀，并說明理由，2．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市高級中學校考期中）我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）；②（拆項法）；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，求的周長．3．（2023春·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學校聯考階段練習）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．4．（2023春·山東青島·八年級統考期末）【問題提出】：分解因式：（1）

（2）【問題探究】：某數學“探究學習”小組對以上因式分解題目進行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲發現該多項式前兩項有公因式，后兩項有公因式，分別把它們提出來，剩下的是相同因式，可以繼續用提公因式法分解．解：另：乙發現該多項式的第二項和第四項含有