2024-2025學年海南省海口市高一上學期第一次月考數學學情

檢測試題

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）.

1.已知集合'={》￡2閔41},'={》€>1*|-14"42},則“U8=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

2.已知命題p：VXGR,x3+2x-l>0-則「以為（）

A.GR,XQ+2XQ—1W0B.eR,Xg+2xg—1<0

C.VxeR,X3+2X-1^0D.VxeR,x3+2x-l<0

3.“a>6”是“同>6”的條件

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

4.已知方程—+（加+2）x+加+5=0有兩個正根，則實數加的取值范圍是

A.m<-2B.m<-4

C.m>-5D.-5<m<-4

5.甲、乙、丙、丁四位同學在玩一個猜數字游戲，甲、乙、丙共同寫出三個集合：

f2

A={x|0<Ax<2},B={x\-3<x<5],C=<x0<x<§>,然后他們三人各用一句話來

正確描述"A”表示的數字，并讓丁同學猜出該數字，以下是甲、乙、丙三位同學的描述，甲:

此數為小于5的正整數；乙：%68是％6%的必要不充分條件；丙：xeC是xe/的充分

不必要條件.則“A”表示的數字是（）

A.3或4B.2或3C.1或2D.1或3

左1]fk\

6.已知集合兇=〈》》=—+—,集合N=<xx=-----,keZ\,貝ij（）

4484

A.MryN=0B.M^N

C.N^MD.M<JN=M

7.若不等式（”2）一+4（"2）x+3〉。的解集為R,則實數。的取值范圍是（）

-11B.{。|。《2或4＞口}

A.\a2<a<—>

44

D.\a2r<a<—>

4

8.對于給定的實數a,關于實數x的一元二次不等式。（尤-4（x+l）＞0的解集不可能為（）

A.0B.{-1}

C.D.(-oo,-l)U(tz,+oo)

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.己知—1＜。＜6,3＜6＜8,則下列結果正確的有（）

1a

A.——<—<2B.2<。+6<14

3b

C.—4<4—b<—2D.-3<ab<48

10.下列結論正確的是（）

A.當xNO時，X+IH--—>2

x+1

,X+lC

B.當x>0時，^->2

C.XH—的最小值為2

X

1

D.G+2+/）」的最小值為2

G+2

11.在整數集Z中，被5除所得余數為七的所有整數組成一個“類”，記為[可，即

囚={5〃+耳〃eZ},k=0、1、2、3、4,給出如下四個結論，其中正確結論的是（）

A.2021G[1]

B.-13e[3]

C.若整數a、b屬于同一“類”，則a—6e[0]

D.若a—be[O],則整數a、b屬于同一“類”

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12已知集合/={—2,2。,/一。卜若2eZ,則。=.

13.不等式二一<5的解集是______.

x—3

2

14.方程x-kx+k+3=0的兩個根均大于2,則k的取值范圍是

四、解答題（本題共5小題，共77分）

15.已知非空集合Z={x[l+aVx<1—2a},3=卜卜3x+22eR）.

（1）若a=-l,求（3R4）CB；

（2）若“xe/”是“xeB”的充分不必要條件，求a的取值范圍.

16.一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于

10%,而且這個比值越大，采光效果越好.

（1）若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為330掰2,則這所公寓的窗戶面積至少為多少平

方米？

（2）若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果是變好了還是變壞了？

17.已知關于x的不等式"2+x+2<o（aeR）.

（1）若G2+X+2<。的解集為{x|x>l或x<b},求實數a,b的值；

（2）求關于x的不等式a?+x+2<狽+3的解集.

18.某企業采用新工藝，把企業生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該

單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本V（元）與月處理量x（噸）

1,

之間的函數關系可近似的表示為N=萬廣—200%+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利

用的化工產品價值為100元.

（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多

少元才能使該單位不虧損？

19.已知正實數集/={%,々，…，4}，定義：片={aiaj\afaj稱為A的平方集.記〃(，)

為集合A中的元素個數.

(1)若/={1,2,3,4},求集合］和〃(1)；

(2)若〃(1)=2016,求〃(/)*；

(3)求證：1,并指出取等條件.

2024-2025學年海南省海口市高一上學期第一次月考數學學情檢測試題

測試時間：120分鐘滿分150分

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）.

1.已知集合2={%€2|因41},5="€>1*|―1<%<2},則NU§=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】解出集合48后，直接進行運算即可.

【詳解】因為/={xeZ]|x|<l}={-1Q1},

5={xeN*|-1<%<2}={1,2},

所以NUB={—L0,l,2},

故選：C.

2.已知命題p：X/xeR,x3+2x-l>0?則「。為（）

A.eR,Xg+2XQ—1W0B.3x0eR,x；+2x0—1<0

C.VxeR,d+2x—1W0D.VxeR,x3+2x-l<0

【答案】A

【解析】

【分析】在給命題取否定時，需要將任意量詞和存在量詞互相轉換，并對結論取否定.

【詳解】將原命題的任意量詞VxeR換成存在量詞m/eR,結論中的“>0”換成“W0”就得到原命題的

否定力為：

3XgWR,X；+2%0-1W0,

從而A正確

故選：A

3.“a>6”是“問>6”的條件

A,充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】可采用假設法證明，若能找出一個反例，則證明推導過程不成立

【詳解】由同之見可得，當時，^\a\>a>b,一定能推出“問〉6"，所以"a>"是“同>6”的

充分條件

反過來，若|a|>6,比如卜3|〉2推不出-3>2,所以是“|4>6”的充分不必要條件

答案選A

【點睛】充分必要條件的判斷，可采用賦值法，不重不漏去進行判斷，若一眼能看出錯誤的，只需列舉一

個反例說明問題即可

4.已知方程/+(m+2)X+機+5=0有兩個正根，則實數切的取值范圍是

A.m<-2B.m<-4C.m>-5D.-5<m<-4

【答案】D

【解析】

【分析】據一元二次方程有兩個正根時滿足A>0,兩根之和和兩根之積都大于0,解不等式即可求得加的

取值范圍.

A=（加+2/-4（m+5）>0m<-4或加>4

【詳解】設兩個正根分別為王,馬由題意可得:<+Z=-（加+2）>0解得<m<-2

xrx2=m+5>0m>-5

?二加的取值范圍為—5<m<-4，故選D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系,考查了根的分部以及韋達定理的簡單應用，屬于基礎

題.

5.甲、乙、丙、丁四位同學在玩一個猜數字游戲，甲、乙、丙共同寫出三個集合：/={x[0<Ax<2},

2

B={x\-3<x<5],C=x0<x<-k然后他們三人各用一句話來正確描述“A”表示的數字，并讓

丁同學猜出該數字，以下是甲、乙、丙三位同學的描述，甲：此數為小于5的正整數；乙：xeB是

的必要不充分條件；丙：xeC是xw/的充分不必要條件.則“△”表示的數字是()

A.3或4B.2或3C.1或2D.1或3

【答案】C

【解析】

’2

【分析】根據此數為小于5的正整數得到Z=xO<x<],再推出C是A的真子集，A是2的真子集,

、A

從而得到不等式，求出Ae|,3；得到答案.

,f2、

【詳解】因為此數為小于5的正整數，所以Z={X[0<AX<2}=〈X0<X<T，

、A,

.因為xe8是xwA的必要不充分條件，xeC是xe4的充分不必要條件，

所以C是A的真子集，A是5的真子集，

2222

所以一45且一〉一，解得一WA<3,所以“△”表示的數字是1或2,故C正確.

AA35

故選：C.

'ki][kI'

6.已知集合M=[xx=—+—,左eZb,集合N=〈xx=----,keZ\,則（）

44J[84

A.McN=0B.M匚NC.N三MD.MuN=M

【答案】B

【解析】

【分析】先分析集合M、N,得到MqN,再對選項逐個分析判斷.

"左1]f1keZ>=<xx=工（2左+2）,左GZ>,

【詳解】M=\xx=—+—,kG7.\=\Xx=~(k+\\,

44J[4V78

f左1〕「1'

N=<xx=----,keZ>=\xx=—(k-2],keZ>,

84J[8V'

因為2左+2可以表示偶數，列舉出為｛…—2,0,2,4,,而左-2可以表示全部整數，所以MqN.

對于A：McN=M,故A錯誤；

對于B,C：MjN,故B正確、C錯誤；

對于D：MuN=N,故D錯誤.

故選：B.

7.若不等式（。-2卜2+4（。-2）x+3>0的解集為R,則實數。的取值范圍是（）

c11

A.<a2<a<—>B.{aIaW2或a>

4

C.{a|。<2或口>?}D.<a2<a>

【答案】D

【解析】

【分析】分a-2=0和a—2w0兩種情況討論求解即可.

【詳解】???不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集為R,

二當a—2=0,即。=2時，不等式為3>0恒成立，故a=2符合題意；

當a—2力0,即aw2時，不等式(a-2)f+4(a-2)x+3>0的解集為R,

Q—2〉0]]

則(「12，解得2<a.

△二[4(a—2)]—12(a—2)<04

綜上可得，實數a的取值范圍是

4

故選：D

8.對于給定的實數a,關于實數x的一元二次不等式a(x-a)(x+l)>0的解集不可能為()

A.0B.{-1}C.(a,-1)D.(-oo,-l)U(a,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論。>0,a<0,得到對應的不等式的形式，討論對應的二次函數^=。(》-。乂》+1)與尤

軸的交點情況，得到不等式的解集，結合選項進行判斷即可.

【詳解】由于a(x-4(x+l)>0為一元二次不等式，所以

當a>0時，函數y=a(x-a)(x+l)開口向上，與無軸的交點為a,-1,

故不等式的解集為(一",-1)。(a,+"),

當a<0時，函數y=a(x-a)(x+l)開口向下，

若a=-1,不等式解集為0；

若一1<0<0,不等式的解集為(一1,a)；

若a<-l,不等式的解集為(a,-1).

綜上，ACD選項都可能是一元二次不等式a(x-a)(x+l)>0的解集.

故選：B.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)

9.已知—l<a<6,3<b<8,則下列結果正確的有()

1a-

A.——<-<2B,2<a+6<14

3b

C.—4<a—b<—2D.—3<ab<48

【答案】AB

【解析】

【分析】根據題意，利用不等式的基本性質，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由3<3<8,可得!<工，由不等式的性質，可得—1<f<2,所以A正確；

8633b

對于B中，由—1<。<6,3<6<8,根據不等式的性質，可得2<。+6<14,所以B正確；

對于C中，由3<6<8,可得—8<—b<—3,所以—9<a—3<3,所以C錯誤；

對于D中，由—l<a<6,3<b<8,可得—8<ab<48,所以D錯誤.

故選：AB.

10.下列結論正確的是()

A.當x20時，x+l+-^—>2

x+1

x+l、c

B.當x>0時，一尸N2

yJX

C.x+工的最小值為2

X

D.J廠+2+不的最小值為2

VX2+2

【答案】AB

【解析】

【分析】利用基本不等式逐一判斷即可.

>2j(x+l)J^l=2,當且僅當x+l=-j時，即x=0時等

【詳解】A:當X20時，x+ld——-—1

X+1

號成立，故本選項正確；

B：當x>0時，甲=五+3乜6/=2,當且僅當4=3時，即x=l時等號成立，故本

yjxVxVy/x

選項正確；

C：當x<0時，顯然x+422不成立，因此本選項不正確；

X

D：因為1為+2+/_N2/JX2+2-T^==2,當且僅當=時，此時

G+2VG+2G+2

必+2=1無實數解，故取不到等號，所以本選項不正確，

故選：AB

11.在整數集Z中，被5除所得余數為人的所有整數組成一個“類”，記為[句，即[可={5〃+修〃eZ},

左=0、1、2、3、4,給出如下四個結論，其中正確結論的是（）

A.2021e[l]

B.-13e[3]

C.若整數a、b屬于同一“類"，則a—be[0]

D.若a-be[0],則整數a、。屬于同一“類”

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用題中定義可判斷AB選項的正誤；設。=5〃]+左，b=5n2+k,%、n2eZ,

左e{0,1,2,3,4},利用“類”的定義可判斷C選項的正誤；設。=5〃1+/，b=5n2+k2,%、n2eZ,

勺、左2e{0,123,4},推出左=內，可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，：2021=5x404+1,故2021e[l],A對；

對于B選項，?.?—13=—3x5+2,故-13e[2],B錯;

對于C選項，若整數。、6屬于同一“類“，可設。=5〃]+左，b=5n2+k,%、n2eZ,

左e{0,1,2,3,4},

所以，a—6=5（〃i-々），故a-be[0],C對；

對于D選項,設a=5〃i+:,6=5%+左2,、%wZ,左、k2G10,1,2,3,41,

則a-6=5（〃]—%）+—h,因為左]、左2e{0,1,2,3,4},則—4V左—k>?4且k[一k?eZ,

因為a-be[0],則勺—左2=0，即左1=總，故整數。、6屬于同一“類”，D對.

故選：ACD.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知集合/={—2,2。,下一。},若2eZ,貝但=.

【答案】1或2；

【解析】

【分析】

由2eN,可得2a=2或/—a=2,注意要滿足集合元素的互異性，即可得解.

【詳解】由幺={—2,2a,/—力，2e^,

若2〃=2,<7=1,a2-a=0

此時2={-2,2,0},符合題意;

若Q2-Q=2，則Q=2,a=-l,

當。二一1時，2a=-2,不符題意，

當a=2時，2={-2,4,2},符合題意,

綜上可得：。=1或。=2.

故答案為：1或2.

13.不等式二一<5的解集是______.

x—3

17

【答案】{x|x<3或

【解析】

-5x+171x—3）（5x—17）20

【分析】分式不等式變式成上~^<0,等價于'八），求解即可

x-31x—3。0

[(X—3)(517)2017

【詳解】2―5=二”“°,所以'八),解得x<3或

%—3w05

217

所以不等式——45的解集是｛刈％<3或》2—｝.

x-35

17

故答案為：｛%|》<3或工2彳｝

14.方程——依+左+3=o的兩個根均大于2,貝Ik的取值范圍是

【答案】6<k<l

【解析】

【分析】可將方程轉化成函數，畫出大致圖像，再根據二次函數性質進行求解

【詳解】如圖所示：

必須同時滿足以下三個條件：

①〃2)=4-2左+左+3>0

②對稱軸x=：〉2

(§)△=左2—4(后+3)20

聯立解得64左<7

【點睛】方程與函數可進行等價轉化，必要的時候可結合二次函數圖像進行求解

四、解答題(本題共5小題，共77分)

15,已知非空集合/=|x|l+a<x<l-2a^,B=^x|x2+3x+2>0^(ae7?).

(1)若a=-l,求(QZ)c8；

(2)若“xw4”是“xe8”的充分不必要條件，求a的取值范圍.

【答案】(1)=2或—l4x<0或x〉3｝

(2)-2<o<0

【解析】

【分析】(1)解不等式，直接求解集合間的運算；

(2)根據充分必要性列不等式，求解參數取值范圍.

【小問1詳解】

當。=一1時，N={x|0?xV3},aN={x|x<0或x〉3},

B=卜,+3x+2?o1=1x|x<-2ngx>-1},

所以aZc3={xk<-2或一l4x<0或x>3}；

【小問2詳解】

由(1)得8={x|xV-2或x2-l},

又“xw4”是“xe8”的充分不必要條件，且/w0,

1+a>-1[1-2a<-2

所以，八C或〈八C,

1+aVl—2a1+aWl—2a

解得一2WaW0或ae0,

綜上所述：一2WaW0.

16.一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于10%,而且

這個比值越大，采光效果越好.

(1)若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為330加2,則這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米？

(2)若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果是變好了還是變壞了？

【答案】(1)這所公寓的窗戶面積至少為30多少平方米

(2)公寓的采光效果變好了

【解析】

【分析】對于(1),設地板面積為無，則窗戶面積為加X,其中10%<m<1,又x+mx=330,據此

可得答案；

rviY-A-t

對于(2),設增加的面積為"本題相當于比較絲01與加的大小.

x+t

【小問1詳解】

設地板面積為無，窗戶面積為加X,其中10%Wm<1.

330m330

x+33。"X

又由題有m+1m+1

1+11

m

330>_222_3O

則^r,1=,當且僅當"2=10%時取等號.

i+—1+——

m10%

即這所公寓的窗戶面積至少為30多少平方米.

【小問2詳解】

設增加面積為"由（1）,面積未增加前窗戶面積與地板面積比值為加，

面積增加后窗戶面積與地板面積比值為-------.

X+t

又由題可知10%<mv1,x>0,t>0.

mumx+tt-mt（1一機）/

X+tX+tX+t

即公寓的采光效果變好了.

17.已知關于x的不等式ad+》+2<o（aeR）.

（1）若ad+x+2<0的解集為｛x|x>l或x<b｝,求實數a,b的值；

（2）求關于x的不等式ax2+x+2<G+3的解集.

2

【答案】（1）a=-3,b=一一；（2）答案見解析.

3

【解析】

【分析】（1）根據不等式解集與對應方程根的關系列等量關系，解得結果;

（2）先因式分解，再根據根的大小關系分類討論，即可確定不等式解集.

【詳解】（1）由題意可知方程0必+》+2=0的一個根為1,且a<0,

???a+3=0,解得。=一3,此時不等式可化為-3必+X+2<0，

22

其解集為｛x|x>l或x<—半，對比可得6=-§.

（2）由題意可將不等式a/+x+2<ax+3化簡為ax?+（1—a）x—1<0,

因式分解，得（ax+l）（x-l）<0,

則①當a=0時，不等式可化簡為解得x<l；

②當a>0時，不等式可化簡為x+工(x—1)<0,解得—1<x<l；

Va)a

③當一l<a?時，不等式可化簡為x+工(x—1)〉0,解得x<l或x〉—L；

Va)a

④當a=-l時，不等式可化簡為-(x-<0,解得x#l；

⑤當a《l時，不等式可化簡為+—1)〉0,此時x>l或x<—

<a)a

綜上所述，當a=0時，不等式的解集為｛x|xvl｝；

當a>0時，不等式的解集為｛x|-L<x<l｝；

a

當-l<a<0時，不等式的解集為｛x|x<l或x>—4｝；

a

當a=-l時，不等式的解集為｛x|xrl｝；

當avl時，不等式的解集為｛x|x>l或x<-工｝.

a

【點睛】本題考查解含參數不等式、根據不等式解集求參數，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

18.某企業采用新工藝，把企業生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處

理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本j(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似的表

1,

示為y=5》-200X+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為100元.

(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最