北師大版（2024）數學七下第二章相交線與平行線單元測試C卷

一'選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）（共8題；共24分）

1.（3分）將一把直尺的一部分和一塊三角板按如圖所示方式擺放，若N1比N2小20。，則N1的度

數為（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

2.（3分）平面內10條直線把平面分成的部分個數最多是（）

A.46B.55C.56D.67

3.（3分）已知/a與滿足2Na+3zS=180。H0。,乙￡。0。），，下列式子表示的角：

①90。-/（3；②30。+|皿③Za+&6；④2za+4中，是4的余角的是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

4.（3分）如圖，O是直線AC上一點，OB是一條射線，OD平分/AOB,OE在NBOC內，且

ZDOE=60°,乙BOE=』LEOC,則下列四個結論中正確的個數有（）

①NBOD=30。；②射線OE平分NAOC；③圖中與NBOE互余的角有2個；④圖中互補的角

有6對.

A.1B.2C.3D.4

5.（3分）如圖是一款手推車的平面示意圖,其中AB//CD.Z1=24°,Z3=148°,貝U22的度數

為（)

A.56B.66°C.98°D.104°

6.（3分）已知AB//CD，直線EF交AB于點E,交CD于點F,P是直線AB上一動點，

過P作直線EF的垂線交CD于點Q,連結EQ.若4APQ=乙EQP,乙APQ:乙EFQ=5:4,則

2LAEQ=()

C.108°D.110°

7.（3分）光線從一種介質射向另一種介質時會發生折射.如圖，這是一塊玻璃的a,b兩面（玻璃上

下兩個面）的示意圖，且aIIb,一束光從玻璃a面的C處射向玻璃b面的。處，但從玻璃b面的。處射

出時發生了折射，使光線從CD變成了DE,F為光線CD延長線上一點.已知21=135。，N2=25。，

則43的度數為（）

C.35°D.30°

8.（3分）如圖，AB//CD,尸為上一點，且尸E平分乙4FG,過點尸作FG1EH于點

G,且乙4FG=2ND.則下列結論：①4=40°；②24+Z.EHC=90°；③FD平分心HFB；

④FH平分乙GFD.其中正確結論的個數是（）

AF

A.1個B.2個C.3D.4個

二'填空題（本題有5小題，每小題3分，共15分）（共5題；共15分）

9.（3分）已知兩個角/a與N0的兩邊分別平行，Na比N0的3倍少36。，則Na的度數

是.

10.（3分）同一平面內乙4和NB一組邊互相平行，另一組邊互相垂直，若乙4=zn。，/.B=n°,且

m>n,則m和n滿足的數量關系為.

11.（3分）如圖，點O在直線AB上，從點。引出射線OC,其中射線OD平分/AOC,射線OE

平分NBOC,下列結論:

C

D

E

AOB

①NDOE=90。；

②NCOE與NAOE互補；

③若OC平分/BOD,別/AOE=150。；

④/BOE的余角可表示為—ZBOE）.

其中正確的是.（只填序號）

12.（3分）如圖，等邊三角形ABC的邊長是2,M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB,將

線段BM繞點B逆時針旋轉60。得到BN,連接MN,則在點M運動過程中，線段MN長度的最小

值是.

A

三'解答題（本題共7小題，第14題6分，第15題8分，第16題9分，第17題8分，第

18題10分，第19題10分，第20題10分，共61分）（共7題；共61分）

14.（6分）如圖，AABC中，點D在BC邊上.

A

（1）（3分）在AC邊上求作點E,使得ZCDE=ZABC；（要求：尺規作圖，不寫作法，保

留作圖痕跡）

（2）（3分）在⑴的條件下，若ZA=65。，求ZAED的度數.

15.（8分）如圖，已知點8、C在線段AD的異側，連接AB、CD,點、E、尸分別是線段A3、CD上

的點，連接CE、BF,分別與交于點G、H,且乙4EG=NAGE,乙C=LDGC.

（1）（2分）求證：AB||CD；

（2）（2分）若Z4GE+=180。，求證：ZB=ZC；

（3）（4分）在（2）的條件下，^ZBFC=2ZA,求乙4的度數.

16.（9分）

圖I圖2圖3

（1）（2分）已知：如圖1,直線AC〃BD,求證：乙4PB=ZPAC+NPBC；

（2）（3分）如圖2,如果點P在4c與BO之內，線段4B的左側，其它條件不變，乙4PB、/.PAC,

ZPBD這三個角之間有怎樣的數量關系？并加以證明；

（3）（4分）如圖3,如果點P在4C與BD之外，其他條件不變，請直接寫出乙4PB、Z.PAC,乙PBD

這三個角之間有怎樣的數量關系.

17.（8分）已知AAOB=a（00<a<30°；,ZAOB與NAOC的和為60°,ZAOB與NAOD互

補.（本題所研究的角均大于0°小于180。）

（1）（4分）如圖，當點B在NAOC的內部，且點B,D在OA的同側時：

①若/BOC=10°,則a=°.

②若射線OM在NAOD的內部，且滿足NDOM=2NAOM,求NCOM的度數（用含a的式子

表示）.

（2）（4分）直接寫出NCOD所有可能的度數（用含a的式子表示）.

18.（10分）直角三角板ABC的直角頂點C在直線DE上，CF平分NBCD.

（1）（3分）在圖1中，若NBCE=40。，求NACF的度數.

（2）（3分）在圖1中，若/BCE=a,求/ACF的度數（用含a的式子表示）.

（3）（4分）將圖1中的三角板ABC繞頂點C旋轉至圖2的位置，探究：寫出NACF與/BCE

的度數之間的關系，并說明理由.

19.（10分）【問題】如圖，直線AC與直線A3、CO分別交于點A、點C,且A3//C。，點Q為直線

CD上一定點（C點除外），點P為線段AC上一動點，當點尸在線段AC上運動時（端點C除外），

NCPQ+/CQP與NBAC有何數量關系？

【問題探究】甲、乙兩位同學對此問題進行了探究，甲同學得出的結論為

ZBAC=ZCPQ+ZCQP；乙同學得出的結論為NBAC+NCPQ+ZCQP=180°.

【結論分析】對甲、乙兩位同學得出的不同結論，總體評估有以下可能性：①兩個結論都正確;

②兩個結論中只有一個正確；③兩個結論都不正確，另有正確結論；④兩個結論都不完全正確,

另有正確結論；等等.

【問題解決】在以上分析、評估的基礎上，請你就NCPQ+NCQ尸與NR4C有何數量關系發表自

己的看法，并說明理由證明你的結論.（若備用圖不夠，可自畫圖）

20.（10分）如圖，直線PQ〃MN,點C是PQ、MN之間（不在直線PQ,MN上）的一個動點.

（1）（3分）若N1與42都是銳角，如圖1,求證：ZC=Z1+Z2.

（2）（3分）把一塊三角尺（乙4=30。/。=90。）按如圖2放置，點E,F是三角尺的邊與平行

線的交點，若=求NBDF的度數；

（3）（4分）將圖2中的三角尺進行適當轉動，如圖3,直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在

線段CD上，連接EG,且有NCEG=ZCEM,有銬部的值不變，求出其不變的值.

Z-BDF

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：如圖

VZ1比/2小20°,

2=/1+20°,

由題意得：ZCAB=90°,

.,.Zl+Z2=180°-ZCAB=90°,

.,.Zl+Zl+20°=90°,

解得：Zl=35°

故答案為：D.

【分析】根據已知可得：Z2=Z1+2O°,再根據題意可得：NCAB=90。，然后利用平角定義可得

Zl+Z2=90,從而可得/1+/1+20。=90。，最后進行計算即可解答.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：設直線條數有n條，分成的平面最多有m個.

有以下規律：

nm

11+1

21+1+2

31+1+2+3

..........

nm=1+1+2+3+...+n=n"-l)+l

.?.當直線為10條時，把平面最多分成56部分,為1+1+2+3+...+10=56；

故答案為：C

【分析】根據題意得到規律當直線條數有n條，則分成的平面最多有01=1+1+2+3+...+11=嗎由+1

個，進而代入10,從而即可求解。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：Np的余角是90。-/(3,①正確

V2za+3z/?=180°

：.3邛=180。-24a

2

J"=60°-jza

AZP的余角是90。一(60。一|〃)=30。+|〃，②錯誤

?Z.CZ+5乙B—Z-CC+y(60°—弓Z-OC)—30°+可Z-OL

乙乙\J/

是Zp的余角，③正確

24④

錯

--誤

2z_a+Z-B33

故答案為：B

【分析】根據余角的性質及角之間的關系逐項進行計算即可求出答案.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：：/?0￡=60。，

.,.ZAOD=30°,

.?.ZAOE=90°,

ZEOC=90°,

1

乙BOE=至乙EOC,

J

???乙BOE=30。，

???NBOD=30。，①正確；

VZBOD=ZAOD=30°,

???射線OE平分NAOC,②正確；

VZBOE=30°,ZAOB=60°,ZDOE=60°,

.\ZAOB+ZBOE=90°,ZBOE+ZDOE=90°,

???圖中與NBOE互余的角有2個，③正確；

AO

NAOE=NEOC=90。，

.\ZAOE+ZEOC=180°,

VZEOC=90°,ZDOB=30°,ZBOE=30°,ZAOD=30°,

.\ZCOD+ZAOD=180°,ZCOD+ZBOD=180°,ZCOD+ZBOE=180°,ZCOB+ZAOB=180°,

ZCOB+ZDOE=180°,

.??圖中互補的角有6對，④正確，

綜上所述，正確的有4個

故答案為：D

【分析】先根據題意得到/EOC=90。，進而根據々^。岳二寺2員兀即可判斷①；根據角平分線的定義

結合題意即可判斷②；根據題意進行角的運算，進而結合余角判斷③；根據/AOE=NEOC=90°得

到NAOE+NEOC=180。，再根據題意進行角的運算，結合補角即可判斷④。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：,.NB||CD,

Azl=AA=24°,

Vz.4=180°-Z3=32°,

Az2=n4+44=24°+32°=56°.

故答案為：A

【分析】先根據平行線的性質得到△1=乙4=24°,進而結合三角形外角的性質即可求解.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：?."APQzEFQ=5:4,NAPQ=NEPQ,

???設NAPQ=5x,貝i」NEQP=5x,ZEFQMx,

VPQ±EF,

ZEFQ+ZPQF=90°,

VAB//CD,

???NPQF=NAPQ=5x,

.\5x+4x=90°,

.\x=10°,

JZEQF=ZEQP+ZPQF=10x=100°,

\?AB〃CD,

???ZAEQ=ZEQF=100°.

故答案為：B.

【分析】設NAPQ=5x,貝！JNEQP=5X,ZEFQMx,根據垂直的定義，可得出NEFQ+NPQF=90。，由

二直線平行，內錯角相等，得PQF=NAPQ=5x,從而得出5x+4x=90。，解方程即可求得x=10。，然后

二直線平行，內錯角相等，得NAEQ二NEQF=100。.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：如圖

VZ1=135°,

.*.Z4=180°-135°=45°,

?.?a〃b,

??.N2+N3=45。，

VZ2=25°,

：.Z3=2Q°.

故答案為：A.

【分析】根據鄰補角的特點求出N4,再根據平行線的性質得出N2和N3組成的角的度數，再減去

Z2的度數可求出N3的度數.

8.【答案】A

【解析】【解答】延長FE交DC延長線于點I,由題意設D=a,則NAFE=NGFE=a

由AB||CD得/I=a,ZBFD=ZD=a,由DF||EH得/CHE=NHDF=a,

而HEF為EHI的外角，故NFEH=NI+NEHI=2a,在RtAEFG中，a+2a=90。得a=30。，故①錯誤;

ZD=30°,ZEHC=30°,故+乙EHC=90。②正確；

/HFE和NGFH的度數無法確定，故③④錯誤；

故選A.

【分析】延長FE交DC延長線于點I,由平行關系和EF平分NAFG可得角度關系，即可求出

a=30°,進而可判斷①②，而其余角度未知，③④錯誤.

9.【答案】18。或126°

【解析】【解答】解：分兩種情況：

①如圖，Za=z/?,

Vza=3乙B-36°,

?"a=3z.a—36°,

Aza=18°；

②如圖，Na+邛=180°,

Vza=3乙0-36°,

=3(180°-Na)-36°,

Aza=126°

故答案為：18。或126。.

【分析】兩邊分別平行，有兩種情況，如圖所示，第一種情況易得za=4?,代入等量關系式即可

求出；第二種情況由兩直線平行，同位角相等，同旁內角互補，等量代換可得za+47=180。，代

入已知條件等量關系解出即可.

10.【答案】m—n=90或m+n=90或？n+n=270

【解析】【解答】解：第一種情況：如圖,

NA與NB一組邊互相平行,

ZA=Zl=m°,

;另一組互相垂直，

AZl+ZB=90°,即m+n=90；

第二種情況：如圖,

???NA與NB一組邊互相平行,

ZB=ZACD=n°,

,/另一組互相垂直，

ZACD+90°=m°,即m-n=90；

第三種情況：如圖,

,/另一組互相垂直,

???Zl=m°-90°,

??.Z2=Zl=m°-90°,

NA與NB一組邊互相平行，

.?.n0+Z2=180°,

即m+n=270；

綜上可得：m和n滿足的數量關系為m+n=90或m-n=90。或m+n=270；

故答案為：m+n=90或m-n=90。或m+n=270；

【分析】根據題中的兩角的兩邊關系，平行線的性質和垂直的關系，分三種情況計算即可求得.

11?【答案】①②③④

【解析】【解答】解：YOD平分/AOC,OE平分NBOC,

.\ZCOD=|ZAOC,ZCOE=ZBOE=|ZBOC,

AZDOE=ZCOD+ZCOE=1(ZAOC+ZBOC),

VZAOC+ZBOC=180°,

.,.ZDOE=90°,故①結論正確；

VZAOE+ZBOE=180°,

.\ZAOE+ZCOE=180°,

即NAOE與NCOE互補，故②結論正確；

VOC平分NBOD,

.,.ZCOD=|ZBOD,

VZBOD=180°-ZAOD,

ZCOD=90°-|ZAOD,

ZAOD=90°-1ZAOD,

解得：NAOD=60。，

ZAOE=ZAOD+ZDOE=60°+90°=150°,故③結論正確；

VZDOE=90°,

AZCOE=90°-ZCOD,

AZBOE=90°-ZCOD,

ZBOE的余角為：90°-ZBOE,

.?.NBOE的余角為：ZCOD,

ZCOD=|ZAOC,ZAOC=ZAOE-ZCOE,

.\ZCOD=1(ZAOE-ZCOE),

即NBOE的余角可表示為：J(ZAOE-ZCOE),故④結論正確,

綜上所述，正確的有①②③④.

故答案為：①②③④.

【分析】根據角平分線的定義知：ZDOE=ZCOD+ZCOE=|(ZAOC+ZBOC),由

ZAOC+ZBOC=180°,求得/DOE=90。，故①結論正確；根據補角的定義得

ZAOE+ZCOE=180°,即NAOE與NCOE互補，故②結論正確；ZAOE=ZAOD+ZDOE=

60。+90。=150。，故③結論正確；根據余角的定義知/BOE的余角為NCOD,ZCOD=|ZAOC,

ZAOC=ZAOE-ZCOE,.\ZCOD=1(ZAOE-ZCOE),即NBOE的余角可表示為：!

(ZAOE-ZCOE),故④結論正確，綜上所述，正確的有①②③④.

12.【答案】1.

【解析】【解答】解：由旋轉的特性可知，BM=BN,

又?.?NMBN=60。，BMN為等邊三角形.，MN=BM,

???點M是高CH所在直線上的一個動點，

.?.當BMLCH時，MN最短(點到直線的所有線段中，垂線段最短).

又ABC為等邊三角形，且AB=BC=CA=2,

當點M和點H重合時，MN最短，且有MN=BM=BH=；AB=1.

故答案為1.

【分析】由旋轉的性質和NMBN=60。，可證得ABMN是等邊三角形，即MN=BN,最后由垂線段

最短即可解答

13.【答案】(n+1)X180

【解析】【解答】解：如圖，分別過Pl、P2、P3作直線AB的平行線PE,P2F,P3G,

VAB/7CD,

???AB〃P1E〃P2F〃P3G.

由平行線的性質可得出：Zl+Z3=180°,Z5+Z6=180°,Z7+Z8=180°,Z4+Z2=180°

J(1)Zl+Z2=180°,(2)Zl+ZPi+Z2=2xl80,(3)Z1+ZPI+ZP2+Z2=3X180°,(4)

Z1+ZPI+ZP2+ZP3+Z2=4X180°,

AZ1+Z2+ZP1+...+ZPn=(n+1)xl80°.

故答案為：(n+1)xl80.

【分析】出現平行線間的折線可過折點作平行線構造出同旁內角，由同旁內角互補解決問題.

14.【答案】(1)解：如圖所示

???AB//DE

??.ZA+ZAED=180°.

???ZA=65°

??.ZAED=115°.

【解析】【分析】(1)根據尺規作圖作一個角等于已知角即可；

(2)根據平行線的判定可得AB〃DE,然后根據平行線的性質可得結論.

15.【答案】(1)證明：vZ.AEG=^AGE,且乙4GE=4DGC,

???Z.AEG=Z-DGC,

???Z.C=Z.DGC,

:.Z.AEG=Z.C,

???AB//CD.

(2)證明：???乙AGE+乙AHF=180°且乙4GE=乙DGC,

???Z-DGC+^AHF=180°,

??.CE//BF,

???Z-AEG=Z-B,

???Z-AEG=Z-C,

???Z-B—Z-C,

(3)解：過點4作MN〃CE,

??.CE//BF,MN//CE//BF,

???Z2=Z-AEG=^ABHf/L3=^AGE=乙AHB,

v/.AEG=乙AGE,

：?z2=z.3,

vAB//CD,

???乙BFC+=180°,

??.MN//BF,

???zl+Z3+zB=180°,

??.zl+z.3=Z-BFC,

???乙BFC=2/4，即（BFC=241,

z.1+z3=2zl,

???zl=z_3,

???z.1=z2=Z-3,

???zl+z2+z.3=180°,

???zl=z.2=Z3=60,

???Z-A-60.

【解析】【分析】(1)由對頂角相等可證NAEG=NC,根據內錯角相等，兩直線平行可證AB〃CD；

(2)由平角的定義可證NDGC+NAHF=180。，根據同旁內角互補，兩直線平行可證CE〃BF,則有

ZB=ZAEG,從而可求證;

(3)過點A作MN〃CE,則MN〃CE〃BF,由平行線的性質可證N2=N3,由AB〃CD可得

ZBFC+ZB=180°,由MN〃:BF可得N1+N3+NB=18O。，再根據角的和差求解即可.

16.【答案】(1)解：如圖所示，過點P作PQ〃/1C,

AC

Q…下

BD

-AC//BD,

AC//BD//PQ,

??.Z.APQ=Z.PAC,Z-BPQ=乙PBD,

???乙APB=Z-ABQ+乙BPQ=L.PAC+乙PBD；

(2)解：APAC+180°-zPBD,證明如下:

如圖所示，過點P作PQ〃4C,

同理可得44PB=^EAP+乙FBP,

???Z.EAP=180°-/.PAC,乙FBP=180°一乙PBD,

???乙APB=180°-乙PAC+180°-乙PBD,

???Z.APB+乙PAC+乙PBD=360°；

(3)解：過P作PM〃4C,

-AC//BD,

??.AC//BD//PM,

???^MPA=^PAC,Z-MPB=乙PBD,

???乙APB=乙MPB-￡.MPA=乙PBD-APAC,

???乙APB=乙PBD一乙PAC.

【解析】【分析】(1)過點尸作PQ〃AC,則AC〃BD〃PQ,由平行線的性質可得NAPQ=NPAC,

NBPQ=NPBD,再根據角的和差關系可得答案；

(2)過點P作PQ〃AC,貝！JAC〃:BD〃PQ,同理可得NAPB=NEAP+NFBP,再根據平角的定義即

可得到結論；

(3)過尸作PM〃AC,貝IJAC〃:BD〃PM,由平行線的性質可得NMPA=NPAC,NMPB=NPBD,

再根據角的和差關系可得答案.

17.【答案】(1)解：①25

②;/AOB與NAOD互補，ZAOB=a,：.ZAOD=180°-a,VZAOB^ZAOC的和為60。，

AZAOB+ZAOC=60°,AZAOC=60°-a,\?射線OM在NAOD內部，且滿足NDOM=2NAOM,

111

AAOM=^AAOD=j(180°-a)=60。一泊、ZAOC<ZAOM,乙COM=Z.AOM-Z.AOC=

(60。--(60°-ct)=ct；

(2)解：NC。。所有可能的度數是：120。或120。+2a.

【解析】【解答]解：(1)①..?/AOB=a,ZBOC=10°,

ZAOC=ZAOB+ZBOC=a+10。，

ZAOB與NAOC的和為60°,

.?.ZAOB+ZAOC=60°,

即a+a+10°=60°,

解得：a=25。.

故答案為：25°.

(2)：YNAOB與NAOD互補，ZAOB=a,AZAOD=180°-a,

ZAOB與NAOC的和為60°,

.\ZAOB+ZAOC=60°,

ZAOC=60°-a,

當OB在NAOC的內部，點B,D在OA的同側時，ZCOD=ZAOD-ZAOC=(180°-a)-(60°-

a)=120°；

當OB在NAOC的外部，點B,D在OA的同側時，ZCOD=360°-(ZAOC+ZAOD)=360°-[(60°-

a)+(1800-a)]=120°+2a；

當OB在乙40c的內部，點B,D在OA的兩側時，ZC。。=360。一(乙40C+乙4。。)=360。一

[(60°-a)+(1800-a)]=120°+2a；

當OB在乙40c的外部，點B,D在OA的兩側時，ZCOD=乙4。。一乙40c=(180。—a)-

(60°-a)=120°；

綜上所述：所有可能的度數是：120。或120。+2a.

【分析】(1)①根據題意可得，再根據NAOB+NAOC=60。，即可求解；②根據補角的性質可得

ZAOD=180°-a,再根據和為60。可得NAOC=6(T-a,然后根據NDOM=2NAOM,可得

1

AAOM=掾乙400,即可求解；

（2）根據補角的性質可得NA0D=18（T-a,再根據/A0B+NA0C=60。可得/AOC=60"a,然后分四

種情況：當OB在NAOC的內部，點B,D在OA的同側時；當OB在NAOC的內部，點B,

D在OA的兩側時；當OB在NAOC的外部，點B,D在OA的同側時；當OB在/AOC的外

部，點B,D在OA的兩側時，即可求解.

18.【答案】（1）解：VZACB=90°,ZBCE=40°,

ZACD=180o-90°-40o=50°,ZBCD=180°-40°=140°.

VCF平分/BCD,

1

乙DCF=乙BCD=70°,

...ZACF=ZDCF-ZACD=70°-50°=20°.

（2）解：ZACB=90°,ZBCE=a,

ZACD=180o-90°-ao=90°-a,ZBCD=180°-a.

VCF平分NBCD,

11

?,?Z-DCF-5乙BCD—90°-oc,

（1\1

?a?Z-ACF—（90°—2仇）—（90°—a）=

（3）解：ZACF=&BCE理由如下:

如圖2,?.?點C在DE上，

.,.ZBCD=180°-ZBCE.

VCF平分/BCD,

11

AABCF=5乙BCD=f（180°-4BCE）

1

=9C一］乙BCE.

NACB=90°,

：.ZACF=ZACB-ZBCF

,zc昨1俏

【解析】【分析】（1）根據