2024年中考數學平面直角坐標系常考易錯解答題專項訓練

1.如圖，在9*9的網格中建立如圖的平面直角標系，點A(-3,0),點3(-1,5).僅用無刻度的直尺在

給定網格中按下列步驟完成畫圖.

⑴在x軸的正半軸上找一點Q,使NA8Q=45°(保留畫圖過程的痕跡)；

(2)己知C(L2),利用無刻度直尺作的高CH(保留畫圖過程的痕跡)

⑶求高的值.

2.如圖1,在平面直角坐標系中，點A,點8的坐標分別為(。,0),(0,6),其中b滿足：2+==一2,

ab

(2)如圖2,C是A3的中點，〃為x軸正半軸上一點，N為OB上一點，若BN+OM=MN.求ZNCM

的度數；

（3）如圖3,作NA5O的角平分線，再分別過點A,。作這條角平分線的垂線，垂足分別為D,尸，試

寫出B。，AD與。尸之間的數量關系，并證明.

3.在平面直角坐標系中，AABC的頂點坐標A（-l,5）,B（-3,l）,C（-4,3）.

⑴在圖中作出AABC關于y軸對稱的圖形瓦G，并寫出點A1、4、G的坐標;

（2）求AABC的面積.

3m+n=2

4.如圖，在平面直角坐標系中，點4（0,機），8（”,0）,C（加,0）,其中機、"滿足二元一次方程組

m—2n=10

⑴求點B和點C的坐標;

⑵點尸從點E(0,-3)出發，沿y軸正方向運動，連接CP,設的長度為3ACOP的面積為S,求S

與f的關系式，并直接寫出/的取值范圍；

⑶在(2)的條件下，AD是44BC的中線，點尸從點E出發的同時，點。從點B出發沿x軸正方向

運動，速度是點P速度的三倍，連接P。，若以點尸、0、。為頂點的三角形與△AOD全等，求此時

點Q的坐標.

5.如圖，平面直角坐標系中，己知點4-3,3),2(-5/)，C(-2,0),P(。,力是AABC的邊AC上任意

一點，△45。經過平移后得到44片6，點/＞的對應點為4(°+6,6-2).

（1）在圖中畫出△aqG.

⑵連接AA，AO,4。，求AAOA的面積.

⑶連接BA，若點。在y軸上，且三角形Q8A的面積為8,請直接寫出點。的坐標.

6.已知，在平面直角坐標系中，軸于點5,4（（22）滿足&-6+弧-4|=0,平移線段AB使

⑵如圖1,P（x,y）是線段上一點（不與端點重合），試猜想一的值，并說明理由;

（3）如圖2,點E是。8一動點，以。8為邊作N3OG=NAQ5交BC于點G,連CE交0G于點、F,當

點E在。8上運動時，“2的值是否發生變化?若變化，請說明理由；若不變，請求出其

值.

7.如圖，圖形中每一小格正方形的邊長為1,已知AABC.

(1)AC的長等于AABC的面積等于_；

⑵將AABC向右平移2個單位得到AABC,則A點的對應點A的坐標是」

(3)將"RC繞點C按逆時針方向旋轉90。后得到瓦G，則B點對應點名的坐標是

8.如圖，在平面直角坐標系中,已知三點分別是A(0,5),5(-5,3),C(-3,l).

⑴試在圖中作出AABC關于X軸對稱的△A耳a,并寫出點用坐標;

（2）在圖中作出點P,使E5+PC的值最小，且點P在y軸上.

⑶已知點。（-2a-l,3a+l）,且直線8。〃y軸，求。點的坐標.

9.平面直角坐標系中，。為原點,點4（0,2）,3（-2,。）,C（4,0）.

（1）如圖①，則三角形ABC的面積為；

⑵如圖②，將點8向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到對應點D求AACD的面

積.

10.在平面直角坐標系中，對于A（"X）、B（X2,%）兩點，用以下方式定義兩點間的“極大距離”

d（AB）；若后—當以％—%|，則"（A3）=,_引;若/一刃＜|弘一為|，則d（A

3-----1P

I

I

I

I

I

I

O2X

例如：如圖，點尸（2,3）,則d（尸,0）=3.

⑴若點A（3,2）、B（-L-l）,則d（AB）=_；

⑵點C（-1,2）到坐標原點0的“極大距離”是二

⑶已知點d（M,0）=2,0為坐標原點，求a的值.

11.如圖，在平面直角坐標系中，點A8的坐標分別為（。,0）,修,0）,且。,6滿足|“+1|+癡三=0.同

時將點分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到點A3的對應點C。，連

接AC,BD,CD.

（1）求點的坐標及四邊形ABDC的面積;

（2）在坐標軸上是否存在一點。，連接QAQC,使S二角形gc=S四邊形若存在，求出點。的坐標;

若不存在，試說明理由；

（3）P是線段CD上的一個動點，連接PAP3,當點P在CZ）上移動時（不與點CD重合），給出下列

結論：①"AP：?BP的值不變;②必多髯竺^的值不變.其中有且只有一個結論是正確的，

ZAPBZDBP

請你找出這個結論并求其值.

12.如圖，在直角坐標系中，長方形紙片45口)的邊48〃。。，點8坐標為(18,6),若把圖形按如圖

所示折疊，使8、。兩點重合，折痕為EF.

(2)求EF的函數表達式;

(3)求折痕EF的長.

13.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(0,2),"LOB為等邊三角形，B在第一象限，點P

坐標為(a,0),機＜0,以AP為邊作等邊△AP。(A,P,。按逆時針順序排列)，作直線BQ,交y

軸與點M.

(1)求的長(用含根的代數式表示)；

(2)在點P的運動過程中，點"的位置是否會發生變化？若不變，請求出點M的坐標；若變化，請

說明理由；

(3)隨著點P的運動，。點也在相應運動，則在運動過程中。。的最小值為一.

14.如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，AABC的邊在尤軸上，A、B、C三點的坐標

分別為A(0,5),B(-12,0),C(10,0),一動點尸從點5出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線30勻

速運動，設點尸運動時間為f秒.

(I)AABC的面積=；

(2)若點P恰好線段AB的垂直平分線上，求此時，的值；

(3)當點尸在線段80上運動時，在>軸的正半軸上是否存在點Q,使△尸。。與AAOC全等？若存在,

請求出［的值并求出此時點。的坐標：若不存在，請說明理由；

(4)連結上4,若為等腰三角形，請直接寫出點尸的坐標.

15.在平面直角坐標系xQy中，直線/為一、三象限角平分線.點P關于>軸的對稱點稱為P的一次

反射點，記作用；《關于直線/的對稱點稱為點尸的二次反射點，記作《.例如，點（-2,5）的一次反

射點為（2,5）,二次反射點為（5,2）.根據定義，回答下列問題：

⑴點（3,4）的一次反射點為，二次反射點為:

⑵當點A在第三象限時，點N（3,-l）,Q（-l,-5）中可以是點A的二次反射點的是；

⑶若點A在第二象限，點A，4分別是點A的一次、二次反射點，/4。4=50。，求射線與x軸

所夾銳角的度數.

16.如圖，在平面直角坐標系中,已知AASO是等邊三角形，邊8。上有一點E（m,0）,且8、￡兩點

之間的距離為5.

（1）求B的坐標（用含有加的式子表示）；

（2）如圖（1）,若點尸在線段AB上運動，點P在＞軸的正半軸上運動，當PE+PF的值最小時,BF=6,

請求出此時小的值.

⑶如圖（2）,過點E作即，于點。，C是（M延長線上一點，BE=AC,連接CE交48于點M.

DM…+

①求的值；

AB

②若AC=AM,SABDE=?~,求SAMOE-

參考答案:

1.(1)見解析

(2)見解析

(3)CH=^^.

29

【分析】本題考查的是等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理.

(1)利用網格的特點畫且AK=AB,再連接KB,與x軸交于點。，則利用等腰直角三

角形的性質可得乙鋁。=45。，從而可得答案；

(2)利用網格的特點取格點。，連接。交A3于點從而可得答案；

(3)先利用割補法求得AABC的面積，利用勾股定理求得的長，再利用等積法即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，點。即為所求作的點，滿足NA3Q=45。，

(3)解：S=4x5--x2x4--x2x3--x2x5=8,

hABRC222

AB=^22+52=y[29，

SA.Br=-xABxCH=~s/29-CH=8,

z\ADC22'

???加哮

29

2.是等腰直角三角形，理由見解析

(2)45°

(3)BD=AD+2OP,證明見解析

【分析】⑴根據=0得到b一3=0,貝肥=3,再由2+：=-2推出（“+3）2=0,則”=一3,由

b+3ab\'

此得到A（-3,0）,3（0,3）,則。4=03,再由NAOB=90。，即可得到AABO是等腰直角三角形；

（2）如圖所示，在。1上取一點H,是的Oa=3N,連接OC,HC,由等腰直角三角形的性質得到

OC=BC,NCBN=NCOH=45。,OCLBC,由此可證明△CBNg/XC。//,得到

CH=CN,NOCH=/BCN,進而可證明NNC”=NOCH+NOGV=90。，再證明

△MCHRMCN（SSS）,即可得到ZMCN=NMCH=|ZNCH=45°；

（3）如圖所示，過點。作OT,AD交AD延長線于T,設BD,交于G,則

ZADB=ZT=ZOPB=ZAOB=90°,證明AOAT絲AOBP（AAS）,得到AT=BP,OT=OP,再證明

OP=DT（平行線間間距相等），同理可得PZ）=OT,則PD=PT=OT=OT,根據=

即可推出3D=AD+20P.

【詳解】（1）解：AMO是等腰直角三角形，理由如下：

.0+3)0-3)

,一U,

b+3

*.b-3=0(b+3=0時分式無意義)，

\b=3,

/+9=—6a,

a?+6a+9=0,

（4+3）2=0,

a=—3,

經檢驗，。=-3是原方程的解,

A（-3,0）,5（0,3）,

OA=OB,

又；NAOB=90°,

.??△ABO是等腰直角三角形；

(2)解：如圖所示，在。4上取一點反，是的OH=BN,連接OC,HC,

???△ABO是等腰直角三角形，C是的中點，

AOC=BC,ZCBN=ZCOH=45°,OCLBC,

^CBN^COH(SAS),

/.CH=CN,ZOCH=ZBCN,

：.ZNCH=ZOCH+ZOCN=ZBCN+ZOCN=ZOCB-90°,

?/BN+OM=MN,

：.OH+OM=MN,即=

又,：CM=CM,

：.AMCH0AMeN(SSS),

：.ZMCN=ZMCH=L/NCH=45°；

2

圖2

(3)解：BD=AD+2OP,證明如下：

如圖所示，過點。作OTLAD交AD延長線于T,設3D交于G,

■:ADLBD,OPLBD,OTVAD

：./ADB=ZT=ZOPB=ZAOB=90°,

ZAGD=ZBGO,

，ZOBP=ZOAT,

又；OA=OB,

：.△OATZAOBP(AAS),

:.AT=BP,OT=OP,

'：BD±AD,OT.LAD,

：.OT//PD,

：.OP=DT（平行線間間距相等），

同理可得/>￡>=OT,

，PD=PT=DT=OT,

?/BD=BP+DP,

：.BD=AT+OP=AD+DT+OP=AD+2OP.

圖3

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，等腰直角三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判斷，平

行線的性質與判定，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

3.(1)見解析，A(L5)、4(3,1)、G(4,3)

(2)4

【分析】本題考查了作軸對稱圖形，平面直角坐標系，割補法求面積;

(1)根據軸對稱的性質找出點A、B、C的對應點A、瓦、G的位置，順次連接即可，然后根據所作

圖形可得點A、4、G的坐標；

(2)利用割補法計算即可.

【詳解】(1)解：4G如圖所示，由圖得：4(1,5)、4(3,1)、G(4,3)；

4.(l)B(-4,0),C(2,0)

Q-tl3V

Q)s=

t—3?13

⑶(2,0)或(—1,0)

【分析】本題考查解二元一次方程組，動點函數問題，全等三角形的判定：

(1)解二元一次方程組，求出相和”的值即可；

(2)分當尸在EO上，在y軸正半軸上兩種情況，利用三角形面積公式分別求解；

(3)ZQOP=ZAOD=90°,若以點P、O、。為頂點的三角形與△AOD全等，則DQ=OA、OP=OD

或OQ=OD、OP=OA,列出關于f的等式，求出f值，即可求得點。的坐標.

【詳解】(1)解：〃=②

①x2+②，得7m=14,

解得m=2,

將機=2代入①得：3x2+〃=2,

解得〃=—4,

???A(0,2),3(-4,0),C(2,0)；

(2)解：當尸在EO上，即”3時：

S=1oPOC=1(3-r)x2=3-G

當尸在y軸正半軸,即，＞3時：

5=l(9POC=1(r-3)x2=r-3,

當1=3時，ACOP不存在.

[Q-tl

綜上所述：5=

—3LL)

(3)解：的速度為P的3倍，

/.BQ=3t,

ZQOP=ZAOD=90°,

：.NQOP與N4C?為對應角，

只要DQ=OA、OP=OD或OQ=。。、OP=OA,則△PO。與△AOD全等，

?/AD為44BC中線，

/.BD=-BC=3,

2

OD=OB-BD=1,

@OQ=OA,OP=OD

|4—3?|=2,13—|=1,

當t=2時，同時滿足，

T+3t=2,

???Q(2,0)；

@OQ=OD,OP=OA

|4—3?|=1,|3—/|=2

當t=l時，同時滿足，

T+3f=T,

2(-1,o),

綜上可知，點。的坐標為(2,0)或(-1,0).

5.(1)見解析

(2)AAOA的面積為6；

⑶。點的坐標為。-1)或(0,3).

【分析】本題考查了作圖-平移變換.

(1)利用P點和片的坐標特征得到平移的方向與距離，然后利用此平移規律寫出點A,用，q的坐

標；利用點4，耳，G的坐標描點連線即可；

(2)用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算AAOA的面積；

(3)設。(0,。，利用三角形面積公式得到gx8x『-l|=8,然后解方程求出f得到。點的坐標.

【詳解】(1)解：：尸(。涉)平移后對應點為6(。+6/-2),

，4(3,1),瓦(1,一1),Cx(4,-2)；

如圖，△44G為所作;

=18-12,

=6；

(3)解:設。(。,力,

A(3,D,

=3—(—5)=8,

???三角形"A的面積為8,

—x8x—1|=8,

解得/=-1或/=3,

點的坐標為(0,-1)或(0,3).

6.(1)6；4；(0,-4)

九3

(2)-=-,理由見解析

y2

小、/OFC+ZFCG,,/土/上、1人TB上l左力工廠

(3)----————的值不變，值為2.理由見解析

AOEC

【分析】(1)根據非負數的性質可得。，b的值，再根據AB=OC,且。在y軸負半軸上，可得。

的坐標;

(2)過點尸分別作PM_Lx軸于點M,PN1AB于點、N,連接踮，根據凡加=川加+久何，即可

求解；

(3)由BC/OA,證明結合已知條件可得NAQB=NO3C,再利用三角形的外角的性質證明

ZOGC=2ZOBC,ZOFC=ZFCG+ZOGC,得至“NOFC+/FCG=2/OEC,從而可得結論.

【詳解】(1)解:,**\lct-6+1/?—4|=0,

a—6=0,b—4=0,

解得：a=6,b=4,

AB=4,OB=6,

由平移得：OC=4f且C在y軸負半軸上，

???點。的坐標為(O,T)；

故答案為：6；4；(0,-4)；

X3

(2)解：-=理由如下：

y2

如圖，過點P分別作無軸于點M,PNLAB于點、N,連接3P,

:ABIx軸，尸（x,y）,A（6,4）,

/.PM=y,PN=6-x,AB=4,OB=6,

S.?=S+S=—OBxPM+~ABxPN=—x6y+—x4（6-x）=—x6x4,

△nCZ/ADiJnJPrRo^ArD???.?\2

3y=2x,

/OFC+NFCG

(3)解:的值不變，值為2.理由如下:

ZOEC

??,線段OC是由線段A3平移得到,

：.OA//BC,

ZAOB=ZOBC,

又：ZBOG=ZAOB,

:.ZBOG=ZOBC,

根據三角形外角性質，PT^ZOGC=2ZOBC,ZOFC=ZFCG+ZOGC,/OEC=/FCG+/OBC,

???/OFC+/FCG=2/FCG+2/OBC=2(/FCG+/OBC)=2/OEC,

.ZOFC+ZFCG2Z0EC。

??-------------------=----------=2；

ZOECZOEC

所以----———的值不變，值為2.

ZOEC

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了非負數的性質，坐標與圖形，平行線的性質以及平移

的性質，三角形的外角的性質，解決問題的關鍵是作輔助線，運用面積法，角的和差關系以及平行線

的性質進行求解.

7

7.⑴M，5

⑵。，2)

⑶(-2T)

【分析】本題考查了坐標系中勾股定理計算線段長，圖形的面積，平移作圖，旋轉作圖，熟練掌握勾

股定理，旋轉，平移的性質是解題的關鍵.

(1)先確定各點的坐標，利用勾股定理，圖形分割法計算求解即可.

(2)先確定各點的坐標，利用右加原則，計算求解即可.

(3)先確定各點的坐標，利用旋轉的全等性，計算求解即可.

【詳解】(1)如圖，根據題意，得：

4(-1,2),5(-3,1),C(O,-1),

,,AC=Jl2+3?=^0；

1117

：.S=3x3——xlx3——xlx2——x2x3=-,

-AABRCr2222

7

故答案為：\/l0,—■

(2)VA(-l,2),

/.AABC向右平移2個單位得到AAB'C,此時A'(-1+2,2)即A'(1,2),

故答案為：(1,2).

(3)根據旋轉方向，旋轉的性質，得用(-2,-4),

故答案為：

8.⑴4(-5,-3),見解析

⑵見解析

(3)0(-5,7)

【分析】本題考查了坐標的對稱及其作圖，線段和最小值的作圖，平行坐標軸的點的坐標計算,

(1)根據橫不變，縱坐標相反，確定對稱點，后依次連接即可.

(2)作出點8關于y軸的對稱點連接CM,交y軸于點P,點P即為所求.

(3)根據直線比)〃、軸，得到-2a-1=-5,計算即可.

【詳解】(1)???4(0,5),5(-5,3),C(-3,l).

.??A(0,-5),4(-5,—3),Cj-3,-1).

畫圖如下:

則△44。即為所求,且瓦(一5,-3).

(2)???4(0,5),3(—5,3),C(-3,l).

???點8關于y軸的對稱點M(5,3),

連接CM,交y軸于點P,

(3)VD(-2a-l,3a+l),3(-5,3),直線班)〃孚軸,

??—2a—1=-5,

解得0=2.

故點。(—5,7).

9.(1)6；

(2)9

【分析】本題考查了坐標與圖形、點的平移等知識，掌握運用數形結合的思想分析解決問題是解題關

鍵.

(1)根據題意得出。4=2,OB=2,OC=4,然后根據三角形面積公式直接計算即可；

(2)由平移的性質可得點D坐標；①連接OD,過點。作上>軸于點E,過點。作用軸于

點尸，根據^△ACD=SQAD+SQCD-SQAC進行計算即可得到答案；②根據APAO的面積等于△60的面

積，求解即可.

【詳解】⑴解：為原點,點4(0,2),5(-2,0),C(4,0).

AOA=2,03=2,OC=4,

:.BC=OB+OC=6,

/.S=-BCOA=-x6x2=6.

△/AIRDCr22

故答案為：6；

(2)解：:?將點2向右平移7個單位長度，再向上平移4個單位長度，B(-2,0),

得到對應點。坐標為(5,4),

連接0D,過點。作OEly軸于點E,過點。作。尸，x軸于點廠，

ADE=5,DF=4,

,?S^ACD=^^OAD+SQCD-SQAC

=-OADE+-OCDF+-OAOC

222

=—x2x5+—x4x4——x2x4

222

=9；

10.(1)4；

(2)2；

4、4

⑶§或一§.

【分析】本題考查了新定義的應用以及平面直角坐標系，圖形與坐標：

(1)根據“極大距離”的定義進行列式作答即可；

(2)原點。坐標為(0,0),再結合“極大距離”的定義進行列式作答即可；

(3)結合“極大距離”的定義，且點d(M,0)=2,注意進行分類討論，即可列式作答;

正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：依題意：根據“極大距離”的定義，

貝中=|2-（-1）|=3,且4>3,

d（A3）=4；

（2）解：:?原點。坐標為（0,0）,C（-L2）,

|0-（-1）|=1,|0-2|=2,且］<2

.?.點C(T,2)到坐標原點O的“極大距離”是2；

(3)解：丁點加1］。，［〃

,。為坐標原點,

1八1=；向，33

...-a_0=-a-a-0=——a

2222=/4

|a|>0,

31

則/同>2時'

2

Vd（M,0）=2,

=2,

:.—21\a\1

,4

解得〃=±§，

11.（l）C（0,2）,D（4,2）,S四邊形A5DC=8

⑵存在，(7,0)或(—9,0)

十用ZCAP+ZDBP]

⑶①正確，ZAPB=1

【詳角軍】(I)+〃-3=0,

a=—l,b=3.

.?.點A(—1,0),點5(3,0).

根據平移規律可得。(0,2),。(4,2),

?*-S四邊形Moe=ABxOC=4x2=8.

(2)坐標軸上存在點。滿足S三角形以。=S四邊形ABDC.

當點。在％軸上時,S三角形四=S四邊形ABDC，

.-.1A2-OC=8.

OC=2,AQ=8.

■點。的坐標為（7,0）或（-9,0）；

當點。在y軸上時，1??S三角形QAC=S四邊形A8OC，

:.^CQOA=S.

?.?。4=-=16.

.??點。的坐標為（。,18）或（0,-14）.

綜上，點。的坐標為（7,0）或（-9,0）或（0,18）或（0,-14）.

（3）如圖，點P在線段8上（不與點C,。重合），作尸M||AC交A3于點

???PM//AC,...ZAPM=ZCAP.

-.-AC//BD,.\PM//BD.

:.ZBPM=ZDBP.

ZAPB=ZAPM+NBPM=NCAP+/DBP.

ZCAP+ZDBP?

--------------------=1.

NAPB

①正確.

12.⑴見解析

(2)y——3x+30

(3)2710

【分析】（1）根據平行線的性質和折疊的性質求出/OE尸=NO莊，得到OE=O/即可；

（2）在Rt^OAE中，利用勾股定理求出AE,進而得到OE,可得點E、尸的坐標，然后利用待定系

數法求斯的函數解析式即可；

（3）利用兩點間距離公式求解即可.

【詳解】（1）證明：；AB〃CO,

ZBEF=ZOFE,

由折疊得：NBEF=NOEF,

：.NOEF=NOFE,

：.OE=OF,即ADEF為等腰三角形；

(2)解：?；3(18,6),

AOC=AB=18,OA=3C=6,

由折疊得：OE=BE=18—AE,

在Rt/XOAE中，OA2+AE2=OE2,IP62+AE2=(18-AE)2,

解得:AE=8,

E(8,6),OE=18-A￡=10,

OF=OE^10,

AF(10,0),

設直線E尸的函數表達式為y=^+6(%w0),

代入即6)、尸(1。，。)得：［叫…，

解得：［：=/

，直線E尸的函數表達式為y=-3x+30；

(3)VE(8,6),尸(10,0),

；?EF=^/(8-10)2+62=2回.

【點睛】本題考查了折疊的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系數法的應用，

坐標與圖形性質，熟練掌握折疊的性質，求出點反廠的坐標是解題的關鍵.

13.(1)2。=一〃八

⑵點"的位置不變，點M的坐標為(0,-2)；

(3)。2的最小值為1.

【分析】(1)根據等邊三角形的性質可得AP=A。，AO=AB,ZPAQ=ZOAB=60°,從而證出

ZPAO=ZQAB,然后利用SAS證出△AP。之△A0B,得出8。=42=一%；

(2)由△APO四△AQB,得出NABQ=NAOP=90。，再根據直角三角形的性質即可求解；

(3)先判斷出。點在直線上，當時，。。有最小值，再根據直角三角形的性質即可求

解.

【詳解】⑴解：,??△APQ/AC出均為等邊三角形,

AAP=AQ,AO=ABfZPAQ=ZOAB=60°.

：.ZPAO=ZQAB.

AP=AQ

在△APO與4406中，＜ZPAO=ZQABf

AO=AB

：.△”（?也△AQ5（SAS）,

BQ=OP=—m-

（2）解：點M的位置不會發生變化，

,/涇△AQ3,

ZABQ=ZAOP=90°,

???點A的坐標是（0,2）,為等邊三角形，

AO=AB=2,ZMAB=60°,

，AM=2AB=4,

OM=AM-OA=2,

.??點M的坐標為（0,-2）；

（3）解：由（1）（2）知AAPC監△AQB,點M的位置不變，且點M的坐標為（0,-2）；

???Q點在直線8M上，

.?.當OQL3M時，OQ有最小值，

AZAMB=30°,OQ=；OM=1

即OQ的最小值為1.

【點睛】此題考查的是等邊三角形的性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定及性質和坐標與圖

形的性質，掌握等邊三角形的性質、30。所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理和全等三角形的判定

及性質是解決此題的關鍵.

14.(1)55；

小、169

(2)t=----；

48

(3)y1,點。坐標為(0,5)或(0,-5)或t=點。坐標為(0,10)或(0,-10)；

(4)P(12,0)或［-詈,0］或(1,0).

【分析】(1)先求出BC的長，再利用面積公式求面積即可；

(2)根據垂直平分線性質和勾股定理求出族的長，從而求得尸點運動時間廣

(3)根據全等三角形的對應邊相等關系分為情況，求出點的坐標即可；

(4)由勾股定理得45=13根據上4=依、PA=AB,PB=AB三種情況分別求解即可，

本題考查了等腰三角形，全等三角形的性質和判定，三角形的面積，坐標與圖形性質等知識點的綜合

運用，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用，正確求出符合條件的所有情況.

【詳解】⑴VA(0,5),5(-12,0),C(10,0),

：.OA=5,2C=22,

，AABC的面積為LBCO4=LX22X5=55,

22

故答案為：55；

(2)如圖,

,/點P恰好線段AB的垂直平分線上,

，BP=AP,

T^BP=AP^X,貝!|OP=12—X,

在RtAAOP中，由勾股定理得：。產+%2=4產，

即(12-好+52=/,解得：了=詈

」(s169

??此u時，=12-五

(3)①當△QOP也△AOC時，OP=OC=W,

ABP=OB-OP=12-10=2fOQ=OA=5f

???此時f=l,點。坐標為(0,5)或(0,-5)；

②當△尸。。四△AOC時，OP=ft4=5,

:.BP=OB—OP=12—5=5,OQ=OA=5,

二此時『=點Q坐標為(0,1。)或(0,-10)；

綜上可知：r=l,點。坐標為(0,5)或(0,-5)或r=g,點。坐標為(0,10)或(0,-10)；

(4)如圖，

在Rt^AOB中，由勾股定理得鉆=后石每=斤后=13,

當AJJ=A5時，止匕時4(12,0)；

當46=8鳥時，由(2)得：鳥［一詈，°)

當時，此時與(1,0)；

綜上可知:尸。2,0)或卜署,0)或(1,0).

15.(1)(—3,4),(4,—3)

⑵四(-4,1)

(3)20。或