第五章三角函數章末檢測

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一'單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求.

1.已知角。的終邊過點尸（3,刃），且sine=-g,則用的值為（）

A.-3B.-4C.3D.4

【答案】B

【分析】分析出加＜0,利用三角函數的定義可得出關于7〃的等式，解之即可.

A及24

【詳解】因為角a的終邊過點尸（3刈），且sinc=-三,則加＜0,且sina=『^==,

5v9+m3

解得加=一4.

故選：B.

JT

2.為了得到函數＞=sin（2x+：）的圖象，可以將函數y=sin2x的圖象（）

4

A.向左平移￡7T個單位長度B.向右平移￡TT個單位長度

44

C.向左平移？TT個單位長度D.向右平移97T個單位長度

OO

【答案】c

【分析】根據正弦函數圖象變換的性質，結合函數的解析式進行判斷即可.

【詳解】因為y=sin（2x+f）=sin[2（x+￡）],

48

所以由函數y=Sin2x的圖象向左平移gTT個單位長度可以得到函數j=sin（2x+7￡T）的圖象，

84

故選：C

1

/y

3.已知。￡(0,兀),且sina+C0S6Z=,貝!Jsina—cosa二

A.旦B.一逅C.V2D.-V2

22

【答案】A

【詳解】分析：依題意，可得2sinacosa=-；V0,又。￡(0,n),于是得sina>0,cosa<0,sina-cosa>0,

對所求的關系式平方后再開方即可.

1^21］

詳解：因為sina+cosa=——,(sina+cosa)2=l+2sinacosa=—,.*.2sinacosa=--<0,又(0,n),

222

3

sina>0,cosaVO,sina-cosa>0,,:(sina-cosa)2=l-2sinacosa=—,/.sina-cosa=——

22

故選A.

點睛：本題考查同角三角函數間的關系，判斷出sina-cosa>0是關鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題.

4.關于函數/(x)=3sin(2x-?+l(xeR)有下述四個結論：①若=1,則占一馬="化eZ)；

②y=/3的圖象關于點(gj對稱；③函數y=/(x)在I。,m上單調遞增；④了=/(可的圖象向右平移

專個單位長度后所得圖象關于了軸對稱.其中所有正確結論的編號是

A.①②④B.②④C.③④D.①②

【答案】B

【解析】①根據對稱中心進行分析；②根據對稱中心對應的函數值特征進行分析；③根據y=sinx的單調性

進行分析；④利用函數圖象的平移進行分析，注意誘導公式的運用.

【詳解】①由［a)=y(X2)=l知(3),區1)是〃x)=3sin(2xq］+l圖象的兩個對稱中心，

777-kTT

則不一X?是1=］的整數倍(T是函數的最小正周期)，即玉-迎=秣(左eZ),所以結論①錯誤；

②因為，d=3sin乃+1=1,所以是〃力的對稱中心，所以結論②正確；

③由2左萬一、2x-y2左乃+1(左￡Z)解得上》—展Xkn+^-^kGZ),

當左=0時，小)在卜「后］上單調遞增，則小)在卜，號上單調遞增，在白，口上單調遞減，所以

結論③錯誤；

④了=/(尤)的圖象向右平移3個單位長度后所得圖象對應的函數為

2

是偶函數，所以圖象關于了軸對稱，所以結論④正確.

故選：B.

【點睛】本題考查三角函數圖象與性質的綜合應用，難度一般.⑴/仁尸念皿儂8+⑴的對稱中心對應的函

數值為0,對稱軸對應的函數值為土/;（2）分析/（x）=/sin（0x+o）的單調性，可令0X+夕滿足y=sinx的

單調區間，從而可求〃x）的單調區間.

5.設tan(a-￡)=2,tan(z=4,則tan/?=()

2

D.

9

【答案】D

【分析】由/。-9-4）利用正切函數的和差公式求解即可.

tana-tan(a-〃)2

[詳解】所以tan^=tan[?-(a-/7)]=

1+tanatan(cr-0)9

故選：D.

6.把函數/卜）=5m（2%+。）（0<。<兀）的圖象向右平移￡個單位后，得到一個偶函數的圖象，則。=（）

6

?兀0兀c2兀e5萬

A.—B.-C.--D.~~

6336

【答案】D

【分析】根據三角函數的圖象的平移變換可得到平移后的圖象對應的函數的解析式，根據函數為偶函數，

可求得結果.

【詳解】函數/'（x）=sin（2尤+夕）（0<9<兀）的圖象向右平移￡個單位后,

O

得到的圖象對應的解析式是：y=sin[2（x-￡）+何=sin（2x+0-￡）,

63

由于該函數為偶函數，故"=k7i+eZ,

57r

即9=-----,keZ,而0<9〈%，

6

r5?

故t展L，

故選:D

兀

7.已知0<a<一r則叫a+亡

2

V6

rL?------

3

【答案】A

3

【分析】利用21a+1卜,-牛方求得cos2、+今］=-sin［2c比］,利用c的范圍和sin*=匕詈2

可得答案.

【詳解】因為2。+工一2a—/=不，所以2a+2=7+2。一二,

即cos2[a+.)=cos2

3~

jr所咤3卜牛,所以

因為0<a<5,sin[a+/)>0

l-cos2a+—1-1?

所以siE71〔6)=_3=L

an—

6223

可得sin

故選:A.

8.已知函數/(x)=2sin"+Jo>0),xe-pj.若函數/(x)只有一個極大值和一個極小值，則。的

取值范圍為()

A.(2,5］B.(2,5)C.Q,|D.J,j

【答案】C

【分析】令yox+￡,根據x的范圍，表示出t=COXH的范圍，則問題等價于y=2sinf在

66

-竽+9彳+g上只有一個極大值和一個極小值，即可得到不等式組，解得即可,

3626

【詳解】解：令"s+g因為xe,所以s+ge-竽+￡,?+￡則問題轉化為y=2sint在

61_32」6|_3626_

-等+￡,W+?］上只有一個極大值和一個極小值，

3626

因為函數〃X)只有一個極大值和一個極小值，貝威〉即T>苧，xr=—,所以

32J22y5J3co

6r*r*r\?CO7CTV?

①所以—--+-<0

536

故選：C

【點睛】本題考查正弦函數的性質的應用，屬于中檔題.

4

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.將函數/(x)=cos2x-sin2x的圖象向左平移加個單位后，所得圖象關于V軸對稱，則實數加的值可能為

()

n3?7%

A.一B.—C.—D.—

8888

【答案】BD

【分析】利用輔助角公式可得/(x)=&cos(2x+?),根據圖象平移有g(x)=/(x+"),確定平移后的解析

式，根據對稱性得到加的表達式，即可知可能值.

【詳解】由題意，得：/(x)=cos2x-sin2x=V2cos(2x+^),圖象向左平移機個單位，

g(x)=f(x+m)=V2cos(2x+2m+?)關于y軸對稱,

2m+—=kn,BPm=---(A：eZ),

428

37rQ兀

故當左=1時，m=—；當左=2時，m=—；

88

故選：BD

10.函數"x)=/sin(2x+0)[BH],N>o]的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.〃x)在「衛,01上單調遞減

B./(x)關于直線》=自對稱

C.〃x)關于點(1,())對稱

D.在充)上的最小值為_2

【答案】BD

5

【分析】根據圖象求出函數的解析式，然后結合正弦函數的圖象和性質逐項進行判斷即可求解.

【詳解】由圖象可知4=2,/^j=2sin^y+^=0,y+^=^eZ.

又冏《，則8=；，故〃x)=2sin］2x+3.若則+則小)在［辭,。］上

單調遞增，故選項A錯誤；

/降卜2sin2x2g=2sinT=2,則〃尤)關于直線x

=自對稱,故選項B正確;

\<1乙J\1乙DJ乙

/1-3=2向［-f=_1片0,則/'(X)不關于點(go)對稱，故選項C錯誤；

若xe停￥］,則2x+Je(兀,2兀)，故》=二時，〃x)取最小值一2,故選項D正確.

＜3o7312

故選：BD.

11.若函數/(x)=Msin“+p)-/卜＞0,0＜夕＜。同時滿足以下條件：①不應是函數〃x)的零點，且

忖72京=年；②VxeR,有/(x+g)=/(-x),則()

A./(x)=3sin13x+mj-3

B.將/(x)的圖象向左平移段個單位長度得到的圖象解析式為了=3。0$(3X+*|-3

71jr

c.y(x)在—上單調遞減

lo3_

57r

D.直線x=弓是曲線了=/(x)的一條對稱軸

【答案】ABC

【分析】由條件先得出/(x)=3sin(3x+1，3,再利用三角函數的圖象與性質逐項分析正誤即可.

，1TQjr

【詳解】函數/'(X)的零點，即方程5山(心+0)=1的解，所以7="=三，M=3,

八兀

0<(77<—

由②知”看是函數〃x)的一條對稱軸，則有，2

1O_71兀77r.

3x---(D——Fkit,左￡N

182

解得嶗,所以小)=35叩尤+；］-3.故人正確；

將/(x)的圖象向左平移搟個單位長度得到函數V=3cos(3x+.故B正確；

._7171371rr兀7兀.、壯,d、1、、&、??兀兀71771......

令3x+^e,即xe—時函數單倜遞減，＞t故C正確;

3221o1o103lo1o

TTJT77r

x=*S時，3尤+?=?,顯然不是函數的對稱軸，故D錯誤;

lo3O

6

故選：ABC

12.已知函數/（無）=JT+COSX+VT-cosx,則下列結論正確的有（）

A.兀為函數的一個周期B.函數〃幻的圖象關于直線％對稱

C.函數"X）在上為減函數D.函數/（X）的值域為［行,2］

【答案】ABD

【分析】計算f（x+兀）=/（X）可判斷A滸算/（7l7）=/（X）可判斷B；將/（X）=化簡為

Y7T

/（x）=2sin（-+-）,結合正弦函數的性質可判斷C,D.

24

【詳解】因為/（%+兀）=Jl+cos（x+兀）+Jl-cos（x+7l）="-COSX+A/1+COSX=f（x）,

所以兀為函數/（X）的一個周期，故A正確；

因為/（兀一幻=J1+COS（兀-x）+Jl—cos（兀-X）=J1—COSX+J1+COSX=/（X）,

所以函數/（'）的圖象關于直線x=5對稱，故B正確；

因為/（X）=VI+cosx+Vl-cosx=j2cos』5+卜sin25,

因為xe0,|,所以10,：,故仆）="嗚+近sin|=2sin（|+6,

由于;+9嚀，勺，故〃x）=2sin（；+；）在［0,2上為增函數，故C錯誤；

2442241_2」

由c的分析可知/（x）=2sing+：）在H上為增函數，所以“X）e［旨,2］,

故D正確，

故選：ABD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.函數y=Jl+tanx的定義域是_.

【答案】［日七?"），丘Z

【分析】利用根式函數的定義域求法和正切函數不等式求解.

【詳解】解：由函數歹=方面m,

則1+tanx>0,BPtanx>-l,

7

兀冗

解得k7r--<x<—+k兀,keZ,

所以函數的定義域是防萬-1，W+左萬）KeZ,

42

故答案為：[七％-:,彳+左》）,《cZ

14.已知扇形的面積為9,圓心角為2rad,則扇形的弧長為

【答案】6

【分析】聯立公式s=；b和/=同=，即可得到本題答案.

【詳解】設半徑為r,弧長為/,

由題得，S=-lr=9?,l=2r@,

2

②代入①得，-=9,所以〃=3,則/=2/=6.

故答案為：6

15.已知tana+tan/=3,coscos/?=—,則sin(a+/?)=

.、

【答案】43

4

【分析】由tana+ta加一ac—+cos廣”可得答案.

cosacosp

.、、，一■csinacosB+cosasinB。

【詳解】tana+tan〃=-----------匕——-——-=3,

coscrcos/?

因為cosacos』=—,

所以sinacos尸+cosasin；0=sin(a+￡)=3costzcosy0—,

3

故答案為：

16.若函數/(%)=Vising+cosm（。>0）在區間上僅有一條對稱軸及一個對稱中心，則。的取值范

圍為________

【答案】（5,8]

【分析】化簡/（x）解析式，求得s+看的取值范圍，根據三角函數對稱軸和對稱中心的知識列不等式，由

此求得。的取值范圍.

【詳解】由題意，函數〃x）=6sina）x+coscox=2sins+工]

6J

因為，可得二<cox+—<—(l+a)],

666V7

8

要使得函數/(x)在區間[o,上僅有一條對稱軸及一個對稱中心，

貝！I滿足兀＜?(1+0)4穿，解得5＜切"8,所以①的取值范圍為(5,8].

62

故答案為：(5,8]

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18?22題12分。解答應寫出文字說明'證明

過程或演算步驟.

17.函數［(x)=Nsin(?x+e)+8(/>O,0>O,O<e<7t)的部分圖象如圖所示.

⑴求/'(x)的解析式;

(2)將y=/(無)的圖象向右平移B個單位，再把得到的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的;，縱坐標不變，然后

O2

再向下平移1個單位，得到了=g(X)的圖象，求g3在卜盤,上的值域.

【答案】⑴"X)。++q+l；

(2)g(x)e[-g,2].

2兀

【分析】(1)根據函數圖象上的最大值和最小值，求出A.B,根據特殊點求出函數周期，結合。=？，得④=2,

再將點(-自,3)代入〃尤)的解析式，求出夕的值，從而得到函數的解析式；

(2)根據函數平移與縮放的規則，得g(x)=2sin(4x+f],再由尤/-三,?]得4x+?萼],結合函

13)1_244」3|_63_

數圖象即可求出答案.

【詳解】(1)由圖可知，"=匕上2=2,3=士上D=l,

22

由？=女=2]=兀可得：(t)=2,

CD12I12J

9

再將點(若，31代入〃x)的解析式，得了(_總=2sin(_/\+l=3,

得sin[e-[)=l,結合0＜夕＜兀,可知e=g.

故/(x)=2sin[2x+[^+l；

(2)將V=/(無)的圖象向右平移聿個單位，得至!)y=2sin12x-m+1]+l=2si“2x+；j+l,

再把得到的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的。，縱坐標不變，然后再向下平移1個單位，得到

g(x)=2sin[4x+；j,

；.g(x)e/6,2].

18.設函數/(x)=sinx+cosx(xeR).

(1)求函數y=/^+|j的最小正周期；

(2)求函數了=〃0/口-?)在0,1上的最大值.

【答案】(D萬；(2)1+顯.

2

【分析】(1)由題意結合三角恒等變換可得V=l-sin2x,再由三角函數最小正周期公式即可得解;

(2)由三角恒等變換可得y=sin[2x-:)亨，再由三角函數的圖象與性質即可得解.

71

【詳解】(1)由輔助角公式得/(%)=sinx+cosx=行sinXH--

4

則了=[小+5)=

所以該函數的最小正周期？=千="；

(2)由題意，y=/(x)/]x_?]=0sin(x+拒sinx=2sin[x+

~?(V2.V211^-2.5??

=2smx-——sinxd----cosx=，2sinx+<2smxcosx

22

10

="l-cos互+且Sin2x=gin2AZos2x+工sin

22222

由xe0,g可得2x-^e,

2j4L44J

所以當2x-f=g即尤=耳時，函數取最大值l+正.

4282

19.小明同學用“五點法”作某個正弦型函數＞=/sin（ox+。）,＞0,。＞0,闡＜在一個周期內的圖象時,

列表如下:

n71n1715〃

X

6123126

n3%

a)x-\-(p0n2萬

~2T

Asin(s:+(p)030-30

根據表中數據，求:

（1）實數A,O,。的值；

3萬5?

（2）該函數在區間—上的最大值和最小值.

_44_

jr3

【答案】（1）A=3,（y=2,（p=r；（2）最大值是3,最小值是

【分析】（D利用三角函數五點作圖法求解A,。，夕的值即可.

（2）首先根據（1）知：y=3sin（2x+工],根據題意得到當VZx+fvg,從而得到函數的最值.

V37636

【詳解】（D由表可知兀ax=3,則/=3,

因為7=多-（-/]="，T=—,所以空=加，解得0=2,即y=3sin（2x+e）,

6V6Jcoco

因為函數圖象過點仔"，貝！J3=3si?2x?d，即si嚕+（p=1,

兀冗冗

所以—卜（p=2k兀?—,keZ,解得夕=2左—,左EZ,

623

又因為|同＜不所以"=

（2）由（1）可知y=3sin12x+q；

因為丁KxW丁，所以,42%+丁《丁，

44636

eti”，-兀1\TCE3%?,3

因此f當2xH—=----時，即1RTx=—時，y=—

36429

11

、“C冗571?,13%r,c

當2x+—=-^―時fBPx-J2時，V=3.

所以該函數在區間—,—上的最大值是3,最小值是-=.

L44J2

20.已知函數/(%)=2A/3sinxsin(x+y)+cos2x-sin2x

(1)求函數的單調遞減區間；

(2)若將函數/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的g倍，縱坐標不變，然后再向右平移夕(0>。)個單位

長度，所得函數的圖象關于了軸對稱.求夕的最小值

【答案】⑴[無萬+三，+—]>左eZ.(2)—.

636

【分析】(1)根據誘導公式，二倍角公式，輔助角公式把“X)化為Nsin3x+0)的形式，再根據復合函數單

調性求解；(2)先根據變換關系得到函數解析式，所得函數的圖象關于V軸對稱，則尤=0時，回=4.

【詳解】⑴f(x)=2A/3sinxsin(x+y)+cos2x-sin2x

=273sinxcosx+cos2x

=V3sin2x+cos2x

=2sin(2x+—)

當工+2k兀<2x+—<—+2k兀,keZ

262

TT27r

即XEk4+小冗+——，左EZ時，函數單調遞減，

63

yr27r

所以函數/(X)的單調遞減區間為一，左;r+——\,keZ.

63

(2)將函數/(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的3倍，

縱坐標不變，然后再向右平移夕(9>0)個單位長度，

7FTT

所得函數為V=2sin4(X-^9)+-=2sin(4x+--4^),

_oJo

若圖象關于y軸對稱，則|/(o)|=2,

71.71[71k7l.

BanP--4^?=—+^,解得。二一二——kGZ,

621249

TT

又。>0,貝！]當斤=-1時，。有最小值二.

【點睛】本題主要考查三角函數的性質和圖像的變換.關鍵在于化為/sin(ox+p)的形式，三角函數的平移

變換是易錯點.

12

21.已知函數/(x)=2cos5?sin6cos2m,其中G>0.

⑴若函數/(X)的周期為k,求函數/(x)在［-W，3的值域；

36

(2)若/(x)在區間［-：TT，或TT］上為增函數，求。的最大值，并求。取最大值時函數＞=〃x)的對稱軸.

【答案】⑴［-6,2］

(2)。的最大值為2,x=?+￡,keZ.

【分析】(1)由三角恒等變換化簡"X),利用周期公式求解。的值，可得的解析式，再由正弦函數的

性質求得值域；

(2)由正弦函數的單調性可求得。的取值范圍，從而可得。的最大值，求出/(x)的解析式，由正弦函數的

對稱性即可得解.

【詳解】(1)f(x)=2cos。％?sin。％+V^cos2ox=sin2ox+百cos2ox=2sin^2a)x+,

若函數/(x)的周期為兀，則2三7r=兀，可得0=1,

2co

所以/(x)=2sin(2x+T,

由》￡謂,I］,可得2》+鼻［后，等,

36333

所以sin12x+§J￡[——,1],

所以2sin[2x+1]e[-G,2],

即函數〃工)在[-],與上的值域為[-52].

36

(2)因為,

624

。兀7T71CDTI71

所以----1----<ICDXH-----W--------1----

333123f

因為小)在區間［_?,靠上為增函數,

--+->2^71--

332

所以