第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省郴州市2024-2025學年高二（下）3月聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z滿足(1+i)z=1，其中i為虛數單位，則|z|=(

)A.1 B.22 C.22.在平面直角坐標系中，已知直線l的方向向量為v=(1,33)，則直線A.π6 B.π3 C.2π33.某校文藝匯演上有一個合唱節目，3名女同學和4名男同學需從左至右排成一排上臺演唱，則男生甲與女生乙相鄰，且男生丙與女生丁相鄰的排法種數為(

)A.194 B.240 C.388 D.4804.已知Sn是等差數列{an}的前n項和，且a6A.55 B.50 C.100 D.585.曲線y=f(x)=2x2?x在x=1處的切線方程為A.x+y?2=0 B.x+y?4=0 C.3x?y?2=0 D.3x+y?4=06.已知圓C：x2+y2?6x?8y+16=0與過點P(2,3)的直線l交于A，B兩點，則弦A.2 B.22 C.7.2025年春節期間，有《封神第二部：戰火西岐》《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《熊出沒?重啟未來》和《射雕英雄傳：俠之大者》五部電影上映，小羅準備和另外3名同學去隨機觀看這五部電影中的某一部電影，則小羅看《哪吒之魔童鬧海》，且4人中恰有兩人看同一部電影的概率為(

)A.310 B.35 C.726258.過橢圓x216+y212=1上一點P，分別向圓C1：(x+2)2+y2=A.?672 B.?652 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=12sin2x+A.若f(x1)=f(x2)=0，則|x1?x2|的最小值為π2

B.函數y=f(x)的圖象向右平移π12個單位長度后得到的函數圖象關于原點對稱

C.存在θ∈(0,10.已知A，B為隨機事件，P(A)=0.6，P(B)=0.3，則下列結論正確的有(

)A.若A，B為互斥事件，則P(A∪B)=0.9B.若A，B為互斥事件，則P(A?∪B?)=0.1

C.若A，B相互獨立，則P(A∪B)=0.7211.已知數列{an}滿足an+2=25an+1?5an，且aA.a4=205 B.{an+1?5an}是等比數列三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?4x13.已知隨機變量X取所有的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)=3，則D(2X+1)=______．14.已知對于任意的x∈R，存在k>0，使得不等式xex+m≥k(x?1)恒成立，則實數m四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數列{an}為公差不為零的等差數列，其前n項和為Sn，S5=25，且a2，a5，a14成等比數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若數列{a16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，△PAB為正三角形，且PD=22，M為PD的中點．

(1)求證：PB//平面ACM；

(2)求直線BM與平面PAD所成角的正弦值．17.(本小題15分)

2025年的農歷新年里，某市傳統民俗文化廟會在歷史文化街區舉辦.廟會設有7個傳統手工藝展示區、11個地方美食攤位區和3個民俗表演舞臺區，街區總面積約2萬平方米.游客可選擇乘坐復古三輪車、騎共享單車或者步行來逛廟會．

(1)若游客甲準備在7個傳統手工藝展示區和3個民俗表演舞臺區中隨機選取2個區域游覽，設甲參觀傳統手工藝展示區的數量為X，求X的分布列及數學期望；

(2)為了解游客體驗感受，主辦方隨機詢問了350名首次逛廟會且只選擇一種游覽方式的游客，其游覽方式和游覽結果的統計數據如下表：游覽方式

游覽結果復古三輪車共享單車步行逛完所有區域405030未逛完所有區域2070140以頻率估計概率，若游客乙首次逛廟會，選擇上述三種游覽方式中的一種，求游覽結束時乙能逛完所有區域的概率．18.(本小題17分)

已知函數f(x)=a(ex+a)?x?2．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若函數f(x)有兩個零點，求實數19.(本小題17分)

如圖，已知曲線C1：y2=4x，曲線C2：x2a2+y2b2=1的左、右焦點分別是F1，F2，且F2是曲線C1的焦點，點P是C1與C2在第一象限內的公共點且|PF2|=52，過F2的直線l分別與曲線C1和C2交于點A，

參考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.?12

13.8

14.[?e,+∞)

15.解：(1)設等差數列{an}的公差為d(d≠0)，

由S5=25，且a2，a5，a14成等比數列，

得5a1+5×42d=25(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，

解得a1=1d=2或a1=5d=0(舍去)，

∴an=a1+(n?1)d=2n?1(n∈N?)；

(2)由an=2n?1，知a1=1，a3=5，

又{an+bn}為公比是2的等比數列，b3=3，

∴a3+b3=(a1+b1)×4=5+3=8，即a1+b1=1+b1=2，

∴an+bn=2×2n?1=2n，bn=2n?(2n?1)，(n∈N?)

則Tn=b1+b2+...+bn=(21+22+...+2n)?[1+3+...+(2n?1)]

=2×(1?2n)1?2?(1+2n?1)n2=2n+1?2?n2．

16.解：(1)證明：連接BD∩AC=N，連MN，如圖，正方形ABCD中，N為BD的中點，而M為PD的中點，

則PB/?/MN，而MN?17.解：(1)由題意知：X所有可能取值為0，1，2，

P(X=0)=C32C70C102X012P177所以E(X)=0×115+1×715+2×715=75；

(2)記事件A為“游客乙乘坐復古三輪車游園”，事件B為“游客乙騎共享單車游園”，事件C為“游客乙步行游園”，事件M18.解：(1)∵函數f(x)=a(ex+a)?x?2，

∴f′(x)=aex?1，

當a≤0時，f′(x)<0，

∴函數f(x)在單調減區間為(?∞,+∞)，

當a>0時，令f′(x)>0，則x>ln1a，令f′(x)<0，則x<ln1a，

∴函數f(x)的單調增區間為(ln1a,+∞)，單調減區間為(?∞,ln1a)，

綜上所述，當a≤0時，f(x)在單調減區間為(?∞,+∞)，沒有增區間；

當a>0時，函數f(x)的單調增區間為(ln1a,+∞)，單調減區間為(?∞,ln1a)；

(2)由(1)知，要使函數f(x)有兩個零點，則a>0，

當a>0時，f(x)min=f(ln1a)=lna+a2?1，

又當x→?∞時，f(x)=aex+a2?x?2→+∞，當x→+∞時，f(x)→+∞，

∵函數f(x)有兩個零點，

∴f(x)min=f(ln1a)=lna+a2?1<0，

令?(a)=lna+a2?1，

∵函數y=lna，y=a2?1在(0,+∞)上都是增函數，

∴函數?(a)在(0,+∞)上是增函數，

又∵?(1)=0，

∴不等式?(a)=lna+a2?1<0的解集為a∈(0,1)，

∴實數a的取值范圍為(0,1)．

19.(1)由題意：已知曲線C1：y2=4x，曲線C2：x2a2+y2b2=1的左、右焦點分別是F1，F2，

且F2是曲線C1的焦點，點P是C1與C2在第一象限內的公共點且|PF2|=52，

過F2的直線l分別與曲線C1和C2交于點A，B和M，N