第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市順義區牛欄山一中高二（下）3月月考數學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知Cn2=6，則n的值為A.3 B.4 C.5 D.62.甲、乙、丙、丁四名學生代表高二(1)班參加校運動會4×100米接力比賽，則他們的出場順序的方案數可以表示為(

)A.A44 B.C44 C.3.若X～B(n,0.4)，且E(X)=4，則D(X)等于(

)A.4 B.2.4 C.0.96 D.0.244.(x2+ax)5展開式中第四項的系數為A.8 B.4 C.2 D.±25.對于(2+x)A.(2+x)6的展開式中共有6項．

B.(2+x)6展開式中的第四項與6.一場元旦聯歡晚會上共有3個舞蹈節目，4個歌曲節目，2個語言類節目，則3個舞蹈類節目兩兩不相鄰的節目安排種類數為(

)A.A73A66 B.A37.春節期間小明與爸爸、媽媽、爺爺、奶奶一家五人來到電影院觀看《哪吒2》，已知五人的電影票座位是依次相鄰的，且爺爺、奶奶、小明三人相鄰，則符合要求的坐法的種類數為(

)A.120 B.36 C.24 D.68.盒子中共有3個紅球和5個黃球，從中隨機取出3個球，則取出的紅球多于黃球的概率為(

)A.1156 B.38 C.9289.北京市某高中高一年級5名學生參加“傳承詩詞文化，賡續青春華章”古詩詞知識競賽，比賽包含“唐詩”、“宋詞”、“元曲”三個項目，規定每個項目至少有一名學生參加，則符合要求的參賽方法種類數為(

)A.60 B.90 C.150 D.24010.在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,3)，動點P滿足OP=λOA+μOB，且|λ|+|μ|=1A.點P的軌跡為圓． B.點P到原點的最短距離為1．

C.點P的軌跡所圍成的圖形的面積為6． D.點P的軌跡是一個正方形．二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知離散型隨機變量X的分布列如下表，則m=______．X0123P11m1?2m12.若事件A，B相互獨立，其中P(A)=0.4，P(B)=0.7，則P(B|A?)=______．13.二十四節氣是中國古代用來指導農事的補充歷法，是中華民族勞動人民長期經驗積累的智慧結晶.春、夏、秋、冬每個季節各包含六個節氣.李華同學計劃從中隨機選取2個節氣開展知識講座，則兩個節氣恰好在同一季節的概率為______；若已知選取的2個節氣均屬于春季，則其中包含“立春”的概率為______.(“立春”是春季的六個節氣之一.)14.(a+b+c)4的展開式中含a15.若曲線f(x,y)=0上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”，下列方程的曲線有“自公切線”的是______．

①|x|?4?y2+1=0；

②y=2sin(3x+π6)；三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知二項式(2x?1x)n的展開式中，各項二項式系數之和為64．

(1)求n的值及展開式中的常數項；

(2)17.(本小題13分)

“猜燈謎”是我國傳統節日元宵節的特色活動.某公司組織猜燈謎比賽，根據謎底不同分為“字謎”、“事謎”、“物謎”三種類型，每個人每類燈謎只能猜一個.小張猜對“字謎”、“事謎”、“物謎”的概率分別為p1、p2、p3，假設每類燈謎猜對與否互不影響．

(1)求小張恰好猜對一類燈謎的概率；(只列式不化簡)

(2)求小張至少猜對一個燈謎的概率.(18.(本小題14分)

某高中為了解學生日常運動情況，從該校學生中隨機抽取100名學生作為樣本，統計他們一周之內總運動時間，將結果按如圖所示分組，得到樣本學生一周內總運動時間的頻率分布直方圖．

假設以頻率估計概率．

(1)求a的值，并計算樣本中學生一周內總運動時間在[4,6)小時的人數；

(2)從該校學生中隨機抽取5人，其中一周內運動總時間在[4,6)小時的人數記為X，求P(X≤2)；(只列式不化簡)

(3)記y?為樣本中所有學生一周內總運動時間的平均值，從樣本中隨機挑選一名學生，記Y為該名學生一周內總運動時間，比較E(Y)與y?的大小.(結論不要求證明)19.(本小題15分)

小型熱帶魚具有顏色好看，小巧耐活，繁殖能力強等特點，深受大眾喜愛.張先生在家里的魚缸中養殖了3條孔雀魚、5條虎皮魚和7條斑馬魚．

(1)從魚缸中隨機撈出2條魚，求兩條魚種類不同的概率；

(2)從魚缸中隨機撈出2條魚，記其中孔雀魚數量為x1，虎皮魚數量為x2，設Y=x1?x2，求Y的分布列及其期望；

(3)若張先生又從市場購買了孔雀魚、虎皮魚和斑馬魚各3條并投入魚缸，此時從魚缸中隨機撈出2條魚，記其中孔雀魚數量減去虎皮魚數量之差為Y′，比較(2)中E(Y)與20.(本小題15分)

已知橢圓C：x24+y22=1，點P(0,1)．

(1)求橢圓的離心率和短軸長；

(2)設直線l：y=kx+m(k≠0)與橢圓有兩個不同的交點E，21.(本小題15分)

如圖，設A是由2n個實數組成的2行n列數表(n≥3)，其中aij表示數表中第i行第j列的實數，滿足：aij≥0，且a1j+a2j≤4(i=1,2；aa…aaa…a記Pn為所有這樣的數表組成的集合.對于任意A∈Pn，記S(A)=j=1na1j，T(A)=j=1na2j；記Ω為{1,2,3,…,n}的一個子集，定義“Ω變換”為：對于任意k∈{1,2,3,…,n}，若k∈Ω，則令a1k=0，a2k不變；若k?Ω，則令a2k=0，a1k不變.240204(2)證明：對于任意A∈P3，存在集合Ω滿足S(Ω(A))+T(Ω(A))≤6；

(3)證明：對于任意A∈Pn，存在集合Ω滿足S(Ω(A))≤n+1且參考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.B

8.D

9.C

10.C

11.51212.0.7

13.523

114.12

81

15.②④

16.解：(1)二項式(2x?1x)n的展開式中，各項二項式系數之和為64．

則2n=64，解得n=6，

所以該二項式為(2x?1x)6，

則通項公式為：Tk+1=C6k(2x)6?k(?1x)k=(?1)kC6k26?kx6?3k2,k=0,1,2,???,6．

令6?3k2=0，解得k=4，

所以該二項式的展開式中的常數項為T4+1=(?1)4C6422=60．

(2)取x=1，故展開式中所有項的系數和(2?11)6=1，

(3)由于n=6，故展開式中二項式系數最大為C63，故二項式系數最大的項為

T4=(?1)3C6323x6?3×32=?160x32．

17.解(1)：根據題意，設小張猜對“字謎”、“事謎”、“物謎“分別為事件A，B，C，

則P(A)=p1，P(B)=p2，P(C)=p3，且事件A，B，C相互獨立．

設小張恰好猜對一類燈謎為事件D，

則P(D)=P(AB?C?)+P(A?BC?)+P(A?B?C)

=p1(1?p2)(1?p3)+(1?p1)p2(1?p3)+(1?p1)(1?p2)p3．

(2)根據題意，設小張至少猜對一個燈謎為事件E，

則事件E的對立事件為小張沒有猜對一個燈謎，即A?B?C?，

故P(E)=1?P(A?B?C?)=1?(1?p1)(1?p2)(1?p3)．

18.Y?2?1012P103536213E(Y)=?2×10105+(?1)×35105+0+1×21105+2×3105=?20?35+27105=?28105；

(3)記其中孔雀魚數量為x3，虎皮魚數量為x4，設Y′=x3?x4，

則當Y′=x3?x4=0時，則x3=0，x4=0或x3=1，x4=1，此時概率C102+C61CY′?2?1012P2880936015E(Y′)=?2×28276+(?1)×80276+0+1×60276+2×1520.解：(1)因為橢圓C：x24+y22=1，

所以b2=2，a2=4，

故a=2,b=2，所以c=a2?b2=2

故離心率為e=ca=22，短軸長為2b=22；

(2)由y=kx+mx2+2y2?4=0，

得(2k2+1)x2+4mkx+2m2?4=0．

因為直線l與橢圓C有兩個交點，

所以Δ=16m2k2?8(2k2+1)(m2?2)>0，

即4k2+2?m2>0(?)，

設21.解：(1)根據題目：設A是由2n個實數組成的2行n列數表(n≥3)，

其中aij表示數表中第i行第j列的實數，滿足：aij≥0，且a1j+a2j≤4(i=1,2；j=1，2，…，240000S

=

2+4+0

=

6，T

=

0+0+0

=

0，S+T

=

6，符合題意；

當Ω={1,2,3}時，變換后的數表Ω(A)為000204S=0+0+0=0，T=2+0+4=6，S+T=6，符合題意；

當Ω={2,3}時，變換后的數表Ω(A)為200004S=0+4+0=0，T=2+0+4=6，S+T=10，不符合題意；

當Ω={1,3}時，變換后的數表Ω(A)為040204S+T=10，不符合題意；

當Ω={1,2}時，變換后的數表Ω(A)為000200S+T=2，不符合題意；

當Ω={1}時，變換后的數表Ω(A)為040200S+T=6，符合題意；

當Ω={2}時，變換后的數表Ω(A)為200000S+T=2，不符合題意；

當Ω={3}時，變換后的數表Ω(A)為240004S+T=10，不符合題意；

以上任意符合題意的集合都可以作為集合Ω，即Ω=?，{1,2,3}，{1}，{2,3}．

(2)證明：根據題目：記Pn為所有這樣的數表組成的集合．對于任意A∈Pn，

記S(A)=j=1na1j，T(A)=j=1na2j；記Ω為{1,2,3,…,n}的一個子集，

定義“Ω變換”為：對于任意k∈{1,2,3,…,n}，若k∈Ω，

則令a1k=0，a2k不變；若k?Ω，則令a2k=0，a1k不變．

數表A經過“Ω變換”所得新數表記為Ω(A)．

因為aij≥0，且a1j+a2j≤4(i=1,2；j=1，2，3)．

max{a1j,a2j}≥2，min{a1j,a2j}≤2，

定義Ω={j∈{1,2,3}|a1j≥a2j}，

即將列中第一行的數大于等于第二行的數的列的列數構成集合Ω，

則變換后每一列中只剩一個不超過2的數，S+T≤2×3=6，符合題意．

這就證明了對于任意A∈P3，存在集合Ω滿足S(Ω(A))+T(Ω(A))≤6；

(3)證明：每一列的數對可能為(0,4)，(4,0)，(1