年高考三校聯合模擬考試數學試卷命題學校：大連育明高級中學命題人：高三備課組注意事項：答卷時，考生務必將自已的姓名?準考證號填寫在答題卡上.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據對數運算得出集合B，再應用交集定義計算求解.【詳解】因為，又因為集合，則.故選：B.2.復數，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復數的除法化簡復數，利用共軛復數的定義結合復數的幾何意義可得出結論.【詳解】因為，則，所以，復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限.第1頁/共27頁故選：B.3.有四張卡片，每張卡片的一面上寫著英文字母，則另外一面上寫著數字.現在規定：當牌的一面寫著數字7時，另外一面必須寫著字母.你的任務是：為了檢驗下面4張卡牌是否有違反規定的寫法，你需要翻看哪些牌？（）A.①②B.②③C.②④D.④③【答案】B【解析】【分析】根據題意可知：M后面是數字7就違反規則，即可得結果.【詳解】根據題意可知：數字7后面一定是字母H，H后面可以不是數字7，即M后面是數字7就違反規則，所以只用看7和M，其他卡牌無此顧慮.故選：B.4.若正實數滿足，則的最小值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式將方程化成，取求解關于的一元二次不等式即得.【詳解】正實數滿足，又，則，當且僅當時取等號，設則，代入整理可得，解得或，因，故，故當時，取得最小值為2.第2頁/共27頁故選：B.5.某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10準備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型概率公式結合組合數計算可得.【詳解】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C6.墻上掛著一幅高為1m2m點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角（點A，B稱為最佳視角．若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計，則當攝像機在地面上任意移動時，最佳視角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據題意建立幾何模型，求解正弦值最大轉化成求解正切值最大，結合基本不等式求解最大值即可.【詳解】第3頁/共27頁如圖所示：最佳視角,且當最大時，最大，且最大，又，又設所以當且僅當時取等號，此時解得：故選：A.7.已知點M是橢圓上的一點，，分別是C的左、右焦點，且，點N在的平分線上，O為原點，，，則C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設，，由題意得出是等腰三角形.在中由余弦定理得到含a，c的齊次方程即可求解離心率.【詳解】解：設，，延長ON交于A，如圖所示.第4頁/共27頁由題意知，O為的中點，∴點A為中點.又，點N在的平分線上，∴，∴是等腰三角形，∴，則，所以.又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化簡得：.又，所以，所以，即故選：B.8.，不等式恒成立，則正實數的最大值是（A.B.C.D.【答案】A【解析】的單調性，則所求不等式即為，可得出，由參變量分離法可得出對恒成立，利用導數求出函數在上的最小值，由此可得出正實數的最大值.【詳解】將不等式變形可得，第5頁/共27頁即，構造函數，可得，令，則，所以當時，，即在上單調遞減，當當時，，即在上單調遞增，所以，即，所以函數在上單調遞增，利用單調性并根據可得，則有，又，即可得，即對恒成立，因此即可，令，，則，顯然當時，，即函數在上單調遞減，當時，，即函數在上單調遞增，所以，即，因此正實數的最大值是.故選：A.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.第6頁/共27頁9.已知函數，若及其導函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數在上單調遞減C.的圖象關于點中心對稱D.的最大值為【答案】AB【解析】【分析】根據圖象，結合函數的單調性與其導函數正負的關系，先判斷兩個圖象中哪個是的圖象，哪個是的圖象，進而列出關于的方程組求解，再結合特殊點求解參數，由此確定函數和的解析式，再判斷各個選項的正誤即可．【詳解】因為，所以，根據圖象可知，當時，，所以單調遞增，故，從而．又，所以，由得，故，．第7頁/共27頁選項A：的最小正周期為，故，A正確．選項B：令，解得，故函數在上單調遞減，B正確．選項C：由于，，故的圖象不關于點中心對稱，故C錯誤．選項D：，其中為銳角，且,所以的最大值為，D錯誤．故選：AB10.已知正四棱錐的棱長均為2，下列說法正確的是（）A.平面與平面夾角的正弦值為B.若點滿足，則的最小值為C.在四棱錐內部有一個可任意轉動的正方體，則該正方體表面積的最大值為D.點在平面內，且，則點軌跡的長度為【答案】BCD【解析】【分析】本題考查正四棱錐的性質、空間向量、正方體與四棱錐的內切關系以及點的軌跡問題.對于A，可BCD模長運算，再利用圓的定義進行求解即可.【詳解】如圖，第8頁/共27頁對于A，正四棱錐的棱長為2，正四棱錐的高為，設點P為AB中點，根據正四棱錐的性質，得，，則平面與平面的夾角為，則，故A錯誤；對于B，∵，，根據空間向量基本定理可得點P在平面MAD上，當平面時，最小，此時根據等體積法可求出，即可求得，即的最小值為，故B正確；對于C，設正方體的棱長為，則正方體的體積為，正方體可以在正四棱錐徑，設內切球的半徑為r，正四棱錐的體積為，根據另一個體積公式，可得，正方體對角線，，正方體表面積，故C正確；對于D，如圖，以A為原點，，所在直線為，軸，第9頁/共27頁過點A向上作垂線為軸建立空間直角坐標系，則，，設，∵，∴，即，化簡整理可得點的軌跡是在平面ABCD內以的圓在四邊形ABCD內的部分（圓弧）如圖，由于，則點Q的軌跡長度為，故D正確.故選：BCD.【點睛】難點點睛：本題解答的難點在于選項D的判斷，解答時要注意判斷動點的軌跡形狀，進而求解.設數列滿足，記數列的前項和為，則（）A.B.C.D.【答案】ABD第10頁/共27頁【解析】【分析】結合二次函數的性質可判斷A；由放縮法可得即可判斷B；由放縮法可得，再由累乘法可得，可判斷C；由累加法可得，即可判斷D.【詳解】對于A，，因為，根據二次函數的性質，所以，所以，故A正確；對于B，，所以，，，所以，故B正確；對于C，，，所以，累乘可得：，第11頁/共27頁所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，數列的前項和為，所以，故D正確.故選：ABD.C選項的關鍵是通過由放縮法得到得，再由累乘法得到，進而證得.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知冪函數，寫出一個使得不等式成立的自然數的值__________.【答案】3或4（寫對一個即可）【解析】第12頁/共27頁【分析】根據為冪函數，得到，再解不等式即可.【詳解】因為為冪函數，所以，解得，則，不等式可化為，解得，所以符合條件的自然數可以是3或4.故答案為：3或4（寫對一個即可）13.點為圓上的一個動點，點，則向量在方向上的投影數量的最大值為__________.【答案】2【解析】，在方向上的投影數量為及余弦函數的性質計算可得.【詳解】因為點為圓上的一個動點，所以設點，則,又，所以，，所以在方向上的投影數量為，又，所以在方向上的投影數量的取值范圍為，即在方向上投影數量的最大值為.故答案為：.第13頁/共27頁14.記表示的值域為，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先由值域為得到不等式，再利用不等式的性質比較三者大小，再借助分數的性質及不等式放縮求解最值可得.【詳解】若函數值域為，記，則，故，由，得，且，所以，又，所以，故.則由且，可得，當且僅當，即時等號成立.的最小值為.第14頁/共27頁故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵在于利用不等式及分數的性質求解最小值.四?解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點是棱上靠近端的三等分點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1行；（2）利用空間向量坐標運算分別得到平面與平面一個法向量，計算面面夾角的余弦值即可.【小問1詳解】在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，以點為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，又，點是棱上靠近端的三等分點第15頁/共27頁則.，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，則，又，可得，因為平面，所以平面.小問2詳解】易知，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，由（1）知，平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16.為了解居民體育鍛煉情況，某地區對轄區內居民體育鍛煉進行抽樣調查.統計其中400名居民體育鍛煉的次數與年齡，得到如下的頻數分布表.年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]次數每周0~2次70553659第16頁/共27頁每周3~4次25404431每周5次及以552010上（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關聯；（25次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，求ξ的分布列與期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828【答案】（1）有關（2）分布列見解析；期望為（3）【解析】1）求出卡方值并與臨界值比較即可得到結論；（2）根據步驟列出分布列，利用數學期望公式即可得到答案；（3）利用全概率公式即可得到答案.【小問1詳解】零假設：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關，第17頁/共27頁由題得列聯表如下：青年中年合計體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計200200400，根據小概率值獨立性檢驗推斷不成立，即認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.【小問2詳解】由數表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內的人數分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以012所以的數學期望為.【小問3詳解】記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件，則，第18頁/共27頁，所以所以小明星期天選擇跑步的概率為.【點睛】關鍵點點睛：本題第3問的解決關鍵是熟練掌握全概率公式，從而得解.17.已知函數．（1）討論函數的單調區間；（2在處的切線垂直于直線實數b的最大值；（3）若為函數的極值點，求證：．【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）（3）證明見解析【解析】1）求出，然后對分類討論求解函數的單調區間；（2）由題意得即可求得，得到的解析式．對任意恒成立，即對任意的最小值，利用導數求解即可；（3）因為為函數的極值點，所以．要證明不等式成立，只需證，時，由即證得結論；當時，得，只需證第19頁/共27頁，即證對成立，構造函數，結合函數的單調性證明即可．【小問1詳解】，定義域為，所以，當時，，故在上單調遞增，當時，由，得；由，得，故在上單調遞增，在上單調遞減，綜上：當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減．【小問2詳解】因為，曲線在處的切線垂直于直線，則在處的切線的斜率為，即，解得：，則.對任意恒成立，即對任意，即對任意恒成立，令，，令，得，當時，，為減函數；當時，，為增函數；第20頁/共27頁，，則實數b的最大值．【小問3詳解】函數，因為為函數的極值點，所以，所以，要證明不等式：成立，只需證，令，當時，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，即，所以，當時，因為，所以．當時，因為，所以，所以，要證成立，只需證，即證對成立．令，因為，當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以，即時，成立．綜上所述，原不等式成立．【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式，常用的思路層次有三個，其一直接構造函數利用導數證明；其二直接做差構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值，從而證得不等式；其三先利用放縮、等量代換等方法做適當的變換后再做差構造函數，利用導數證明.18.如圖，直線與直線，分別與拋物線交于點，和點（在與交于點.當經過的焦點時兩點的縱坐標之積等第21頁/共27頁于（1）求拋物線的標準方程；（2）線段與交于點，線段與的中點分別為①求證：三點共線；②若，求四邊形的面積.【答案】（1）（2）①證明見解析;②9【解析】1）聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理求出即可；（2）①設分別求得的方程，求得和，根據，得到，再由的方程，求得的表達式，即可得證；②由①，得到和，由和，分別求得和，兩式相減得，結合和三角形的面積公式，即可求解.【小問1詳解】因為拋物線焦點為，則，即，所以直線，第22頁/共27頁代入拋物線方程可得：，即，則，由題意，解得，所以所求拋物線方程為.【小問2詳解】①證明：設.若，則直線斜率不存在，由對稱性，可知均在軸上，則三點共線；若，則直線斜率存在，直線方程為：，結合，則，同理可