*

電勢及其梯度

4.1靜電場力所做的功與路徑無關(guān)

證明的出發(fā)點(diǎn)：庫侖定律場強(qiáng)疊加原理

證明過程：

(1)單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場有心力場：就是在空間存在一個(gè)中心

點(diǎn)電荷產(chǎn)生的庫侖場是有心力場。*把試探電荷q0從P移到Q

力對試探電荷所作的功與路徑無關(guān)．只和試探電荷的起點(diǎn)、終點(diǎn)位置有關(guān)，此外它還與試探電荷q0的大小成正比。

*(2)任何帶電體系產(chǎn)生的電場

把試探電荷從P移至Q電場力所做的功

結(jié)論：試探電荷在任何靜電場中移動(dòng)時(shí)，電場力所作的功，只與這試探電荷電量的大小及其起點(diǎn)、終點(diǎn)的位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。*（3）任意有限大的帶電體產(chǎn)生的電場

可以將帶電體無限分割成微元，每一個(gè)微元均為一點(diǎn)電荷——點(diǎn)電荷組結(jié)論：在任何電場中移動(dòng)試探電荷時(shí)，電場力所做的功除了與電場本身有關(guān)外，只與試探電荷的大小及其起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)，與移動(dòng)電荷所走過的路徑無關(guān)*(4)靜電場的環(huán)路定理

在任意電場中取一閉合回路，將試探電荷沿路徑L從p——Q——P，電場力所做的功為

靜電場的環(huán)路定理:靜電場中場強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分,即環(huán)量恒等于0。*討論哪些力具有做功與路徑無關(guān)這種性質(zhì)？引力引入引力勢能重力引入重力勢能彈性力引入彈性勢能靜電力引入靜電勢能勢函數(shù)*4.2電勢與電勢差可以與重力做功類比電場力做正功，電勢能將減少電場力做負(fù)功，電勢能將增加電勢能的改變量q0在

P點(diǎn)的電勢能q0在

Q點(diǎn)的電勢能電勢增量定義靜電場與q0有能量交換電場力的功*電勢的定義從中扣除q0,即引入電勢P、Q兩點(diǎn)之間的電勢差定義為從P點(diǎn)到Q點(diǎn)移動(dòng)單位正電荷時(shí)電場力所作的功單位正電荷的電勢能差*空間某點(diǎn)的電勢值為了確定某點(diǎn)的值，還需要選擇零點(diǎn)一般選擇無窮遠(yuǎn)為勢能零點(diǎn),P點(diǎn)電勢值為兩點(diǎn)之間電勢差可表為兩點(diǎn)電勢值之差單位：1V(伏特）＝1J/C*例題10（p35)一示波器中陽極A和陰極K之間的電壓是3000V，試求陰極發(fā)射出的電子到達(dá)陽極時(shí)的速度。設(shè)電子從陰極出發(fā)時(shí)初速為零。

解：電子帶負(fù)電，它沿電勢升高的方向加速運(yùn)動(dòng)，即從陰極K出發(fā)到達(dá)陽極A.

靜電場力是保守力，按能量守恒電子到達(dá)陽極時(shí)獲得的動(dòng)能*電子伏特電子伏特：能量單位帶有電量+e或-e的粒子飛躍一個(gè)電勢差為1V的區(qū)間，電場力對它作的功(從而粒子本身獲得這么多能量（動(dòng)能）——1eV*例題11(p36)

求單個(gè)點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場中各點(diǎn)的電勢。解：利用公式

因?yàn)殡妶隽Φ墓εc路徑無關(guān)，計(jì)算公式中的積分時(shí),我們就選取一條便于計(jì)算的路徑，即沿矢徑的直線，于是有：*

例題12（p36)

求均勻帶電球殼產(chǎn)生的電場中電勢的分布，設(shè)球殼帶電總量為Q、半徑為R.解：在例題6中得到的帶電球殼場強(qiáng)分布為計(jì)算電勢時(shí)，仍和點(diǎn)電荷的情形一樣，沿著矢徑積分方向沿矢徑在球殼外(r＞R)，結(jié)果與點(diǎn)電荷情形一樣,*在球殼內(nèi)(r<R),積分要分兩段：一段P到球殼表面(r＝R處)，在這段里E＝0：另一段由r＝R處到∞，只有這段對積分有貢獻(xiàn)。于是：概括起來有：均勻帶電球殼的電勢分布如圖*4.3電勢疊加原理點(diǎn)電荷組有

連續(xù)帶電體有*討論電勢與場強(qiáng)一樣是一個(gè)描述場本身性質(zhì)的物理量，與試探電荷無關(guān)，是標(biāo)量。電勢疊加是標(biāo)量疊加。電勢UP：P與無窮處電勢差電勢零點(diǎn)選取可以任意選取選擇零點(diǎn)原則：場弱、變化不太劇烈

問題選無窮遠(yuǎn)為零點(diǎn)

？

選地為零點(diǎn)即地和無窮遠(yuǎn)等電勢嗎？*地與無窮遠(yuǎn)的電勢差實(shí)際地球周圍大氣中有一個(gè)方向向下的靜電場是地球所帶的負(fù)電荷和大氣中的等離子體產(chǎn)生的若以無窮遠(yuǎn)為勢能零點(diǎn)，則地球的電勢為思考：點(diǎn)電荷的勢能零點(diǎn)是否可以選在電荷上？無限大平面板的勢能零點(diǎn)能否選在無窮遠(yuǎn)？*求電勢用電勢定義求：用電勢疊加原理求例題13(p37)：

求距電偶極子相當(dāng)遠(yuǎn)的地方任一點(diǎn)的電勢。已知電偶極子中兩電荷±q之間的距離為l。解：設(shè)場點(diǎn)P到±q的距離分別為r+和r-，則±q單獨(dú)存在時(shí)P點(diǎn)的電勢分別為根據(jù)電勢疊加原理，有*

電偶極子的中點(diǎn)O到場點(diǎn)P的距離為r,按題意，r>>l于是有：得*例題（補(bǔ)充）：方法一：已知場強(qiáng)求電勢

兩個(gè)均勻帶電的同心球面，半徑分別為Ra和Rb，帶電總量分別為Qa和Qb,求圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)內(nèi)的電勢分布**方法二：電勢疊加各區(qū)域的電勢分布是內(nèi)外球殼單獨(dú)存在時(shí)的電勢的疊加

內(nèi)殼單獨(dú)存在外殼單獨(dú)存在Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：

*小結(jié)：

求一點(diǎn)電勢要已知這點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)的場強(qiáng)分布；電勢疊加要先求各帶電體單獨(dú)存在時(shí)的電勢，然后再疊加；電勢是標(biāo)量，疊加是標(biāo)量疊加，比場強(qiáng)疊加容易*

4.4等勢面

等勢面：電勢相等的點(diǎn)所組成的面。點(diǎn)電荷的等勢面*等勢面的性質(zhì)（1）等勢面與電場線處處正交

證明：設(shè)一試探電荷q0沿任意一個(gè)等勢面作一任意元位移dl電場力所做的功\*等勢面與電場線的分布等量異號點(diǎn)電荷等量同號點(diǎn)電荷*（2）等勢面較密集的地方場強(qiáng)大，較稀疏的地方場強(qiáng)小

證明：設(shè)電場中任意兩個(gè)相鄰等勢面之間的電勢差為一定的值，按這一規(guī)定畫出等勢面圖，以點(diǎn)電荷為例，其電勢為

因?yàn)橄噜彽葎菝骐妱莶顬橐欢ㄖ担杂邪霃街睢豶2定值*標(biāo)量場：任何空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)電勢U是標(biāo)量，它在空間每點(diǎn)有一定的數(shù)值，所以電勢是個(gè)標(biāo)量場。梯度：指一個(gè)物理量的空間變化率,最大的方向微商.如:速度梯度溫度梯度等沿

l的方向微商可以表示為4.5電勢梯度

若取垂直方向，即場強(qiáng)方向

n，則沿該方向的方向微商為*結(jié)論：兩等勢面間U沿Δn方向的變化率比沿其他任何方向的變化率都大電勢梯度

方向：沿電勢變化最快的方向大小：

在三維空間電勢梯度與場強(qiáng)的關(guān)系Δn很小，場強(qiáng)E變化不大

*E總是沿著指向電勢減少的方向——E與Δn相反矢量微分算符

直角坐標(biāo)系表示

在球坐標(biāo)系中，場強(qiáng)的各個(gè)分量為：

*例題14(P41):利用例題13的結(jié)果求電偶極子的場強(qiáng)分布解：例題13的結(jié)果為

由于軸對稱性，U與方位角φ無關(guān)。E的三個(gè)分量為*在偶極子的延長線上，θ=0或π，Eθ=0從而在偶極子的中垂面上,θ=π/2

,Er=0例題15(P42)

求均勻帶電圓形細(xì)環(huán)軸線上的電勢和場強(qiáng)分布。設(shè)環(huán)的半徑為R，電荷的線密度為ηe。*解：（1）電勢分布

軸上任一場點(diǎn)P到圓環(huán)上每一線段dl的距離為

按照電勢疊加原理．整個(gè)圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為各線元dl產(chǎn)生電勢的標(biāo)量疊加*（2）場強(qiáng)分布

軸線上場強(qiáng)的投影為

從對稱性可以看出，場強(qiáng)矢量的方向就沿軸線，而它的大小，軸線以外的場強(qiáng)則有多個(gè)分量。*4.6電偶極層

電偶極層一厚度l均勻的曲面薄殼，兩面帶有符號相反的面電荷±σe。這樣的帶電體系為電偶極層.

按電勢疊加原理，P點(diǎn)的電勢為：

于是*因而定義電偶極層強(qiáng)度：——單位面積上的電偶極矩

對于均勻的電偶極層，是常量，*P點(diǎn)的電場強(qiáng)度