2024年中考數學真題專題分類精選匯編

專題30尺規作圖類問題

一、選擇題

1.（2024山東煙臺）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下,

【答案】D

【解析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的

性質和判定，根據作圖痕跡，逐一進行判斷即可.

【詳解】第一個圖為尺規作角平分線的方法，OP為的平分線；

第二個圖，由作圖可知：OC=OD,OA=OB,

：.AC=BD,

ZAOD=ZBOC,

AAOD咨ABOC,

/.ZOAD=ZOBC,

；4C=BD,ZBPD=ZAPC,

:.ABPDaAPC,

/.AP=BP,

?：OA=OB,OP=OP,

：.^AOP^/\BOP,

/.ZAOP=/BOP,

...OP為//08的平分線；

第三個圖，由作圖可知N/CP=N/08,0C=CP,

CP//BO,ZCOP=ZCPO,

：.J）CPO=七BOP

：.4cop=ZBOP,

OP為N/05的平分線;

第四個圖，由作圖可知：OPLCD,OC=OD,

??.OP為NZ08的平分線；

故選D.

2.（2024四川眉山）如圖，在AZ8C中，AB=AC=6,BC=4,分別以點A,點B為圓心，大

于工48的長為半徑作弧,兩弧交于點E,F,過點、E,F作直線交AC于點。，連接8。，則ABCD

2

的周長為（）

A.7B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】本題考查了尺規作圖一作垂直平分線，根據垂直平分線的性質即可證明=3。，根據

△BCZ）的周長++，即可求出答案.

【詳解】由作圖知，E尸垂直平分48,

AD=BD>

.?△BCD的周長=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,

AB=AC=6,8C=4,

.?.△5。￡>的周長=6+4=10,

故選：C.

3.（2024天津市）如圖，Rt4/BC中，/。=90。,/2=40。，以點A為圓心，適當長為半徑畫

弧，交AB于點、E,交/C于點尸；再分別以點及尸為圓心，大于工所的長為半徑畫弧，兩弧（所

2

在圓的半徑相等）在NA4C的內部相交于點尸；畫射線/P,與相交于點。，則//DC的大

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【解析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質，由直角三角形兩銳

角互余可求出NA4C=50°,由作圖得/氏4。=25。，由三角形的外角的性質可得465。,

故可得答案

【詳解】???/C=90o,/J8=40。，

ABAC=90°—NB=90°-40°=50°,

由作圖知，4P平分NB4C,

ZBAD=-ABAC=-x50°=25°,

22

又ZADC=ZB+ABAD,

：.=40°+25°=65°,

故選：B

4.（2024河北省）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段AD一定是一5。的（）

R

C.中位線D.中線

【答案】B

【解析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得L/C,從而可得

答案.

由作圖可得：BDLAC,

線段BD一定是AABC的高線;

故選B

5.（2024武漢市）小美同學按如下步驟作四邊形/BCD：①畫NM4N；②以點A為圓心，1個單

位長為半徑畫弧，分別交ZM,AN于點、B,D；③分別以點B,。為圓心，1個單位長為半徑畫弧,

兩弧交于點C；④連接5C,CD,BD.若NZ=44。，則NCS。的大小是（）

C.68°D.70°

【答案】C

【解析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質，根據作圖可得四邊形4BCD是菱形，進而根據

菱形的性質，即可求解.

【詳解】解：作圖可得A5=4D=5C=r>C

二四邊形45CD是菱形，

/.AD||BC,ZABD=ZCBD

?/N4=44°,

ZMBC=ZA=44°,

：.ZCBD=1(180°-ZMBC)=1(180°-44°)=68°,

故選：C.

6.(2024四川南充)如圖，已知線段48,按以下步驟作圖：①過點8作48,使!45,

2

連接ZC；②以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交4c于點D；③以點/為圓心，以長為

半徑畫弧，交AB于點、E.若AE=mAB,則冽的值為()

A.B.6一2c.75-1D.75-2

22

【答案】A

【解析】本題考查了勾股定理，根據垂直定義可得N4BC=90。，再根據8C=448,設=

2

然后在RtA^SC中，利用勾股定理可得AC=—a，再根據題意可得：

2

AD=AE,CD=BC=-a,從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答.

2

【詳解】VBCLAB,

???NABC=90°,

BC=-AB,設=Q

2

BC——a、

2

:.AC7AB2+Be?=

由題意得：AD=AE,CD=BC=~a,

2

AE=AD=AC-CD=—a--a=^^a，

222

?/AE=mAB,

故選：A

7.(2024北京市)下面是“作一個角使其等于N/05”的尺規作圖方法.

(1)如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交。4,OB于點、C,D；

(2)作射線0'4',以點。'為圓心，OC長為半徑畫弧，交ON于點C'；以點。為圓

心，3長為半徑畫弧，兩弧交于點。外

(3)過點。弘乍射線。F,則44'。8=

/B/B'

上述方法通過判定工CODdCOD得到ZA'O'B'=AAOB,其中判定LCODdCOD的依

據是()

A.三邊分別相等的兩個三角形全等

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D,兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

【答案】A

【解析】根據基本作圖中，判定三角形全等的依據是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據是解題的關鍵.

【詳解】根據上述基本作圖，可得0c=O'C',OD=O'D',CD=CD',

故可得判定三角形全等的依據是邊邊邊，

故選A.

8.（2024深圳）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線幺。平分NA4c的是（）

A.①②B.①③C.②③D,只有①

【答案】B

【解析】本題考查了尺規作圖，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是理解作法、掌握角平分

線的定義.利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可.在圖①中，利用基本作圖可判斷幺。平分

ZBAC；在圖③中，利用作法得/￡=4F,,可證明"FM'AEN,有

ZAMD=ZAND,可得ME=NF,進一步證明，得DM=DN,繼而可證明

AADM^AADN，得/MAD=/NAD,得到ZD是二胡。的平分線；在圖②中，利用基本作

圖得到。點為的中點，則/。為邊上的中線.

【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分/B/C；

在圖③中，利用作法得/￡=/F,AM=AN,

7

工M/

在AAFM和AAEN中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

AAFM^AEN（SAS）,

：./AMD=ZAND,

?;AM—AE=AN—AF

:.ME=NF

在和AND9中

NAMD=ZAND

<ZMDE=NNDF,

ME=NF

AMDE^ANDF(AAS),

：.DM=DN,

AD=AD,AM=AN,

：.AADM^AADN(SSS),

/MAD=/NAD,

/.ND是/胡。的平分線；

在圖②中，利用基本作圖得到。點為的中點，則/。為5C邊上的中線.

則①③可得出射線AD平分NBAC.

故選：B.

9.（2024四川成都市）如圖，在Y45CD中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，以適當長為半徑

作弧，分別交氏4,BC于■點、M,N；②分別以N為圓心，以大于‘"乂的長為半徑作弧，

2

兩弧在N48。內交于點0；③作射線50,交4D于點E,交延長線于點尸.若CD=3,

￡?E=2,下列結論錯誤的是（）

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

BE5

C.DE=DFD.——=—

EF3

【答案】D

【解析】本題考查角平分線的尺規作圖、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及相似性質與判定

的綜合.先由作圖得到AF為。的角平分，利用平行線證明NAEB=NABE,從而得到

AE=AB=CD=3,再利用平行四邊形的性質得到5。=/。=/￡+￡。=3+2=5,再證明

BE3

△AEBsADEF,分別求出=—,DF=2,則各選項可以判定.

EF2

【詳解】由作圖可知，5廠為N45。的角平分，

ZABE=ZCBE,故A正確；

V四邊形ABCD為平行四邊形，

/.AD=BC,AB=CD,AD\\BC,

AD//BC

NAEB=ZCBE,

ZAEB=ZABE,

AE=AB=CD=3,

BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正確;

AB=CD,

ZABE=NF,

ZAEB=NDEF,

△AEBsADEF,

BE_AB_AE_

一,

~EF~~DFED

BE3_3

一,

~EF-DF2

BE_3

—>DF=2,故D錯誤;

~EF2

?/DE=2,

：.DE=DF,故C正確，

故選：D.

10.(2024湖北省)N5為半圓O的直徑，點。為半圓上一點，且NC4B=50°.①以點B為圓心,

適當長為半徑作弧，交4B,BC于D,E；②分別以為圓心，大于工DE為半徑作弧，兩弧交于

2

點尸；③作射線AP,則/48尸=()

【答案】C

【解析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義，根據直徑所對的圓周角是直角可求出

ZABC=4Q°,根據作圖可得=L480=20。，故可得答案

2

【詳解】為半圓。的直徑，

ZACB=90°,

?/ZCAB=50°，

ZABC=40°，

由作圖知，/P是148C的角平分線，

ZABP=-ABC=2Q°,

2

故選：C

二、填空題

1.（2024湖南省）如圖，在銳角三角形48c中，2。是邊BC上的高，在氏4,上分別截取線

段BE,BF，使BE=BF；分別以點￡,尸為圓心，大于工EE的長為半徑畫弧，在248C內，

2

兩弧交于點P,作射線BP,交AD于點M,過點M作MNLAB于有、N.若MN=2,AD=4MD,

貝|」我=.

【解析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知AP平分/48C,根據角平

分線的性質可知DM=MN=2,結合40=4"。求出4D,AM.

【詳解】作圖可知AP平分N48C,

：4D是邊5C上的高，MN1AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

'：AD=AMD,

AD=8,

AM=AD-MD=6,

故答案為：6.

2.（2024貴州省）如圖，在中，以點/為圓心，線段N2的長為半徑畫弧，交BC于點D,

連接4D.若48=5,則4D的長為.

【答案】5

【解析】本題考查了尺規作圖，根據作一條線段等于已知線段的作法可得出幺。=/5,即可求解.

由作圖可知：AD=AB,

4B=5,

：.AD=5,

故答案為：5.

3.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，交x

軸正半軸于點交y軸正半軸于點N,再分別以點N為圓心，大于;W的長為半徑畫弧，兩

弧在第一象限交于點X,畫射線。8，若〃（2a—貝ija=.

【解析】此題主要考查了角平分線的尺規作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據作圖方法可得點8

在第一象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答案.

【詳解】根據作圖方法可得點〃在第一象限角平分線上；點〃橫縱坐標相等且為正數；

2。-1=。+1,

解得：。=2,

故答案為：2.

4.（2024山東棗莊）如圖，已知NMAN,以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與ZM、AN

相交于點B,C；分別以3,。為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內部相交于

2

點尸，作射線/尸.分別以A,8為圓心，以大于工48的長為半徑作弧，兩弧相交于點D,E,作

2

直線￡>￡分別與48,/尸相交于點尸，Q.若48=4,ZPQE=67.5°,則/到/N的距離為

M

【答案】V2

【解析】如圖，過/作于X,證明NB4P=NC4P,DE1AB,AF=BF=-AB=2,

2

再證明/E4〃=45。，再結合勾股定理可得答案.

AF=BF=-AB=2,

2

?/ZPQE=67.5°,

/.ZAQF=67.5°,

ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

NFAH=45。，

AH=FH=—AF=V2，

2

尸到/N的距離為J5；

故答案為：V2

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：基本作圖，三角形的內角和定理的應用，勾股定理的應用，等

腰三角形的判定，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質，逐步

操作.

5.（2024天津市）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點4￡G均在格點上.

⑵點E在水平網格線上，過點4瓦尸作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與尸

的延長線相交于點民中，點M在邊上，點N在邊48上，點尸在邊ZC上.請用無

刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點使的周長最短，并簡要說明點M,N,P

的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】①.V2②.圖見解析，說明見解析

【解析】【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質等知識，根據題意正確作圖是解題的關鍵.

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）根據圓的相關性質和網格特點進行作圖即可.

【詳解】（1）由勾股定理可知，/G=A/F+F=亞,

故答案為：V2

（2）如圖，根據題意，切點為M；連接腔并延長，與網格線相交于點〃!；取圓與網格線的交點

D和格點H,連接DH并延長,與網格線相交于點M2；連接，分別與AB,AC相交于點N,P,

則點M,N,P即為所求.

三、解答題

1.（2024福建省）如圖，已知直線/[〃心

,2

(1)在/],，2所在的平面內求作直線/，使得/〃/]〃，2，且/與4間的距離恰好等于/與z2間的距離；

(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若4與間的距離為2,點4SC分別在///上，且為等腰直角三

角形，求的面積.

【答案】(1)見解析；(2)的面積為1或*.

2

【解析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想：

(1)先作出與4的垂線，再作出夾在4,，2間垂線段的垂直平分線即可；

(2)分/B/C=90°,/B=/C；ZABC=90°,BA=BC；=90°,G4=CS三種情況，結

合三角形面積公式求解即可

【小問1詳解】

解：如圖，

X——

、/12

直線,就是所求作的直線.

【小問2詳解】

①當ABAC=90。,=/C時，

■：lH4〃，2,直線與4間的距離為2,且/與4間的距離等于/與間的距離，根據圖形的對稱性可

知：BC=2,

AB=AC=V2,

.-.SAABC=^AB-AC=1.

c

②當NABC=90°,BA=3C時,

分別過點4c作直線4的垂線，垂足為

AAMB=4BNC=90°.

???/〃4〃4，直線4與4間的距離為2，且/與4間的距離等于/與乙間的距離，

:.CN=2,AM=1.

ZMAB+ZABM=90°,ZNBC+AABM=90°,

:.ZMAB=ZNBC,:./\AMB^/\BNC,

:.BM=CN=2.

在中，由勾股定理得45?=2加2+8舊2,

AB=45■

綜上所述，AA8C的面積為1或9.

2

2.（2024廣西）如圖，在“BC中，N/=45°,AOBC.

（1）尺規作圖：作線段N5的垂直平分線/,分別交Z5,ZC于點。，E-.（要求：保留作圖痕跡,

不寫作法，標明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接BE,若48=8,求的長.

【答案】（1）見詳解（2）472

【解析】（1）分別以48為圓心，大于14B為半徑畫弧，分別交，ZC于點D及作直線QE,

2

則直線/即為所求.

（2）連接由線段垂直平分線的性質可得出BE=/￡,由等邊對等角可得出/￡"=//=45。，

由三角形內角和得出NBE4=90。，則得出A4BE為等腰直角三角形，再根據正弦的定義即可求出

BE的長.

【小問1詳解】

解：如下直線/即為所求.

【小問2詳解】

連接8E如下圖:

VDE為線段AB的垂直平分線,

BE=AE,

NEBA=ZA=45°,

，NBEA=90°,

為等腰直角三角形,

AB2

歷5

BE=AB--=Sx—=4s/2

22

【點睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質，等腰三角形的性質，三角

形內角和定理以及正弦的定義.掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵.

3.（2024陜西省）如圖，已知直線/和/外一點/,請用尺規作圖法，求作一個等腰直角,

使得頂點8和頂點C都在直線/上.（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不

寫作法）

A

【答案】見解析

【解析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規作圖.過點/作48_L/,垂足為8,再在直線/

上截取點C,使=連接/C,則是所求作的等腰直角三角形.

【詳解】等腰直角如圖所示：

4.（2024內蒙古赤峰）如圖，在中，。是48中點.

A.

\

BL----------xc

(1)求作：ZC的垂直平分線/(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)若/交/C于點￡,連接DE并延長至點尸，使EF=2DE,連接BE,CF.補全圖形，并證

明四邊形BCEE是平行四邊形.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】本題考查了尺規作圖，中位線的性質，平行四邊形的判定.

(1)利用尺規作圖作出線段/C的垂直平分線/即可；

(2)由。，E分別為AB,ZC的中點，根據中位線的性質，得到￡>￡〃BC,DE=-BC,結合

2

EF=2DE,得到斯=5C,即可證明結論成立.

【小問1詳解】

￡分別為48,ZC的中點，

DE//BC,DE=-BC,

2

?/EF=2DE,即：DE^-EF,

2

EF=BC,

EF//BC,

四邊形BCFE是平行四邊形.

5.（2024黑龍江綏化）已知：AABC.

（1）尺規作圖：畫出一BC的重心G.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

（2）在（1）的條件下，連接ZG,BG.已知A/BG的面積等于5cm2,則小的面積是.cm2.

【答案】（1）見解析（2）15

【解析】本題考查了三角形重心的性質，尺規畫垂線；

（1）分別作8cze的中線，交點即為所求；

S2

（2）根據三角形重心的性質可得《皿=不，根據三角形中線的性質可得S“BC=28“m=15cm2

口AABD

【小問1詳解】

解：如圖所示

作法：①作BC的垂直平分線交BC于點D

②作AC的垂直平分線交AC于點F

③連接40、相交于點G

④標出點G,點G即為所求

【小問2詳解】

解：:G是的重心,

AG=—AD

3

.S“BG_2

??c―弓

3dABDJ

"BG的面積等于5cm2，

,?S^ABD=7.5cm2

又???。是8c的中點,

,?S&ABC=2SAABD=15cm2

故答案為：15.

6.（2024甘肅臨夏）根據背景素材，探索解決問題.

平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形/8CDEE

背

六等分圓原理,也稱為圓周六等分問題,是一個古老而經典的幾何問題，

景

旨在解決如何使用直尺和圓規將一個圓分成六等份的問題.這個問題由

素

歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述.

材1h

已

知

點C與坐標原點。重合，點。在x軸的正半軸上且坐標為（2,0）

條

件

①分別以點C,。為圓心，3長為半徑作弧，兩弧交于點P；

操y>

作②以點尸為圓心，PC長為半徑作圓；

步③以CD的長為半徑，在。尸上順次截取法=前=方=前；

____________*______\

DX

驟④順次連接。E,EF,FA,AB,BC,得到正六邊形Z8CDE/L

問題解決

任

根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫

務

作法）

任

務將正六邊形/8CDE/繞點。順時針旋轉60°,直接寫出此時點E所在位置的坐標：______.

【答案】任務一：見解析；任務二：（4,0）

【解析】本題考查尺規作圖，弧、弦、圓心角的關系，旋轉的性質.利用數形結合的思想是解題關鍵.

任務一：根據操作步驟作出。尸，再根據弧、弦、圓心角的關系，分別作出

DE=EF=AF=AB=CD,即得出放=礪=方=藍，最后順次連接即可；

任務二：由旋轉的性質可知。￡'=0。=2,即得出。￡'=。￡'+。。=4,即此時點E所在位置的

坐標為（4,0）.

【詳解】解：任務一：如圖，正六邊形4BCDEE即為所作；

4

O(ol^~DX

任務二：如圖,

由旋轉可知￡>￡'=0。=2,

/.OE'=DE'+OD=4,

：.￡[4,0）.

故答案為：（4,0）.

7.（2024甘肅威武）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶

藝術精品，體現了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形

三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知。。和

圓上一點M.作法如下：

①以點M為圓心，長為半徑，作弧交。。于4,B兩點;

②延長X。交。。于點C；

即點4,B,C將。。的圓周三等分.

三點定位法三等分圓周

圖1圖2

(1)請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將。。的圓周三等分(保留作圖痕跡，

不寫作法)；

(2)根據(1)畫出的圖形，連接AC,BC,若。。的半徑為2cm,則的周長為

_____cm.

【答案】(1)見解析(2)6A/3

【解析】【分析】(1)根據尺規作圖的基本步驟解答即可；

(2)連接4W,設工用的交點為。，得到根據。。的半徑為2cm,"C是直徑,

是等邊三角形，計算即可.

本題考查了尺規作圖，圓的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握尺規作圖的方法和圓的性質是解題的

關鍵.

【小問1詳解】

根據基本作圖的步驟，作圖如下：

則點/,B,C是求作的。。的圓周三等分點.

【小問2詳解】

連接設/民0M的交點為。，

根據垂徑定理得到ADL0M,

的半徑為2cm,是直徑，-8。是等邊三角形,

/.ACAM=90°,ACMA=Z5=60°,MC=4cm,

/.AC=MCsinZCMA=sin60°x4=2^3(cm),

/./BC的周長為AB+3C+ZC=6V^(cm),

故答案為：6-\/3-

A

w

8.（2024河南省）如圖，在RtZk/BC中，3是斜邊N2上的中線，BE//。。交/C的延長線

于點￡

（1）請用無刻度的直尺和圓規作NECM,使NECM=NZ,且射線CM交BE于點/（保留作圖

痕跡，不寫作法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形CD8E是菱形

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】【分析】本題考查了尺規作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關

鍵是：

（1）根據作一個角等于已知角的方法作圖即可；

（2）先證明四邊形CDAF是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質得出

CD=BD=-AB,最后根據菱形的判定即可得證.

2

【小問1詳解】

解：如圖，

【小問2詳解】

證明：?:NECM=NA,

CM//AB,

■：BE//DC,

，四邊形CDBF是平行四邊形，

?.?在RtZ\45C中，3是斜邊N5上的中線,

/.CD=BD=-AB,

2

，平行四邊形CDAF是菱形.

9.（2024武漢市）如圖是由小正方形組成的3x4網格，每個小正方形的頂點叫做格點.AABC三個

頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條.

（1）在圖（1）中，畫射線交于點。，使平分的面積；

（2）在（1）的基礎上，在射線4D上畫點￡,使NECB=NACB；

（3）在圖（2）中，先畫點尸，使點/繞點廠順時針旋轉90°到點C,再畫射線/尸交于點G；

（4）在（3）的基礎上，將線段48繞點G旋轉180°,畫對應線段W（點/與點M對應，點8

與點N對應）.

【答案】（1）作圖見解析

（2）作圖見解析（3）作圖見解析

（4）作圖見解析

【解析】【分析】本題考查了網格作圖.熟練掌握全等三角形性質，平行四邊形性質，等腰三角形性

質，等腰直角三角形性質，是解題的關鍵.

（1）作矩形83/C,對角線印交5C于點。，做射線即可；

（2）作OP〃BC,射線ZRLO尸于點。，連接CQ交4D于點E,即可;

（3）在ZC下方取點凡使4F=CE=?，尸是等腰直角三角形，連接C戶，AF，AF

交5C于點G,即可；

（4）作。尸〃BC,交ZG于點作ST〃ZG,交5c于點N,連接MN,即可.

【小問1詳解】

如圖，作線段印，使四邊形是矩形，HI交BC于點、D,做射線Z。，點。即為所求作；

【小問2詳解】

如圖，作。尸〃8C,作產于點Q,連接交/。于點￡,點E即為作求作;

【小問3詳解】

如圖，在/C下方取點R慢AF=CF=出，連接。尸，連接并延長4F，AF交BC于點、G,

點、F,G即為所求作；

【小問4詳解】

如圖，作OP〃BC,交射線/G于點作ST〃/G,交.BC于點、N,連接MN,線段跖V即為

所求作.

10.（2024吉林省）小明在學習時發現四邊形面積與對角線存在關聯，下面是他的研究過程:

【探究論證】

(1)如圖①，在中，4B=BC,BDA.AC,垂足為點D若CD=2,BD=1,則

S^ABC=

(2)如圖②，在菱形A'B'C'D'中，A'C=4,B'D'=2,則S菱形.

(3)如圖③，在四邊形EEG玄中，EGLFH,垂足為點。若￡G=5,FH=3,則

S四邊形EFGH=；若EG=a,FH=b,猜想S四邊形已網口與。，方的關系，并證明你的猜想.

【理解運用】

(4)如圖④，在￡\MNK中,MN=3,KN=4,MK=5,點、P為邊MN上一點、.

小明利用直尺和圓規分四步作圖：

(i)以點K為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊KN,KM于點、R,I；

(ii)以點P為圓心，KR長為半徑畫弧，交線段W于點/'；

(iii)以點/'為圓心，笈長為半徑畫弧，交前一條弧于點R,點R,K在跖V同側；

(iv)過點尸畫射線PR,在射線PR上截取尸。=KN,連接KP,KQ,MQ.

請你直接與出S四邊物勿儂的值.

【答案】⑴2,(2)4,(3)y,S四邊形EFGH,證明見詳解，⑷10

【解析】【分析】(1)根據三角形的面積公式計算即可；

(2)根據菱形的面積公式計算即可；

=

(3)結合圖形有，S四邊形骸G”S4EFG+S^EHG，

即可得S四切花=-xEGxF(9+-xEGx/f<9=-xEGx(EO+8。)，問題隨之得解；

(4)先證明△兒WK是直角三角形，由作圖可知：NMKN=/MPQ,即可證明再結

合(3)的結論直接計算即可.

【詳解】(1):在中，AB=BC,BDVAC,CD=2,

AD=CD=2,

AC-4,

S\ABC=gxZCxBD=2,

故答案為：2；

（2）???在菱形中,HC'=4,B'D'=2,

??S菱形=—^B'D'xA,C,-4,

故答案為：4；

9

（3）：EGlFHf

,e,=5xEGxFO,$AEHG=3XEGxHO,

,S四邊形MG4=S&EFG+S&EHG，

???s四邊形EFGH=-X￡GXFO+-XEGXHO=-xEGx（FO+HO）,

222

，S四邊形EFGH=gxEGx（FO+HO）=gxEGxFH,

EG=5,FH=3,

,?S四邊形EFG”=—XEGXFH=—,

故答案為：一，

2

猜想：S四邊形EFGH=5帥,

證明：VEGLFH,

?'e=萬xEGxFO,S^EHG=QXEGXHO,

,S四邊形EFG"=S&EFG+S&EHG，

???S四邊形=-XEGXFO-^-XEGXHO=-XEGX（FO+HO）,

222

,?S四邊形EFGH=5xEGx（F0+HO）=—xEGxFH,

,:EG=a,FH=b,

??S四邊形EFGH=5ab；

（4）根據尺規作圖可知：AQPM=AMKN,

,:在小MNK中,MN=3,3=4,MK=5,

???MK2=KN2+MN2>

是直角三角形，且NMVK=90°,

ANMK+NMKN=90°,

ZQPM=ZMKN,

/NMK+NQPM=90。,

MKA.PQ,

?：PQ=KN=4,MK=5,

...根據（3）的結論有：S四邊形WK。=gxMTxP0=lO.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，菱形的性質，作一個角等于己知角的尺規作圖，勾股定理的

逆定理等知識，難度不大，掌握作一個角等于已知角的尺規作圖方法，是解答本題的關鍵.

11.（2024江蘇揚州）如圖，已知NPZ。及4?邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規在射線Z0上求作點。，使得NCO0=2NCZ。；（保留作圖痕跡，不

寫作法）

（2）在（1）的條件下，以點。為圓心，以。4為半徑的圓交射線2。于點B,用無刻度直尺和圓規

在射線B上求作點使點m到點。的距離與點M到射線2。的距離相等；（保留作圖痕跡，不

寫作法）

3

（3）在（1）、（2）的條件下，若sinN=1,CM=12,求5v的長.

【答案】⑴作圖見詳解（2）作圖見詳解⑶BM=645

【解析】【分析】（1）根據尺規作角等于己知角的方法即可求解；

（2）根據尺規作圓，作垂線的方法即可求解；

（3）根據作圖可得M少，Z。，CM=WM=\2,A8是直徑，結合銳角三角函數的定義可得

的值，根據勾股定理可求出ZC的值，在直角中運用勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示，

Q

：.ZCOQ=2ZCAQ-

點o即為所求

【小問2詳解】

解：如圖所示，

連接以點8為圓心，以為半徑畫弧交幺。于點4，以點4為圓心，以任意長為半徑畫弧

交/。于點G，2,分別以點G，烏為圓心，以大于;G2為半徑畫弧，交于點片，連接4片并

延長交幺尸于點M,

AB是直徑，

ZACB=90°,即

根據作圖可得用G=用。1，片，

MB^lAQ,即/MB/=90。，"用是點M到的距離，

BC=BB：

：.RtABCM名RtABB[M(HL),

/.CM=BXM,

點M即為所求點的位置;

【小問3詳解】

解：如圖所示，

根據作圖可得，ZCOQ=2ZCAQ,MC=MW=U,MWLAQ,連接5C,

WM3

...在中，sinZ=----=-

AM5

…5WM5x12”

AM=-----=-----=20,

33

AC=AM-CM=2Q-12=S,

?/AB是直徑,

ZACB=90°,

，疝

AB5

設BC=3x,則Z5=5x,

...在尺以48。中,（5x『=（3x『+82,

解得，x=2（負值舍去），

BC=3x=6,

在Rt^BCM中，BM=VCM2+SC2=7122+62=6石?

【點睛】本題主要考查尺規作角等于已知角，尺規作垂線，勾股定理，銳角三角函數的定義等知識的

綜合，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵.

12.（2024江西省）如圖,AC為菱形ABCD的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖

（保留作圖痕跡）

（2）如圖2,點E為線段48的中點，過點3作/C的平行線.

【答案】（1）作圖見解析;（2）作圖見解析.

【解析】【分析】（1）作直線8