2024-2025學年重慶市北錯區高一上學期第一次月考數學學情

檢測試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1,已知集合”=《，，},則

A.UB.{1,3,5}C.{2,4,6}D,{3,5,6)

2已知全集0=火，集合2={#2<x<3},B=\yy>->,則(①B)=()

A[-2,0)B.—2,；]

C.0,；]D,[0,3)

3.設命題尸勺〃eN,〃2〉2",則「P為

A.V〃eN,〃2〉2"B.3n&N,n2<2'1

C.V〃eN,〃2<2"D.3n&N,n2=T

4.設xeR,則“x2_4x+3<o”是“J+x-2〉0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

5.使得不等式“必<1，，成立的一個必要不充分條件是()

A.-1<X<1B.x<\C.x<lD.x>1

6,下列六個關系式:①{a,6}U{b,a}@{°回={4a}:③網=0；④0e{0}；⑤0e{0}；

⑥0口{0},其中正確的個數為()

A.3個B.4個C.5個D.6個

7.為豐富學生的課外活動，學校開展了豐富的選修課，參與“數學建模選修課”的有169人，

參與“語文素養選修課”的有158人,參與“國際視野選修課”的有145人，三項選修課都參與的

有30人，三項選修課都沒有參與的有20人，全校共有400人，問只參與兩項活動的同學有

多少人？（）

A.30B.31C.32D.33

8.若不等式（"2）必+2（。-2）x-4<0對任意實數x均成立，則實數a的取值范圍是

（）

A.（—2,2]B.[-2,2]C.（2,+8）D.（-8,2]

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，部份選

對得部份分，有選錯的不得分.

9.己知集合/={0』},B=\x\ax-+x-\=0\,若4衛B,則實數a的取值可以是（）

1

A.0B.1C.-1D.-

2

10.若a,“ceR,c〉0〉a〉b,下列不等式一定成立的有（）

2311

A.ab3>a3bB.—>—

ab

babZ?+l

C.------->--------D.-<------

a-cb-caa+1

11.已知>0,x+2y+中一6=0,貝ij（）

A.孫的最大值為0

B.x+2y的最小值為4

C.x+y的最小值為4行_3

D.（》+2）2+（卜+1）2的最小值為16

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合2={1,。},02={4},。={1,d°2},則。=.

13.不等式X-2<33的解集為

x

x?—2x+4

14.若x〉2,則y=2—的最小值為.

x—2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.己知集合/={x[0<x<2},B=|x|tz<x<3-2o}.

(1)若(金Z)uB=R,求實數。的取值范圍；

(2)若418力8,求實數a的取值范圍.

16.求函數〉=x+』(x<0)的最值.

x

17.已知全集為R,集合尸=卜產-12X+20W0},集合M={x|x<a或x>2a+l}(a>0).

(1)若xe尸是xeM成立的充分不必要條件，求a的取值范圍；

(2)若？。(為河)=0,求a的取值范圍.

18.(1)已知x>l,求4X+1H—匚的最小值；

x—1

(2)已知0<x<l,求x(4-3x)的最大值.

19.科技創新是企業發展的源動力，是一個企業能夠實現健康持續發展的重要基礎.某科技企

業最新研發了一款大型電子設備，并投入生產應用.經調研，該企業生產此設備獲得的月利

潤。(x)(單位：萬元)與投入的月研發經費x(15<x<40,單位：萬元)有關：當投入的

月研發經費不高于36萬元時，^(x)=--x2+8x-90；當投入月研發經費高于36萬元時,

p(x)=0.4x+54.對于企業而言，研發利潤率y=￡00x100%,是優化企業管理的重要

X

依據之一，y越大，研發利潤率越高，反之越小.

(1)求該企業生產此設備的研發利潤率y的最大值以及相應月研發經費X的值；

(2)若該企業生產此設備的研發利潤率不低于190%,求月研發經費x的取值范圍.

2024-2025學年重慶市北借區高一上學期第一次月考數學學情檢測試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知集合”=則電M

A.UB,{1,3,5}C.{2,4,6}D.{3,5,6}

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：因為。={1,2,3,4,5,6},"={1,2,4},所以，6"={3,5,6}

故選D.

考點：集合的運算.

2.已知全集。=尺，集合2={川一2<》<3},B=<yy>~>,則ZD(63)=()

A.[—2,0)B,-2,g]

C.0,；)D.[0,3)

【答案】B

【解析】

【分析】結合補集和交集的概念即可求出結果.

【詳解】因為全集。=火，B-<y>>則

且N=|x|-2<x<31,所以/c(d8)=-2<x<g>,

故選：B.

3.設命題P3〃eN,〃2>2",則「尸為

A.V〃eN,〃2>2"B.3neN,n2<2"

C.\fneN,n2<2nD.3neN,n2=2"

【答案】c

【解析】

【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題/，的否命題應該為V〃eN,〃2W2",即本題的正確選項為

C.

4.設xeR,則“――4》+3<0”是^^x2+x-2>Q,，的()

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】求出兩個不等式對應的解集，根據解集的關系，結合充分與必要條件的概念判斷即可.

［詳解］設幺={x|X?_4x+3<0}={x|(x-l)(x-3)<0}=(x11<x<3}

3={x|Y+%_2〉o}={x|(x_l)(x+2)〉0}={x|x〉1或x<-2}

xeA^>xeB,但xeB推不出xe/

“一一4x+3<0”是“f+x_2〉0”的充分而不必要條件.

故選：A.

5.使得不等式“必<1”成立的一個必要不充分條件是()

A.-1<X<1B.x<lC.x<lD.x>l

【答案】C

【解析】

【分析】首先解出一元二次不等式，再根據集合的包含關系判斷即可.

【詳解】由》2<1，即(x+l)(x—1)<0,解得—

因為［-1』真包含于(一0u］,

所以使得不等式“好<1”成立的一個必要不充分條件可以是XW1.

故選：C

6.下列六個關系式：①{a,6}U{4a}；②{a,6}={“a}；③網=0；?0e{0}；⑤0e{O}；@

07網，其中正確的個數為()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】B

【解析】

【分析】利用元素和集合的關系、集合間的關系、集合中元素的特性分析判斷即可得解.

【詳解】解：對于①，由集合間的關系和集合中元素的無序性知｛出印=｛"力，故①正確；

對于②，由集合中元素的無序性知｛。力｝=｛“。｝,故②正確；

對于③，。是沒有任何元素的集合，而集合｛0｝中有元素0,所以｛0｝70,故③錯誤；

對于④，0是集合｛0｝的元素，所以0e｛0｝,故④正確；

對于⑤，0是集合｛0｝的子集而非元素，故⑤錯誤；

對于⑥，0是集合｛0｝的子集，即07｛0｝,故⑥正確；

綜上知，正確的個數為4個.

故選：B.

7.為豐富學生的課外活動，學校開展了豐富的選修課，參與“數學建模選修課”的有169人，參與“語文

素養選修課”的有158人，參與“國際視野選修課”的有145人，三項選修課都參與的有30人，三項選修

課都沒有參與的有20人，全校共有400人，問只參與兩項活動的同學有多少人？（）

A.30B.31C.32D.33

【答案】C

【解析】

【分析】先畫出韋恩圖，根據榮斥原理求解.

【詳解】畫出維恩圖如下：

設：只參加“數學建模課”和“語文素養課”的有x人，只參加“數學建模課”和“國際視野課”的有＞人,

只參加“語文素養課”和“國際視野課”的有z人，

貝ij：139+128+115+30-(x+j+z)+20=400,x+y+z=32；

故答案為：32人.

8.若不等式（。-2）/+2（"2卜-4<0對任意實數x均成立，則實數a的取值范圍是（）

A.（—2,2]B,[-2,2]C.（2,+（X>）D.（―℃,2]

【答案】A

【解析】

【分析】分類討論，結合不等式（。-2）爐+2（"2卜-4<0對任意實數x均成立，利用分類討論，即可

求出實數a的取值范圍.

【詳解】。=2時，不等式可化為-4<0,對任意實數x均成立，滿足題意；

aw2時，不等式（a-2）f+2（a—2卜一4<0對任意實數x均成立，

Q—2<0

等價于1/\2/\，

A=4（a-2）+16（a-2）<0

***_2<〃<2.

綜上，實數a的取值范圍是（-2,2].

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，部份選

對得部份分，有選錯的不得分.

9.已知集合幺={0,1},5={x|ax2+x-l=0},若Z衛5,則實數a的取值可以是（）

1

A.0B.1C.-1D.-

2

【答案】AC

【解析】

【分析】分。=0和aH0兩種情況討論集合2中的原式，即可求解.

【詳解】當。=0時，3=律，滿足條件，

[八=1+4。=0

當"0時，若8={1},則，，八，無解，

Q+1—1=0

.1A=1+4Q=0

若8={R0},則，八，無解，

—1=0

A=l+4a>0

若8={0,1},則<-1=0,無解,

Q+1—1=0

若3=0,則A=l+4〃<0,得一一,

4

。=0或。<—,，只有AC符合條件.

綜上可知,

4

故選：AC

10.若Q,aC￡R,C>0>4,下列不等式一定成立的有()

11

A.ab3>abB.—>-

ab

bab6+1

C.------->--------D.-<------

a-cb-caa+1

【答案】AC

【解析】

【分析】利用作差法逐項判斷

【詳解】A項，abi-a3b=ab[b1ab(b-a)(b+a)>Q,故正確;

---=^-<0,故錯誤;

B項,

abab

bab^b-c^-a^a-c^(b-a)(b+a-c

C項.>0,故正確;

a-cb-c(Z)-c)-(a-c)

bb+1_“a+l)-a(b+l)b-a

D項.3分母正負號不確定，故錯誤;

aQ+1I(Q+1)r

故選:AC

11.已知x,歹>0,x+2y+盯一6=0,貝1J()

A.孫的最大值為J5

B.x+2y的最小值為4

C.x+N的最小值為4貶—3

D.(x+2產+(y+l)2的最小值為16

【答案】BCD

【分析】A選項，對不等式變形為x+2y=6-盯，利用基本不等式得到6-孫》2J再，求出肛的最

大值；B選項，將不等式變形為肛=6-(x+2y),利用基本不等式得到6—(x+2田2刃，求出

x+2了的最小值；C選項，對不等式變形為Ml+x)=6-(x+y),利用y(l+x)W(y+：+l)求解工+及

的最小值；D選項，不等式變形為(x+2)(y+1)=8,利用基本不等式求出和的最小值.

【詳解】由％+2歹+盯一6=0得：x+2y=6-xy,

因為x,y>0,所以x+2歹=6—中〉0,所以0<盯<6,

由基本不等式可得：x+2y?2j而

當且僅當x=2y時，等號成立，此時6-切》2d2xy,

解得：孫218或孫<2,

因為中<6,所以孫218舍去，故孫的最大值為2,A錯誤；

由x+2y+盯一6=0得：xy=6—(％+2〉),

因為x,歹>0,所以6—(x+2y)>0,所以0<x+2y<6,

由基本不等式可得：2肛W(x+『,當且僅當x=2y時等號成立，

即6_(X+2#W(X+『,解得：x+2y24或x+2y<-12,

因為0<x+2y<6,所以x+2歹4一12舍去，

故x+2y的最小值為4,B正確；

由x+2y+盯一6=0變形為x+y+y(l+x)=6,則y(l+x)=6—(x+y),

由基本不等式得：了(1+耳”+；+1)，當且僅當y=i+x時等號成立，

此時6《+小(了+；+1),令x+y=/?〉o),則由6-W('：l)，

解得：,240—3或/W—40-3(舍去)

所以x+N的最小值為48一3，C正確；

由x+2y+盯-6=0可得：(x+2)(y+1)=8,

從而(x+2)2+(>+1)2>2(%+2)0+1)=2x8=16

當且僅當x+2=y+l時，即》=2/一2，y=2正一1等號成立，

故(x+2)2+(3+1)2最小值為16.

故選：BCD,

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合/={l,a}。/={4},U={l,a,/},則。=.

【答案】±2

【解析】

【分析】根據補集的定義求解.

【詳解】?.?62={4},幺={1,4},，/=4,。=±2；經檢驗滿足題意；

故答案為：±2.

3

13.不等式X-2〈一的解集為

X

【答案】{x|x<-1或O<X<3}

【解析】

【分析】將不等式化為――2x—3<o,則x(x+l)(x—3)<0,再根據高次不等式得解法即可得解.

X

3

【詳解】解：由x—2<一,

x

,曰f-2x_3?

得----------<0,

x

即x(x+1)(%-3)<0,

解得或0<x<3,

所以原不等式的解集為{x|X<-1或0<X<3}.

故答案為：{》|》<一1或0<%<3}.

x2—2x+4

14.若x>2,則y=--三二的最小值為.

x—2

【答案】6

【解析】

【分析】化簡y=—處二=x-2+/一+2,然后利用基本不等式求解即可

x-2x-2

【詳解】因為x>2,

所以y=x2—2x+4=(x—2)2+2(x—2)+4=x_2+，+222j(x_2)?^-+2=6,

x-2x-2x-2Vx-2

4

當且僅當x—2二——即x=4時，取等號，

x-2

故V=xX2—32x+,4的最小值為6,

x-2

故答案為：6

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知集合幺={x[0Wx<2},B=^x\a<x<3-2a}.

(1)若(ON)u8=R,求實數a的取值范圍；

(2)若ZlB力B,求實數a的取值范圍.

【答案】(1)(—8,0]；(2)<aa<^>

【解析】

【分析】(1)由集合N可得。幺，利用(?幺)。8=11列出不等式組，求出實數。的取值范圍；

(2)若4PlB=B,則分8=0和3/0兩種情況，分別列不等式可得實數。的取值范圍.

【詳解】(1)因為A={x|0Wx<2},所以QA={x|x<0或x>2}.

XB=<x<3-2a}且(QA)uB=R,

3-2a>a

所以a<0,解得aWO

3-2a>2

所以實數a的取值范圍是(-8,0].

(2)若4n5=5(補集思想)，則8=4.

當8=0時，3-2a<a,解得Q>1；

當時，3-2a>a,即Q41,

a>01

要使3屋4,則。。,得

[3-2a<22

綜上，知=3時，a>-,

2

所以ZlBwB時，實數a的取值范圍是

、1

16.求函數y=x+工(x<0)的最值.

x

【答案】最大值為一2,沒有最小值

【解析】

【分析】由基本不等式求解即可

【詳解】Qx<0

/.—x>0,—>0,

故函數y=x+L(x<0)的最大值為—2,沒有最小值.

X

17.已知全集為R,集合尸=,產一⑵+20?0},集合〃={x[x<

(1)若xe尸是xeM成立的充分不必要條件，求a的取值范圍；

(2)若尸口(^^)=0,求a的取值范圍.

【答案】(1)0,￡|D(1O,+8)

⑵?(10,+如

【解析】

【分析】(1)由題意得，集合P是集合M的真子集，由此即可求解;

(2)先求出QM,再求出滿足尸口(。川)=0時a的取值范圍即可.

【小問1詳解】

因為xe尸是xeM成立的充分不必要條件，所以集合P是集合M的真子集，

因為尸=卜卜2-12x+20<Oj-=1x|2<x<101,集合Af={x1x<a或x>2a+l}(a>0),

所以10<a或2>2a+l,解得0<a或a>10,

2

故a的取值范圍為[o,g]u(lO,+8).

【小問2詳解】

因為集合Af={x|xVa或x>2a+l}(a>0),所以Q7I/={X[Q<x<2a+l}(a>0),

又因為尸n(?M)=0,所以a>10或2a+l<2,解得0<a<g或a>10,

故口的取值范圍為[0,9]°(10,+8).

18.(1)已知x>l,求4x+l+一一的最小值；

x—1

(2)已知0<x<l,求x(4-3x)的最大值.

4

【答案】(1)9；(2)

3

【解析】

【分析】(1)由于X—1>0,則4x+l+」一=4(x—1)+上+5,然后利用基本不等式求解即可,

X—1X—1

(2)由于0<x<l,變形得x(4—3x)=；?(3x)-(4—3x),然后利用基本不等式求解即可.

【詳解】(1)因為x>l,所以x—1>0,

所以4x+l+，=4(x—l)+，+522,4(x—1).，+5=9,

x1X1Vx1

13

當且僅當4(x—l)=丁，即x=5時取等號，

x12

所以4x+l+，的最小值為9.

x—1

(2)因為0<x<l,所以何4_3司=：(3司.(4_3切臼3-+；3]=g,

2

當且僅當3x=4—3x,即》=—時取等號，

3

故x(4-3x)的最大值為

19.科技創新是企業發展的源動力，是一個企業能夠實現健康持續發展的重要基礎.某科技企業最新研發了

一款大型電子設備，并投入生產應用.經調研，該企業生產此設備獲得