二次根式知識歸納與題型突破（13類題型）

01思維導圖

1二次頰的疑

二次根式2二次取有無意義的條件

3.二次儂的性質

1.最簡二次根式

最簡二次根式與同類二次根式

二次根式2.同類二次根式

1.二次根式的乘法

2.二次取的觸

二次根式的運算

3二次根式的融

4二欠根式的混合運算

02知識速記

一、二次根式

1.二次根式的概念

1.二次根式的概念:一般地，我們把形如、腦（a20）的式子的式子叫做二次根式，“，”稱為稱為二次根

號.如百，歷，；都是二次根式.

2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號“?”；（2）被開方數必須是非負數.

2.二次根式有無意義的條件

1.二次根式有意義：被開方數為非負數，即癡有意義Oa20；

2.二次根式無意義：被開方數為負數，即幾無意義oa<0；

3.二次根式的性質

1.二次根式&（a>0）的非負性

4a（aNO）表示。的算術平方根，也就是說，4a（。20）是一個非負數，即五'^O（a>0）.

2.二次根式（GJ的性質：（a>0）

3.二次根式后的性質：=同={:需2）

最簡二次根式與同類二次根式

1.最簡二次根式

（1）最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母，（2）被開方數中不含能開方開得盡得因數或因式

（2）化簡二次根式的一般方法

方法舉例

將被開方數中能開得盡得因數或因式進行開方V8=74^2=272

若被開方數中含有帶分數，先將被開方rr_[4_74^3_2V3

V3-V3-V3^3-3

數化成假分數

若被開方數中含有小數，先將小數化成

化去根廝、"、也=巫

分數viovioo10

號下的

若被開方數時分式，先將分式分母化成1~5a__15a-3c_/_15ac__J15ac

分母[1262c2//.3c6bc

能轉化為平方的形式，再進行開方運算小新人"

(。>0,b>0,c>0)

被開方數時多項式的要先因式分解Jx2+2xy+j/=J(x+y)2=x+y(x*0,y>0)

（3）分母有理化

分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。

方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.

2.同類二次根式

（1）同類二次根式概念：化簡后被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。

（2）合并同類二次根式的方法：把根號外的因數（式）相加，根指數和被開方數不變，合并的依據式乘

法分配律，如+〃后=（根+〃）后僅20）

三、二次根式的運算

1.二次根式的乘法

（1）二次根式的乘法法則：^.Vb=V^b（a>0,&>0）（二次根式相乘，把被開方數相乘，根的指數不

變）

(2)二次根式的乘法法則的推廣：

①\J~a'Vb-Vc=Jabc(a>0,b>0,c>0)

Qas/b-cVd=acVbd(Z)>0,t/>0),即當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘單項式的法則進

行計算，即將系數之積作為系數，被開方數之積作為被開方數.

(3)二次根式的乘法法則的逆用：膈=癡?、傷(二次根式的乘法法則的逆用實為積的算

數平方根的性質)

(4)二次根式的乘法法則的逆用的推廣：xfed=VI-Vb-V^-V^(a>0,/)>0,c>0,67>0)

2.二次根式的除法

(1)二次根式的除法法則：[=#(。20力〉0)(二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變)

(2)二次根式的除法法則的推廣：行十后十八=Ja+b+c(a?0,b〉0,c〉0).

3.二次根式的除法

(1)二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。

(2)二次根式加減運算的步驟：

①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；

②找：找出化簡后被開方數相同的二次根式；

③合：合并被開方數相同的二次根式一一將”系數”相加作為和的系數，根指數與被開方數保持不變。

4.二次根式的混合運算

二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號

里面的(或先去掉括號)

03題型歸納

題型一判斷是否為二次根式

例題：(23-24八年級下?廣西河池?期中)下列各式中，一定是二次根式的是()

A.J-4B.J3aC.男27D.J加，+1

鞏固訓練

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.蚯B.4aC.V3D.2二

2.下列式子一定是二次根式的是（）

A.%-2B.-\[xc.7772D.&-2

3.尤為實數，下列式子一定有意義的是（）

1

A.y/x?+1B.y/x2+xC.-5—D.—7

x2-lX

4.下列各式中，一定是二次根式的是（)

A.B.J-2C.Ja+2D.J/+]

5.下列各式中，一定是二次根式的是（)

A.[a2-2B.J/+3C.3D.J-2Q

題型二求二次根式的值

例題：（23-24八年級下?浙江衢州?期中）當x=-2時，二次根式J-3X+10的值為（)

A.2B.±2C.4D.±4

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?浙江杭州?期中）當。=6時，二次根式Gi的值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24九年級上?海南儲州?期末）當尤=-1時，二次根式j3x+7的值為（）

A.±2B.2C.-2D.V2

3.（23-24八年級下?浙江杭州?期末）當x=l時，二次根式行式的值為（）

A.4B.y/~6C.6D.2

題型三根據二次根式有意義條件求范圍

例題：（23-24八年級下?遼寧營口?期末）若二次根式Kb有意義，則實數x的取值范圍是（）

A.xw3B.x>3C.x>-3D.x<3

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?山東聊城?期末）若二次根式屏不有意義，則工的取值范圍是（）.

、31333

A.xN—B.—C,x>—D.x<—

2222

2.（23-24八年級下?新疆和田?期中）使行7+而7有意義的字母尤的取值范圍（）

A.全體實數B.x<2C.x>-4D.-4<x<2

3.（2024?貴州銅仁?一模）若H行在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是.

4.（2024?湖北?模擬預測）當x取何值時，二次根式匹1有意義：

x-3

5.（24-25八年級下?吉林?階段練習）使式子正士有意義的x的取值范圍是.

2+x

題型四根據二次根式有意義求值

例題：（23-24八年級下?吉林松原?期中）若歹=上高+/^+5,則J2肛=.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?四川綿陽?期中）已知x、V為實數，且1=V^i+j6-3x+3,則x+y的值為.

2.（23-24八年級下?湖北荊州?階段練習）已知實數X,了滿足y=+萬嚏+3,則河的小數部分

是.

3.（23-24八年級下?山東煙臺?期中）已知+=1+2,則無了=.

題型五二次根式的乘除混合運算

例題：（2024八年級下?安徽?專題練習）計算：2712x4+372.

鞏固訓練

1.計算:

2.計算:

⑴叫淚x|5

3.計算:

4.計算:

(l)V27xV50-V6;

⑵詬耒4后

(4)Sy)a2b>0,6>0).

5.計算:

⑴氐&x2a+2遙；

題型六最簡二次根式的判斷

例題：（23-24九年級上?河南洛陽?期中）下列二次根式，是最簡二次根式的是（）

22DC

A.^a+bB.J4C.V18

鞏固訓練

1.下列二次根式中的最簡二次根式是（）

A.74B.VsTC.45D.y/0A2

2.下列根式中，最簡二次根式是（）

a

A.J25aB.^2b2C.D.屈

a+V2

3.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

a

A."a，B.-\/24C.D.2jmn

\2

4.下列選項中的式子，是最簡二次根式的是（)

A.名B.V243C.

J36nlD.ylm2+2

5.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A1

A.72B.5/4C.D-石

題型七化為最簡二次根式

例題：（23-24八年級上?廣東佛山?階段練習）化簡：V8=；生.

鞏固訓練

1.（23-24八年級上?廣東肇慶?階段練習）化簡：也=,.

2.（23-24八年級下?浙江?期中）化簡成最簡二次根式：5疵=—;6^|=_.

3.（22-23八年級上?寧夏銀川?階段練習）化簡：

⑴店⑵用⑶R

4.（23-24八年級?全國?假期作業）把下列二次根式化為最簡二次根式：

（1）715；（2）^|；G）浮；（4）^^;（5）2"/62c（a,b,c均大于0）.

題型八同類二次根式的判斷

例題：（23-24八年級下?江西上饒?期中）下列根式中，與血是同類二次根式的是（）

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?江蘇淮安?期末）下列二次根式中，與石是同類二次根式的是（）

A.Jo.5B.J30C.y/25D.Jy

2.（2023?廣西來賓?一模）下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（）

A.^45^0V15B.J3nl和J9nlC.和*'D.-y/18

3.（23-24七年級下?上海浦東新?階段練習）下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（）

A.和3亞B.6和

C.g和AD.G和?

題型九二次根式的加減運算

例題：（24-25八年級上?全國?課后作業）計算:

⑴回3b2小

(2)2退-3g+5后.

鞏固訓練

1.計算：2V12-12^1+3748.

2.計算：

(1)V8+V32-V2

(2)A+V27->/9

4.計算:

(1)|囪一5|+舊+#-0125；

(2)亞+5積_巫+3屈；

5.計算:

(1)2百+3月-A

題型十二次根式的混合運算

例題：（23-24八年級下?山西太原?單元測試）計算:

⑴爭

鞏固訓練

2.計算:

3.計算：

（l）|l-V3|+（V3-7tj°-V24-V2；

（2）（3-V2）2-（2+V3）x（2-V3）+V2.

4.計算：

（1）V18XV2-V25+7（-3）2

5.計算

（1）V8+V32-V2；

人、屈義班

⑵

⑶（2+百卜（2一⑹一卜閻;

-（^yl.

題型十一比較二次根式的大小

例題：（23-24八年級下?浙江寧波?開學考試）比較大小：

⑴715+7178；

（2）J2014-J2015V2015-V2016.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?江蘇宿遷?階段練習）比較下列實數的大小：37625.

2.（23-24七年級下?上海?期末）比較大小：-273