勾股定理的多種應用考點培優練習

考點直擊

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，a2+b2=c2.

2.勾股定理逆定理：如果一個三角形三邊a,b,c滿足a?+/=c2,那么這個三角形是直角三角形.

3.勾股數：滿足a2+b2=c?的三個正整數a,b,c稱為勾股數.

4.利用勾股定理求邊長的三類題型：

⑴直接應用勾股定理求直角三角形的邊；

⑵利用勾股定理得方程求邊一旗桿折斷模型；

（3）“化斜為直”構造直角三角形求邊.

例題精講

例1（常州統考）如圖,RtAABC中,NBAC=90。,分另（J以AABC的三條邊為直角邊作三個等腰直角三角形△ABD,△ACE,ABCF,

若圖中陰影部分的面積51=6.5,$2=3.5,S3=5.5,則、S4=

舉一反三1（涼州統考）如圖,AABC中,AD1■于D若AB=15,AC=13,BC=14,求AD.

舉一反三2閱讀下面的材料，然后解答問題：

我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫作奇異三角形.

【理解】

⑴根據奇異三角形的定義，請你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎?—（填"是”或“不是”）.

⑵若某三角形的三邊長分別為1,V7,2,則該三角形—（填“是”或—“不是”）奇異三角形.

【探究】

在R3ABC中,兩邊長分別是a,c,且a2=50,c2=100,則這個三角形是否是奇異三角形?請說明理由.

【拓展】在RtAABCcp,ZC=90°,AB=c,AC=b,BC=a,H(b>a,若Rt△ABC是奇異三角形，求a2:b2-.c2.

例2（蘇州統考）如圖1,在AABC中,33/4+ZB=180°,BC=8,AC=10,求AB的長.

小明的思路：如圖2,作BE±AC于點E,在AC的延長線上取點D，使得DE=AE,連接BD.易得NA=ND.AABD為等

腰三角形.由3/4+乙B=180。和NA+NABC+NBCA=180。,易得.ABCA=2乙1,△BCD為等腰三角形，依據已知條件可得AE

和AB的長.

解決下列問題：

⑴圖2中,4E=.

⑵在AABC中,NA,/B,NC的對邊分別為a、b、c.如圖3,當3/4+2NB=180。時，用含a,c的式子表示b.

舉一反三3如圖，已知四邊形ABCD中，AB\\CD,BC=AD=4,AB=CD=10,Z.DCB=90°?E為CD邊上的一點.

DE=7,動點P從點A出發,以1個單位每秒的速度沿著邊AB向終點B運動，連接PE,設點P運動的時間為t秒.

⑴求BE的長；

⑵若△BPE為直角三角形，求t的值.

舉一反三4（高郵統考）【數學實驗室】制作4張全等的直角三角形紙片（如圖1），把這4張紙片拼成以弦長c為邊長的正

方形構成“弦圖”（如圖2）,古代數學家利用“弦圖”驗證了勾股定理.

圖1圖2圖3備用圖

【探索研究】

⑴小明將“弦圖”中的2個三角形進行了旋轉，得到圖3,請利用圖3證明勾股定理.

【數學思考】

⑵小芳認為用其他的方法改變“弦圖”中某些三角形的位置，也可以證明勾股定理.請你想一種方法支持她的觀點（先在備

用圖中補全圖形，再予以證明）.

例3如圖，在四邊形ABCD中,AD=4cm,CD=3cm,AD1CD,AB=13cm,BC=12cm,求四邊形的面積.

【思路點撥】連接AC,根據勾股定理求出AC,然后利用勾股定理的逆定理推導出A4BC是直角三角形，然后利用三

角形面積公式將兩個三角形的面積相加即可.

舉一反三5（海門統考）如圖，梯子AB斜靠在一豎直的墻上，梯子的底端A到墻根0的距離AO為2米，梯子的頂端B

到地面的距離B0為6米，現將梯子的底端A向外移動到.4,使梯子的底端.4到墻根O的距離.4。等于3米，同時梯子的

頂端B下降至.求梯子頂端下滑的距離.BB'.

舉一反三6（宜興統考）如圖，小明所在學校的旗桿BD高約為13米，距離旗桿20米處剛好有一棵高約為3米的香樟樹

AE,活動課上，小明有意在旗桿與香樟樹之間的連線上來回踱步，發現有一個位置到旗桿頂部與到樹頂的距離相等，請你

求出該位置與旗桿之間的距離.

D

區

E

f

A-B

過關檢測

基礎夯實

1.（南通中考）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4

C.4,6,7D.5,11,12

2.（呼倫貝爾中考）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（）

A.6,8,14B.6,8,12

C.6,8,10D.6,8,8

3.（陜西中考）如圖，在3x3的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，若BD是AABC的高，則BD的長

為（）

A.^V13B.^V13

1313

C.-V13D.-V13

1313

4.（瀘州中考）“趙爽弦圖，，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個

全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正

方形的面積為25,則小正方形的邊長為（）

D.3

5.（長春中考）如圖1,這個圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.此圖案的示意

圖如圖2,其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形,AABF,ABCG,ACDH,ADAE是四個全等的直角三角形.若

EF=2,DE=8,貝!]AB的長為—.

圖2

6.（莆田中考）魏朝時期，劉徽利用下圖通過“以盈補虛，出入相補”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相

補，各從其類”證明了勾股定理.若圖中BF=1,CF=2則AE的長為

7.（濱州中考）如圖所示，每個小方格都是邊長為1的正方形，點A,B是方格紙的兩個格點（即正方形的頂點）,在這個

6x6的方格紙中，找出格點C,使AABC的面積為1個平方單位的直角三角形的個數是一個.

8.（新疆中考）如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形（兩直角邊長分別是a,b,斜邊長為c）和一個邊長為c的正方

形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形.

⑴畫出拼成的這個圖形的示意圖；

（2）證明勾股定理.

9.（赤峰中考）如圖.RtAABC中,NACB=9（T,AB=5,AC=3,把RtAABC沿直線BC向右平移3個單位長度得到AABC,則四邊

形ABCA的面積是（）

A.15B.18C.20D.22

10.（溫州中考）把四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的

小正方形EFGH.已知AM為RtAABM較長直角邊，AM=2四EF,,則正方形ABCD的面積為

A

A.12SB.IOSC.9SD.8S

1L（雅安中考）對角線互相垂直的四邊形叫作“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美"四邊形ABCD,對角線AC,BD交于點

O.若AD=2,BC=4,則AB2+CD2=____

12.（綿陽中考）若a,b,c是直角三角形的三條邊長，斜邊c上的高的長是h,給出下列結論：

①以a"b2,c哨勺長為邊的三條線段能組成一個三角形；

②以6,VF,北的長為邊的三條線段能組成一個三角形；

③以a+b,c+h,h的長為邊的三條線段能組成直角三角形；

④以工3,2的長為邊的三條線段能組成直角三角形.

abc

其中所有正確結論的序號為—.

13.（紹興中考）如圖，已知邊長為2的等邊三角形ABC中，分別以點A,C為圓心,m為半徑作弧，兩弧交于點D,連接BD.

若BD的長為22日”則m的值為一.

14.（宜昌中考）【閱讀】能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數a,b,c,稱為勾股數.世界上第一次給出勾股數通解

公式的是我國古代數學著作《九章算術》，其勾股數組

a=-(m2-n2),

b=mn,其中m>n>0,

c=~(m2+n2),

m,n是!互質的奇數.

【應用】當n=l時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長.

15.(棗莊中考)已知:如圖，在四邊形ABCD中,NABC=90°,CD±AD,AD2+CD2=2AB2.

⑴求證:AB=BC；

(2)當BE±AD于E時，試證明:BE=AE+CD.

16.（隨州中考）如圖，在等腰直角三角形ABC中,/ABC=9（r,D為AC邊的中點，過D點作DE1DF交AB于點E、交BC

于點F,若AE=4,FC=3,求EF的長.

17.如圖,在AABC中,D,E分別是BC,AC的中點.已知/ACB=9（T,BE=4,AD=7,則AB的長為（）

C.2V13P.2V15

18.長方形臺球桌ABCD上,一球從AB邊上某處P擊出，分別撞擊球桌的邊BC,CD,DA各1次后,又回到出發點P處，每

次球撞擊桌邊時，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（如圖，a=0）.若AB=3,BC=4,則此球所走路線的總長度（不計球的大小）

為（）

C.IID.10

19.（聊城中考）

⑴如圖1是一個重要公式的幾何解釋.請你寫出這個公式.

⑵如圖2,R3ABC義R3CDE,/B=ND=90。,且B,C,D三點共線.試證明:NACE=90。.

⑶伽菲爾德利用⑴中的公式和圖2證明了勾股定理，現請你嘗試該證明過程.

ab

A

b

圖1

20.（牡丹江中考）在AABC中,4B=2遙,AC=4,BC=2,以AB為邊向AABC外作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線段

CD的長.

【例題精講】

1.2.5解析:記BF與DE相交于點G,記CF與DE交于點H,^.^△ABD.△ACE,△BCF均是等腰直角三角形,...

222

AB=BD,AC=CE,BC=CF,設AB=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,SAABG=m,SACH=n,va+b=c,SABD+SACE=SBCF,■■邑+

m+n+S4=S2+S3+m+n,???S4=3.5+5.5—6.5=2.5.

2.(1)912(2)b

解析:⑴由題可知BE是AD的垂直平分線,...AB=BD,NA=ND.,.^3NA+NABC=180。,NA+NABC+NBCA=180。，.^.Z

BCA=2ZA.VZBCA=ZD+ZCBD,ANBCA=NA+NCBD=2NA,NCBD=NA,，DC=BC=8,.\

AD=DC+AC=8+10=18,，AE=DE=9,.\EC=AD—CD=9—8=L.,.在直角ABCE和直角AAEB中,由勾股定理得.BC2-CE2=

AB2-4E?,即82-I2=AB2-9?,解得AB=12.(2)如圖作BE±AC于點E.在AC的延長線上取點D.使得DE=AE.連接BD.

則BE是邊AD的垂直平分線,.,.AB=BD,NA=ND.^.^3NA+2NB=180。,NA+NABC+NBCA=180。,.,.2NA+NABC=N

ACB.VZACB=ZD+ZDBC,A2ZA+ZABC=ZD+ZDBC.VZA=ZD,.\ZA+ZABC=ZDBC,BD=AB=c,即ZDCB

=NDBC,，DB=DC=c.由題意得DE=4E=—EC=AE-AC=—-b=—，i￡RtABEC中,BE2=BC2-EC?,在RtABEA

22222222

中,BE=BA-EA,..BC-EC=BA-E/P,即a-(一1=c-(等)1整理得b=

3.36cm2解析:連接AC,：AD_LCD,...在直角AACD中.AC2=AD2+CD?.又AD=4cm,CD=3cm,解得AC=5cm.:AC2+

BC2=52+122=169=132=AB2,.-.ZACB=90°,

.?.SH?ABCD=S^CD+S^C=-AD%+|".8c=6+30=36(/),

【舉一反三】

1.12解析:設BD=x，則CD=14-x,

VAD±BC,AZADB=ZADC=9O°.

---AADB與AACD均為直角三角形，

AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,&P152-x2=132-(14-x)?,解得x=9,BD=9,AD=VAB2-BD2=

V152-92=12.

2.【理解】⑴是⑵是【探究】當c為斜邊時，-="-<?=50,RtAABC不是奇異三角形；當b為斜邊時，b2=

c2+a2=150,50+150=2x100,a2+b2=2c2,RtAABC是奇異三角形.【拓展】1:2:3

解析：【理解】⑴設等邊三角形的邊長為a,???a2+a2=2a乙c等邊三角形一定是。奇異三角形.(2)：I2+(V7)=2x

22,???該三角形是奇異三角形.【拓展】RtAABC中,NC=90°,a2+b2=c2.:c>b>a,?.?2c2>b2+a2,2a2<b2+c2.V

RtAABC是奇異三角形,.2b2=a2+c2,2b2=a2+a2+b2,:.b2=2a2a2+b2=c2,.e.c2=3a2,:.a2:b2:c2=1:2:3.

3.⑴5⑵t=7或-|

VCD=10,DE=7,CE=10—7=3.在RtACBE中,BE=VBC2+CE2=5.(2)當NBPE=90。時,AP=10-3=7廁

t=7+l=7(秒);當NBEP=90。時,BE2+PE2=BP?,即52+42+(7-t)2=(10-1產解得t=1.

4.(1)證明:如圖1.

圖形的面積表示為a2+b2+2x^ab=a2+b2+ab,,圖形的面積也可表示為c2+4x

|a/>=c2+ab,..(a+b)2=c2+4x|afo,a2+b2+ab=c2+ab,a2+b2=c?.即直角三角形

兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(2)如圖2.?.■大正方形的面積表示為(a+6)2,大正方形的面積也可表示為

圖2

c2+4X|ah,(a+b)2=c2+4x|ab,a2+b2+lab=c2+2ab,■-a2+b2=/.即直角三角形兩直角邊的平方和等于

斜邊的平方.

5.6-同解析:在RtAAOB中，由勾股定理可知AB2=A02+0B2=40,在RtAAUB，中由勾股定理可知

A'B'2=A'O2+OB'2.,/AB=A'B',A'O2+OB'2=40.OB,=V40-9=V31BB'=6-V31.

6.6米

解析:根據題意可得AE=3m,AB=20m,BD=13m.如圖,設該位置為點C,且AC=xm.由AC=xm得BC=(20—x)m,由題意得

CE=CD則(CE?=CD2,32+X2=(20-久尸+13?,解得x=14；.CB=20-x=6.由0<14<20可知，該位置是存在的，該位置與旗

桿之間的距離為6米.

D

/，4

【過關檢測】

1.A解析::32+42=5"?.三條線段能組成直角三角形，人正確；；22+32^42,.?.三條線段不能組成直角三角形，B

錯誤；42+627?,出三條線段不能組成直角三角形，C錯誤；52+II2豐122,.,.三條線段不能組成直角三角形，D錯

誤.

2.D解析:6+8=14,.?.不能組成三角形,A錯誤;V62T82=10<12,6+8>12,.?.不能組成銳角三角形,B錯誤;?：

V62+82=10,二能組成直角三角形，C錯誤；V62+82=10>8,6+8>8”能組成銳角三角形，D正確.

22

3.D解析：由勾股定理得AC=V2+3=V13,vSABC=3x3-jxlx2-|xlx3-ix2x3=3.5,^AC-BD=

*V13-BD=7,BD=誓.

4.D解析：由題意可知，中間小正方形的邊長為a-b,I.每一個直角三角形的面積為5必="8=4,二4X京。+

(a—b)2=25,(a-b)2=25-16=9,a-b=3.

5.10解析:依題意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,???BF=BG-BF=6.直角AABF中，利用勾股定理得AB=^AF2+BF2=

V82+62=10.

6.3V10解析:VBF=1,CF=2,.\BC=BF+CF=1+2=3.VABEC,：?—=—,KP—=之解得CE=6.在RtAADE

CECFCE2

中,AD=3,DE=DC+CE=3+6=9,根據勾股定理得AE=V32+92=3V10.

角形有6個。

(2)證明：I,大正方形的面積可表示為c2,又可表示為X4+(&-a)2,c2=^abx4+(^b-a)2,c2=2ab+b2-

2ab+a2,.-.c2=a2+〃.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

9.A解析:\,把RtAABC沿直線BC向右平移3個單位長度得到△ABC；A'A=CC=3,44||BC，在RtAABC中,：

AB=5,AC=3,，BC=V52-32=4.VAA'/7BC,/.四邊形ABCA是梯形,，四邊形ABCA的面積=|(44+BC，)?AC=|x

(3+4+3)X3=15.

10.C解析:設AM=2a,BM=b，則正方形ABCD的面積:=4a2+戶.由題意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b,■-AM=

2V2EF,2a=2V2b,a=V2Z).x?正方形EFGH的面積為S,b2=S,：.正方形ABCD的面積=4a2+b2=9b2=9s.

11.20解析:..?AC_LBD,，NAOD=NAOB=NBOC=NCOD=90。.由勾股定理得力爐+CD2=AO2+BO2+CO2+

DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AD2+BC2.'：AD=2,BC=4,AB^CD^^42=20.

12.②③解析：直角三角形的三條邊滿足勾股定理a2+b2=C?,因而以a2,b“2的長為邊的三條線段不能滿足兩邊之和大

于第三邊，故不能組成一個三角形，①錯誤；直角三角形的三邊有a+b>c(a,b,c中c最大),而在VaV6,V6,三個數中最

大，如果能組成一個三角形，則有、Va+VF>成立，即((VH+Vb)2>(VE)［即a+b+2Vab>c,,由a+b>c知不等式成

立，從而滿足兩邊之和大于第三邊，則以根,也,泥的長為邊的三條線段能組成一個三角形，②正確;a+b,c+h,h這三個數中

c+h一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,X2ab=2ch=4SAABC,(a+b)2+h2=(c+八產根據

勾股定理的逆定理知以a+b,c+h,h的長為邊的三條線段能組成直角三角形，③正確；若以二I的長為邊的三條線段能組

abc

成直角三角形，假設a=3,b=4,c=5,:G)2+C)2乎G)：???以這三個數的長為線段不能組成直角三角形，④錯誤.

13.2或2b解析：如圖，點D在AC的垂直平分線上，：AABC是等邊三角形，，點B在AC的垂直平分線上，,BD

垂直平分AC.設垂足為E,VAC=AB=2,BE=V3.

當點D,B在AC的兩側時，?:BD=2V3,.,.BE=DE,AD=AB=2,...m=2.當點D,B在AC的同側時,???BD=2DE=

3V3,.-.AD=J(3V3)2+l2=2V7,m=2式..綜上所述，m的值為2或2收

14.12,13或3,4

解析:當n=1時,a=巳(m2-l)circZelb=mcircle!,c=1(m2+1)③,'.,直角三角形有一邊長為5,當a=5時，

|(十-1)=5解得m=±VIT(舍去);當b=5時,即m=5,代入①③得a=12,c=13;當c=5時,|(m2+1)=5,解得m=±3,'.'m>0,

m=3,代入①②得a=4,b=3.綜上所述，直角三角形的另外兩條邊長分別為12,13或3,4.

15.(1)證明:連接AC.ZABC=90°,AB2+BC2=AC2.:CD1AD,■,AD2+CD2=AC2.■,AD2+CD2=2AB2,：.AB2+

BC2=2AB2,BC2=AB2.VAB>0,BC>0,AB=BC.

(2)過C作CF±BE于點F.如圖，

BE±AD,CF_LBE,CD_LAD,

.^.NFED=/CFE=ND=90。,.^.四邊形CDEF是矩形..".CD=EF.^.^NABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBF=90°,/.Z

(Z-AEB=Z-BFC,

BAE=ZCBE^ABAE與ACBF中，=乙CBF,

(AB=BC,

：.ABAE^△CBF(AAS).JAE=BF.

.?.BE=BF+EF=AE+CD.

16.5解析:連接BD,如圖,

???等腰直角三角形ABC中,D為AC邊的中點,???BD_LAC（三線合一）,BD=CD=AD,NABD=45。,，NO45。,，ZABD二

ZC.又DE±DF,

:.NFDC+NBDF=NEDB+NBDF,

/.NFDC=NEDB.???Z\EDB^Z\FDC(ASA),???BE=FC=3,???AB=7JJ!JBC=7,JBF=4.在RtAEBF中，EF2=BE2+BF2=

32+42,EF=5.

17.CEC=x,DC=y,ZACB=90°,中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16,,在直角^ADC中,AC2+

CD2=4x2+y2=AD2=49,,解得x=2?y=1..在直角^ABC中,AB=74x2+4y2=V52=2V13.

18.D解析:,/四邊形ABCD是矩形,，ZBCD=ZD=90°,Ap+ZCRQ=90°,ZDSR+ZDRS=90°.Va=p,ZSRD=ZQRC,

ZDSR=p=a=ZASP,/.ZPQR=NPSR.同理可證NSPQ二NSRQ,J四邊形PQRS是平行四邊形.延長PQ交DC的延長線于點E,

作EH±AB交AB的延長線于點H,如圖，

易證.RC=EC=AP=BH,QR=QE,BC=EH=4,，PH=AB=3,.??EP=V32+42=5,???平行四邊形的周長=2（PQ+QR）=2PE=10.

19.（l）（a+b）2=a2+2ab+b2

（2）證明：：AABC0△CDE,??.ZBAC=ZDCE,ZACB+NDCE=NACB+NBAC=90。.由于B,C,D