2024年中考數學真題專題分類精選匯

專題29數式圖及坐標等規律探索問題

一、選擇題

1.（2024江蘇揚州）1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數：1,1,2,3,5,……，

這一列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和.則在這一列數的前2024個數

中，奇數的個數為（）

A.676B,674C.1348D.1350

【答案】D

【解析】將這一列數繼續寫下去，發現這列數的變化規律即可解答.

本題主要考查的是數字規律類問題，發現這列數的變化規律是解題的關鍵.

【詳解】這一列數為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…

可以發現每3個數為一組，每一組前2個數為奇數，第3個數為偶數.

由于2024+3=674…2,

即前2024個數共有674組，且余2個數，

奇數有674x2+2=1350個.

故選：D

2.（2024山東煙臺）《周髀算經》是中國現存最早的數理天文著作.書中記載這樣一道題：“今有

女子不善織，日減功遲.初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，間織幾何？”意思是：現有一個不

擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數量相同.第一天織了五尺布，最后一天僅

織了一尺布，30天完工，問一共織了多少布？

A.45尺B.88尺C.90尺D.98尺

【答案】C

【解析】本題考查了數字的變化規律，由題意可知每天減少的量一樣，由數的規律求和;（l+5）x30

即可，讀懂題意，找出規律是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意得，第一天織布5尺，第30天織布1尺，

.?.一共織布”（1+5）x30=90（尺），

故選：C.

3.（2024四川德陽）將一組數后,2,旗,2收，可,2抬'，…，岳，…，按以下方式進行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個數是（）

A.772B.872C.V58D.477

【答案】C

【解析】本題考查了數字類規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵.求出第七行共有28個

數，從而可得第八行左起第1個數是第29個數，據此求解即可得.

由圖可知，第一行共有1個數，第二行共有2個數，第三行共有3個數，

歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個數，

則第八行左起第1個數是萬與=屈，

故選：C.

4.（2024云南省）按一定規律排列的代數式：2x,3x2.4x3，5x4.，L,第〃個代數式

是（）

A.2x"B.（n-l）x"C.nx"+lD.+

【答案】D

【解析】本題考查了數列的規律變化，根據數列找到變化規律即可求解，仔細觀察和總結規律是解題

的關鍵.

..?按一定規律排列的代數式：2x,3x214x3，5x4.6/，L,

...第〃個代數式是5+1）x",

故選：D.

5.（2024重慶市B）用菱形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案

中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規律，則第⑧個圖

案中，菱形的個數是（）

A.20B.21C.23D.26

【答案】C

【解析】本題考查了圖形類的規律探索，解題的關鍵是找出規律.利用規律求解.通過觀察圖形找到

相應的規律，進行求解即可.

【詳解】第①個圖案中有l+3x(l—1)+1=2個菱形，

第②個圖案中有l+3x(2-l)+l=5個菱形，

第③個圖案中有l+3x(3-l)+l=8個菱形，

第@個圖案中有1+3*(4—1)+1=11個菱形，

.?.第"個圖案中有1+3(〃-1)+1=3〃-1個菱形，

第⑧個圖案中菱形的個數為3x8-1=23,

故選：C.

6.(2024武漢市)如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數y=3/+3x-l的圖象，發現它關于

點(i,o)中心對稱.若點4(02%),4(03%)，……，49(1?9,必9)，4O(2^2O)

都在函數圖象上，這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,則》+為+匕+……+弘9+%0的

【答案】D

【解析】本題是坐標規律題，求函數值，中心對稱的性質，根據題意得出

%+為+卜3H------------------^719=°，進而轉化為求必0+%0，根據題意可得必0=°，＞20=1，即

可求解.

【詳解】?..這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1,

.0.1+1.90.2+1,80.9+1.11

222

?,?%+了2+/+…%+%…+%9=0，

???弘+72+/+............+必9+720=%。+%0，而4(1,0)即必°=°，

y=—3x~+3x-1,

當x=0時，y=-l,BP(0,-1),

v(0,-1)關于點(1,0)中心對稱的點為(2,1),

即當x=2時，%o=1，

%+%+%+....+必9+匕0=%0+%0=0+1=1,

故選：D.

7.(2024四川內江)如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點8,將△ZB。繞點A逆時

3

針旋轉到V4801的位置，使點B的對應點片落在直線y=-[X上，再將V481a繞點與逆時針旋

3

轉到△同耳2的位置，使點。?的對應點。，也落在直線^=--x上，如此下去，……，若點8的坐標

一4

為(0,3),則點47的坐標為().

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】c

【解析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數、旋轉的性質、勾股定理等知識點.找出點的坐標規

律以及旋轉過程中線段長度的關系是解題的關鍵.

通過求出點A的坐標，AB>04、08的長度，再根據旋轉的特點逐步推導出后續點的位置和坐標,

然后結合圖形求解即可.

【詳解】???軸，點B的坐標為（0,3）,

3

，OB=3,則點A的縱坐標為3,代入y=—[X,

得：x=—4,則點A的坐標為（—4,3）.

二?OB-3,AB-4，

OA=A/32+42=5，

由旋轉可知，OB—OXBi-O2B2=...=3,OA—O{A—O2AX=...=5,

AB=AB]=A1B{=A2B2=…=4,

/.OB1-OA+ABX=4+5=9,4層=3+4+5=12,

—B3B5=…=B35B37-12,

BXB3

OB31=OBl+BXB^=9+（37J）x12=225.

設點員7的坐標為,

則OB31=卜2+?=225，

3

解得a=—180或180（舍去），則一一。=135,

4

???點與7的坐標為（—180,135）.

故選C.

二、填空題

1.（2024江西?。┯^察°,。2,/,/,…，根據這些式子的變化規律，可得第100個式子為.

【答案】a100

【解析】此題考查了單項式規律探究.分別找出系數和次數的規律，據此判斷出第〃個式子是多少即

可.

??234

?a，d，a，a，…，

.?.第〃個單項式的系數是1;

?.?第1個、第2個、第3個、第4個單項式的次數分別是1、2、3、4,

.,.第n個式子是a".

...第100個式子是40°.

故答案為：?100.

2.（2024四川成都市）在綜合實踐活動中，數學興趣小組對1?〃這〃個自然數中，任取兩數之和大

于〃的取法種數上進行了探究.發現：當〃=2時，只有{1,2}一種取法，即左=1；當〃=3時，有{1,3}

和{2,3}兩種取法，即左=2；當〃=4時，可得笈=4；若〃=6,則k的值為；若〃=24,

則左的值為.

【答案】①.9（2）.144

【解析】本題考查數字類規律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當〃為偶數或奇數時的不同

取法是解答的關鍵.先根據前幾個n值所對應k值，找到變化規律求解即可.

【詳解】當〃=2時，只有{1,2}一種取法，則上=1；

當〃=3時，有{1,3}和{2,3}兩種取法,則左=2；

當〃=4時，有{1,4},{2,4},{3,4},{2,3}四種取法，則左=3+1=44；

故當〃=5時,有{1,5},{2,5},{3,5},{4,5},{2,4},{3,4}六種取法，貝喋=4+2=6；

當〃=6時，有{1,6},{2,6},{3,6},{4,6},{5,6},{2,5},{3,5},{4,5},{3,4}九種取法,

7-2

則A=5+3+1=9=—；

4

依次類推，

2

當月為偶數時，左=（〃—1）+伍—3）+…+5+3+1=（，

242

故當〃=24時，左=23+21+19+…+5+3+1=——=144，

4

故答案為：9,144.

3.（2024四川德陽）數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8分別

填入如圖的八個圓圈內，使得任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1.經過探究

后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數字。、6,你認為?？梢允牵ㄌ钌弦粋€數字

即可）.

【答案】1##8

【解析】本題考查了數字規律，理解題意是解題的關鍵.由于兩個中心圓圈有6根連線，數字1至8,

共有8個數字，若2,3,4,5,6,7,其中任何一個數字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數字

均不能出現在與中心圓圈相連的6個圓圈中，否則不滿足任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的

絕對值不等于1,故只剩下5個數字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者

8.

【詳解】???兩個中心圓圈分別有6根連線，數字1至8,共有8個數字，若2,3,4,5,6,7,其

中任何一個數字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數字均不能出現在與中心圓圈相連的6個圓圈中，

故只剩下5個數字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入

位于兩個中心圓圈的數字。、b,只可能是1或者8.

故答案為：1（或8）.

4.（2024四川遂寧）在等邊三邊上分別取點。、E、F,使得4D=BE=CF,連結三點得

至IJAZ）￡F，易得AADF咨ABED2ACFE,設工相。=：1,貝US^DEF=1-3s△ADF

ZA/tA\

;二sc

JLJj-3UF,

E

圖①圖②圖③

如圖①當程=；時，SADEF=1-3義；=；

AnZ44

如圖②當時，S△四=1-3x]:

AD3V3

如圖③當時,S^DEF

4b41616

Ar）i

直接寫出，當——=一時，S&DEF=_____.

AB10

73

【答案】一##0.73

100

【解析】本題主要考查數字規律性問題，首先根據已知求得比例為"時，

h2—3〃+3

s△四=1—3*號-—笫三，代入〃=10即可.

nn

n3n+3

【詳解】根據題意可得，當任=工時，S^DEF=l-3x^-='~,

ABn3/n2

則當絲=工時，S"3x10+3上

AB10/EF102100

73

故答案為：---.

100

5.（2024四川達州）如圖，在&43C中，AEif分別是內角/G43、外角NC&）的三等分線,

且NE[AD=j^CAB,NE[BD=；NCBD,在AABE1中，AE2,BE2分別是內角AEXAB,外

角NERD的三等分線.且工"）=；43,NE?BD=g/E謖D,以此規律作下去.若

ZC=m°.則NE“=度.

【解析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先分別對△ZBCZXE/B運用三角形的外角定理，設/￡/￡>=a,則NC4B=3a,/E[BD=0,

/旦="=9]NC,所

則NC8Z)=3￡,得到P=a+/￡],3/3=3<z+ZC,同理可求:

以可得ZC.

【詳解】如圖：

ZE,AD=-ZCAB,ZE.BD=-ZCBD,

1313

.?.設/￡/￡>=a,組BD=/3,則NO48=3(z,NCBD=3/3,

由三角形的外角的性質得：乃=a+/￡],3夕=3a+/C,

=-ZC,

13

??."M

即ZE=—m°,

"3"

故答案為：—m.

3"

111

6.（2024四川眉山）已知％=x+l（尤w0且XH-1）,a2=-----,%=；-----=--------------,

]_Q]]_%1—?_]

則?2024的值為.

【答案】二

X

【解析】此題考查了分式的混合運算，利用分式的運算法則計算得到每三個為一個循環，分別為X+1,

,,進步即可求出。202

XX+1*4?

【詳解】???％=x+l,

._1_1_1

2\-ax+x，

_11X

1—Cl21|1|X+l,

HI

iii

'-a,===,=x+1

x+1X+1

1

X

由上可得，每三個為一個循環，

???2024+3=674x3+2,

..。2024一,

X

故答案為：---.

X

7.(2024黑龍江齊齊哈爾)如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花朵”

形的美麗圖案，他們將等腰三角形O3C置于平面直角坐標系中，點O的坐標為(0,0),點2的坐標

為(1,0),點C在第一象限，ZO5C=120°.將△05C沿X軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依

次與x軸重合，第一次滾動后，點。的對應點為。'，點。的對應點為c',0c與o'C的交點為4,

稱點4為第一個''花朵”的花心，點4為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，△05。滾動

【解析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質，點的坐標規律探索.連接48,求得28=立，

3

-j,45+,L,推導

0D=>0C=V3>分別得到43+

得到41+(〃—1)(2+百),理［,△OBC滾動一次得到4,

△05C滾動四次得到4，AOSC

滾動七次得到4,由此得到4OBC滾動2024次后停止滾動，則〃=（2024+1）+3=675,據止匕求

解即可.

【詳解】解：連接45,

由題意得N8OC=N8CO=30°,ABO'C=ZBC'O'=30°,OB=BC=O'B=BC'=1,

：.AXB±OC,

45=<95-tan300=—>BD=\OB=\,OD=^OB2-BD-=—

13222

△OBC滾動一次得到4，△OBC滾動四次得到4，△OBC滾動七次得到4，

（r;\

...△OBC滾動2024次后停止滾動，則〃=（2024+1）+3=675時，A6751349+67473,—，

I3,

（

故答案為：［1349+6746,號.

8.（2024黑龍江綏化）如圖，已知4（1，一行），4（3,—百），4（40），4（6,0），4（7,百卜

4（9,百），4（10,0），4（11,一月）…，依此規律，則點4。24的坐標為.

【解析】本題考查了點坐標的規律探究.解題的關鍵在于根據題意推導出一般性規律.根據題意可知

7個點坐標的縱坐標為一個循環，力7"的坐標為（10〃，0），據此可求得4（124的坐標.

【詳解】解：.；4（1，一石），4（3,—君），4（4,0）,4（6,0），4（7,6）,4（9,g）,4（10,0）,

???可知7個點坐標的縱坐標為一個循環，的坐標為。0〃,0）,^7?+1（10?+1,-73）

2024+7=289…1,

二4o23的坐標為（2890,0）.

4。24的坐標為（2891,-8）

故答案為：（2891,-0）.

9.（2024四川廣安）已知，直線/：y=Ylx-電與無軸相交于點4，以為邊作等邊三角形

33

C%片，點用在第一象限內，過點用作x軸的平行線與直線/交于點小，與了軸交于點以G4

為邊作等邊三角形44不（點鳥在點g的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形。24名，等邊

三角形C3/484…，則點4024的橫坐標為

【解析】

直線直線/：y=gx-1可知，點4坐標為（1,0）,可得。4=1,由于ACMNI是等邊三角形，可

把^=蟲.代入直線解析式即可求得4的橫坐標，可得4G=*,由于△與4耳

侍點42JT

\722

「5/25773

是等邊三角形，可得點幺2；同理，4一，,發現規律即可得解，準確發現坐標與

447

字母的序號之間的規律是解題的關鍵.

【詳解】解：???直線/：/：y=立X—@與X軸負半軸交于點4,

-33

二點4坐標為(1,0),

OA1=1,

過用，B2,作4"±x軸交'軸于點與NLx軸交44于點。，交X軸于點N,

??.NO4M=30。

，解得：■

2

2N工旦=應

424

逋時，述=立》_且，解得:25

...當片X二——

44334

」257G、

4——，

344J

2

而竺=2

4

同理可得：4的橫坐標為

...點4024的橫坐標為

2023

5

故答案為:

【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標的特征，勾股定理的應用，等邊三角形的性質，特

殊圖形點的坐標的規律，掌握探究的方法是解本題的關鍵.

三、解答題

1.（2024安徽省）數學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數N能否表示為Y—j?（X,y均為

自然數）”的問題.

（1）指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下（〃為正整數）：

N奇數4的倍數

1=I2-024=22-02

3=22-128=32-12

表示

結果

5=32-2212=42-22

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般

2n-l=n2-(H-1)2An=______

結論

按上表規律，完成下列問題：

(i)24=()2_()2；

(ii)4〃=；

(2)興趣小組還猜測：像2,6,10,14,這些形如4〃-2(〃為正整數)的正整數N不能表示為x2-/

(X，V均為自然數).師生一起研討，分析過程如下：

假設4〃—2=/一其中x,y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若x，V均為偶數，設x=2k,y=2m,其中心加均為自然數，

則Y—(2加『=4(左2一小)為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故工，V不可能均為偶數.

②若x，V均為奇數，設x=2左+1,y=2m+\,其中總加均為自然數，

則/_/=0k+以_Q掰+以=為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故工，V不可能均為奇數.

③若X，V一個是奇數一個是偶數，則/為奇數.

而4〃-2是偶數，矛盾.故X，V不可能一個是奇數一個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.

【答案】⑴(i)7,5；(ii)(?+1)2-(M-1)2；

(2)4,2-m?+k-m)

【解析】【分析】(1)(i)根據規律即可求解；(ii)根據規律即可求解；

(2)利用完全平方公式展開，再合并同類項，最后提取公因式即可；

本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運算是解題的關鍵.

【小問1詳解】

(i)由規律可得，24=72—52,

故答案為：7,5；

(ii)由規律可得，4〃=5+1)2—(〃—17，

故答案為：(?+l)2-(n-l)2；

【小問2詳解】

解：假設4〃—2=——>2,其中x,y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若X，V均為偶數