2024-2025學年廣東省深圳高級中學東校區九年級（下）開學數學試卷

一.選擇題（共8小題，共計24分）

1.（3分）如圖1,古代叫“斗”，官倉、糧棧、米行、家里等都是必備的糧食度量用具.如圖2,下列圖

2.（3分）如圖，在矩形A3CZ）中，AB=5,AE垂直平分OB于點E,則2C的長為（）

3.（3分）將拋物線y=2（尤+3）2+1向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移后拋物線

的頂點坐標是（）

A.（5,-2）B.（1,-2）C.（-1,4）D.（-5,-2）

4.（3分）關于x的方程無（尤-1）=3（x-1）,下列解法完全正確的是（）

①兩邊同時除以（尤-1）得尤=3；

②整理得X?-4x=-3,b=-4,b1-4flc=28,；.：生衿=2土懺

③整理得/-4x=-3,配方得/-4x+2=-1,（x-2）2=-1,Ax-2=±1,

??XI=1,X2~~3;

④移項得：(％-3)(x-1)=0,.??％-3=0或％-1=01=1,X2=3.

A.①B.②C.④D.③④

5.（3分）在《九章算術》“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門二十步

有木，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何.”大意是：如圖，北門〃位于。G的中點，南門

K位于EF的中點，出南門14步到C,向西行1775步到B處正好看到A處的樹木（即點。在直線AB

上），若設小城的邊長為x步，則可列方程為（）

1

x

A20_x20x2-

x+14177520+x+14=1775

1

c20_.x20=x

-x+14=177520+x+14=1775

6.與〉=辦+°（oWO）在同一坐標系中的圖象可能是（）

7.（3分）某光敏電阻因光電效應使其阻值R與所受光照的強弱E（即光強，國際單位cd）之間成反比例

關系，其函數圖象如圖1所示，工作電路如圖2所示，激光發生器發出的激光強度恒定不變，光敏電阻

R上的光照強度減小，已知電源電壓U=8匕Ro=200.當閉合開關S時，下列說法錯誤的是（）

信息框

1.歐姆定律：導體中的電流，跟導體兩端的電壓成正比，跟導體的電阻成反比.

2.串聯電路中，電路的總電阻等于各電阻的阻值之和.

3.當電路中的電流達到0.L4時，報警控制器控制的報警器（圖中沒有畫出）報警.

A.當E=40cd時，R=15C

B.光照強度越大，電路中的電流越大

C.當報警器報警時，光照強度為15cd

D.煙霧濃度越大，光敏電阻的阻值越大

8.（3分）已知：菱形ABC。中，AB=J§，AC=2,AC與BD交于點。，以AE為對稱軸，折疊△ABE,

則BE的長為（）

A.3我,B.亞C.近D.

4224

二.填空題（共5小題，共計15分）

9.（3分）若a,0是一元二次方程/+3x-2=0的兩個根，貝U式邛=.

10.（3分）一個不透明的箱子里裝有4個紅球和若干個白球，每個球除顏色外其他完全相同，每次把箱子

里的球搖勻后隨機摸出一個球，通過大量重復試驗后，發現摸到白球的頻率穩定于0.8個.

11.（3分）如圖，將△ABC的邊與刻度尺的邊緣重合，點A,D,EF//AB,AF^l.Scm.

c

12.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=fcv+6與y軸交于點C螞在第一象限內的圖象交于點B,

x

連接O8AOBC=9,tanZBOC=A,則優的值是.

3

13.（3分）如圖，448（7為等腰三角形,48=47=5,以A8為斜邊作乙4。8=90°,tan/ABD］，

交A8于點E,則BE=.

三.解答題（共7小題，共計61分）

14.（5分）計算：2cos45°—5.tan30ocos30°+sin260°.

2

15.（7分）甲骨文是迄今為止中國發現的年代最早的成熟文字系統，是漢字的源頭和中華優秀傳統文化的

根脈，小明在了解了甲骨文后（這四張卡片分別用字母A,B,C,。表示，正面文字依次是文、明、

自、由，這四張卡片除正面內容不同外，其余均相同），現將四張卡片背面朝上，洗勻放好.

司助網區

ABCD

（1）小明從中隨機抽取一張卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率為.

（2）小明從中隨機抽取一張卡片不放回，小亮再從中隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法計

算兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率.

16.(8分)綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度，如圖，已知CD=6m,CD的坡度為z=l：如,

C,A在同一條水平直線上.某學習小組在觀景臺C處測得塔頂部2的仰角為45。，在觀景臺。處測

得塔頂部2的仰角為27°.

(1)求。￡的長；

(2)求塔的高度.(結果保留個位)

(參考數據：tan27°-0.5,百-1.7)

(1)請你用無刻度的直尺和圓規，作線段AC的垂直平分線，分別交A。、8C于點M、N(不寫作法、

保留作圖痕跡)；

(2)判斷四邊形AMCN的形狀，并說明理由；

探索果園土地規劃和銷售利潤問題

素材1某農戶承包了一塊長方形

果園A8CD,圖1是果園的

平面圖，其中AB=200米,

上下兩條橫向道路的寬度

都為2x米，左右兩條縱向

道路的寬度都為尤米

出于貨車通行等因素的考

慮，道路寬度x不超過12

米，且不小于5米.

素材2該農戶發現某一種草莓銷

售前景比較不錯，經市場調

查，草莓培育一年可產果，

每月可銷售5000平方米的

草莓；受天氣原因，決定降

價，若每平方米草莓平均利

（圖2）

潤下調5元

問題解決

任務1解決果園中路面寬度的設（1）請直接寫出縱向道路寬度X的取值范圍.

計對種植面積的影響.（2）若中間種植的面積是44800切2,則路面設置的

寬度是否符合要求.

任務2解決果園種植的預期利潤（3）若農戶預期一個月的總利潤為52萬元，則從

問題.購買草莓客戶的角度應該降價多少元？

（總利潤=銷售利潤-承

包費）

19.（11分）請閱讀信息，并解決問題:

問題琴橋檢修后需要更換吊桿及相關裝飾品

查詢信息寧波有許多橋，有一座橫跨鄲州和海曙的橋，因其外形酷似豎琴稱為“琴橋”.琴橋

的橋拱固定在橋面上（俗稱“琴弦”）琴橋全長120米，拱高25米.

處理信息如圖是琴橋的主視圖，A,2分別表示是橋的起點和終點，橋拱可看成拋物線，。位

于線段AB上，且一根琴弦固定在拱的對稱軸。以處，每側各8根.記

離拱端C最近的一根為第1根，從左往右，第3根，…。8為第9根，…

測量數據測得上橋起點A與拱端C水平距離為20米，最靠近拱端C的“琴弦”EF高9米，

EF與OH之間設置7根“琴弦”，記為根米.

解決問題任務1：建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式；

任務2：求琴弦EF與拱端C的水平距離CE及m的值.

任務3：若需要在琴弦EF與O”之間垂直安裝一個如圖所示高為17m的

高音譜號藝術品，藝術品底部在橋面上，頂部恰好扣在拱橋上邊緣

20.（11分）【教材呈現】（1）如圖1,在同一平面內，點A為公共頂點，NA4C=NG=90°,將△”G

繞點A旋轉,邊AF

D,E（點。不與點8重合，點E不與點C重合），則結論8E*Cr）=AB2是否成立（填“成立”

或“不成立”）；若成立，請你證明，請說明理由.

【類比引申】（2）如圖2,在正方形中，兩邊分別與2￡）,BC交于點、E,F,求證：△ADE's4

ACF；

【拓展延伸】（3）如圖3,菱形ABCD的邊長為12cm,若NEAF的另一邊與3。相交于點E,且滿足/

EAF=ZADB.若BF=9cm

圖2

圖3

2024-2025學年廣東省深圳高級中學東校區九年級（下）開學數學試卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案CCDCBCCA

一.選擇題（共8小題，共計24分）

1.（3分）如圖1,古代叫“斗”，官倉、糧棧、米行、家里等都是必備的糧食度量用具.如圖2,下列圖

形是“斗”的俯視圖的是（）

故選：C.

2.（3分）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,AE垂直平分于點E,則8C的長為（）

A.5B.5近C.573D.10

【解答】解：???四邊形A8CL)是矩形，

.?.A0=20=C0=。。，

垂直平分08,

：.AB=AO,

C.AB^AO^BO,

...△A0B是等邊三角形，

：.ZBAC=60°,

：.BC=y[3AB=5yf3,

故選：C.

3.(3分)將拋物線y=2(尤+3)2+1向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移后拋物線

的頂點坐標是()

A.(5,-2)B.(1,-2)C.(-1,4)D.(-5,-2)

【解答】解：將拋物線y=2(x+3)6+1向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度即可得到拋

物線y=2(x+3+3)2+1-2,即y=2(尤+5)7-2,

其頂點坐標是(-5,-3).

故選：D.

4.(3分)關于尤的方程尤(x-1)=3(x-1),下列解法完全正確的是()

①兩邊同時除以(尤-1)得尤=3；

1

②整理得/-4x=-3,"."a=l,b=-4,b-4ac=28,x-些尹2±O

③整理得7-4%=-3,配方得x2-4%+2=-1,(x-2)2=-1,.\x-2—±1,

??=1,X2=3;

④移項得：(x-3)(x-1)=0,-3=0或％-1=01=1,X2=3.

A.①B.②C.@D.③④

【解答】解：①不符合解一元二次方程的方法，故①錯誤；

B.c=3不是-3；

C.配方時，故③錯誤；

D,x(%-6)=3(x-1),

x(x-7)-3(x-1)=7,

(x-1)(%-3)=3,

'.x-3=0或x-5=0,

；.xi=8,X2=3.故④正確.

故選：C.

5.（3分）在《九章算術》“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門二十步

有木，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何.”大意是：如圖，北門H位于。G的中點，南門

K位于EF的中點，出南門14步到C,向西行1775步到B處正好看到A處的樹木（即點。在直線AB

上），若設小城的邊長為無步，則可列方程為（）

A20=xB20=2

-x+14=1775,20+X+14=1775

工

C20二萬xD20=x

-x+14=1775'20+X+14=1775

【解答】解：設小城的邊長為尤步，根據題意，

2

得20二.x

'20+X+14~1775'

故選：B.

6.（3分）函數丫="2-。與>=辦+。（aWO）在同一坐標系中的圖象可能是（）

A與E4

二

c4，.4

【解答】解：當。>0時，函數〃的圖象開口向上,頂點坐標為（5,y=ax+a（〃W0）的圖象

經過第一、二，故選項A；

當a<0時，函數>=°尤8-。的圖象開口向下，頂點坐標為（0,y—ax+a（aWO）的圖象經過第二、三，

故選項B錯誤；

故選：C.

7.（3分）某光敏電阻因光電效應使其阻值R與所受光照的強弱E（即光強，國際單位cd）之間成反比例

關系，其函數圖象如圖1所示，工作電路如圖2所示，激光發生器發出的激光強度恒定不變，光敏電阻

R上的光照強度減小，已知電源電壓U=8匕Ro=2OQ.當閉合開關S時，下列說法錯誤的是（）

信息框

1.歐姆定律：導體中的電流，跟導體兩端的電壓成正比，跟導體的電阻成反比.

2.串聯電路中，電路的總電阻等于各電阻的阻值之和.

3.當電路中的電流達到0.1A時，報警控制器控制的報警器（圖中沒有畫出）報警.

A.當E=40cd時，R=15Q

B.光照強度越大，電路中的電流越大

C.當報警器報警時，光照強度為15cd

D.煙霧濃度越大，光敏電阻的阻值越大

【解答】解：根據題意可知，阻值R與所受光照的強弱E（即光強，

設R與E之間的函數解析式為R=K,

E

把（30,20）代入解析式得：左=600,

與E之間的函數解析式為R=皿，

E

.,.當E=40cd時，R=6。。,故A正確；

40

:阻值R與所受光照的強弱E（即光強，國際單位cd）之間成反比例關系,

越大R越小，

,：I=U,

R+R。

越小/越大，故8正確；

:當電路中的電流達到0.4A時，報警控制器控制的報警器，

...R+Ro=-^-=8O,

7.1

AT?=80-20=60,

:.E=6。。,=10（cd）；

60

:當煙霧濃度越大，E越小，故。正確，

故選：C.

8.（3分）已知：菱形ABC。中，AB=J§，AC=2,AC與5D交于點。，以AE為對稱軸，折疊△ABE,

則BE的長為（）

A.3近B.亞C.近D.

4224

【解答】解：：四邊形ABC。為菱形，AC=2,

：.AB=AD,AC±BD1-AC=\,OB=OD^^^)Q,

85

在RtAAOB中，08=7AB2-0A2=7(V3)2-14=近，

:.BD=2OB=3V2.

根據折疊的性質可得，A2=AEL/BAF，

3

???ZAFD=ZADF,

'：AB//CD,

：.ZBAF=ZAFD=ZADF,

：.1ZBAF=^-,

22

:./BAE=/BDA,

,：NABE=/DBA,

：.AABE^ADBA,

...BEAB,即BE_,

*AB-BD'V3~272?

4

故選：A.

二.填空題（共5小題，共計15分）

9.（3分）若a,0是一元二次方程/+3x-2=0的兩個根，則a+B=-3.

【解答】解：對于W+3x-8=0,系數“為1,

Va,0是一元二次方程：+3尤-2=2的兩個根，

；?a+8=--=-3-

a

故答案為：-3.

10.（3分）一個不透明的箱子里裝有4個紅球和若干個白球，每個球除顏色外其他完全相同，每次把箱子

里的球搖勻后隨機摸出一個球，通過大量重復試驗后，發現摸到白球的頻率穩定于個.

【解答】解：???通過大量重復試驗后發現，發現摸到白球的頻率穩定于0.8,

發現摸到白球的頻率穩定于4.8,

設白球的個數有尤個，

根據題意，得：

x+4

解得x=16,

經檢驗x=16是分式方程的解，

估計箱子里白球的個數為16.

故答案為：16.

11.（3分）如圖，將△ABC的AB邊與刻度尺的邊緣重合，點A,D,EF//AB,AF=1.8cm3cm.

C

llllllllllllllllllll[llllllllllllllllllllllllllllll

012345678910

【解答】解：由題意得，AD—4cm,BD—6cm,

由條件可知：四邊形AOEF是平行四邊形，

；.EF=AD=5cm,DE—AF—1.8cm,

由平行線可知：△BDEsgAC,

???D-E=--B-D,an----3-.-8--=--6-,

ACAB1.5+CF10

解得CF=1.7,

經檢驗，CF=1.2是原方程的解，

：.AC^CF+AF^5cm,

故答案為：3cm.

12.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，直線>=履+6與y軸交于點C螞在第一象限內的圖象交于點B,

x

連接OBAOBC=9,tanZB<9C=l,則機的值是27.

【解答】解：：直線y=fcc+6與y軸交于點C,當x=O時,

.?.點C的坐標為（3,6）,

；.OC=6,

過8作軸于。，

../1

,tan/BOCf

O

.BD3

??=1，

0D3

：.OD=9,

.,.點B的坐標為（6,9）,

:反比例函數圖象在第一象限內的圖象經過點8,

???m=3X4=27.

故答案為：27.

13.（3分）如圖，^4區為等腰三角形*8=4?=5,以48為斜邊作1id&。8,/4。8=90°,1211/四口="1，

交A3于點E,則BE=業

-17'

【解答】解：在RtZ\AB。中，tan/ABZ）=坦=工

BD2

VAB=4,

AAD=V5，BD=2辰,

過。作于點凡

則。尸=膽儂_=2,

AB

.-.BF=^BD2_DF4=4,

：.AF=1,

過A作AMLBC于點M,過C作CGLAB于點G,

：.BM=CM=^BC=4,

5

?■?AM=VAB2-BM6=3>

.rr-BC'AM_24

AB5

在RtZXACG中，^G=VAC6-CG2=-^>

.,.FG=AF+AG=12,

5

由輔助線的作法可知/■DFE=NCGE=90°,

又,：4DEF=4CEG,

:.ADFEsACGE,

?EFDF=2=5

"EG=CG2412，

5

：.EF=-^-FG=^,

1717

：.BE=BF+EF=4+^=3^..

1717

三.解答題（共7小題，共計61分）

14.（5分）計算：2cos45°_^,tan30°cos30°+sin260°.

2

【解答】解：原式=2x41-3x1x1+（返）5

72352

=&-3+3

44

='瓜

15.（7分）甲骨文是迄今為止中國發現的年代最早的成熟文字系統，是漢字的源頭和中華優秀傳統文化的

根脈，小明在了解了甲骨文后（這四張卡片分別用字母A,B,C,。表示，正面文字依次是文、明、

自、由，這四張卡片除正面內容不同外，其余均相同），現將四張卡片背面朝上，洗勻放好.

同闞闿回

ABCD

（1）小明從中隨機抽取一張卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率為1.

—4—

（2）小明從中隨機抽取一張卡片不放回，小亮再從中隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法計

算兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率.

【解答】解：（1）共有文、明、自、由四張卡片，

抽取卡片上的文字是“文”的概率為工，

4

故答案為：工；

4

（2）畫樹狀圖如解圖,

始

-BCDACDABDABC

由樹狀圖知，共有12種等可能的結果，

則兩人抽取的卡片恰好組成“文明”一詞的概率為2=4.

126

16.（8分）綜合與實踐活動中，要利用測角儀測量塔的高度，如圖，已知CD=6m,Q）的坡度為=1：加，

C,A在同一條水平直線上.某學習小組在觀景臺C處測得塔頂部2的仰角為45°,在觀景臺。處測

得塔頂部2的仰角為27°.

（1）求DE的長；

（2）求塔的高度.（結果保留個位）

（參考數據：tan27°^0.5,愿仁1.7）

在Rt/YDEC中，tan/OCE=￡^=-J=>=近,

CEV33

:.NDCE=30°,

'：CD=6m,

：.DE=2-CD=3(m)娓CD=3M，

2

.?.DE的長為4m；

(2)過點。作。以LAB,垂足為R

B

由題意得：DF=EA,。￡=曲=3"2,

設AC=_r〃z,

,:CE=3巫m,

；.nF=AE=CE+AC=(無+3日)m,

在RtzXACB中，ZBCA=45°,

.'.AB=AC,tan45°—x(m),

在/中，/BDF=27°,

:.BF=DF,tan27°仁5.5(x+3近)m,

\"BF+AF=AB,

.'.0.5(^+5^3)+3=尤，

解得：x=2?+6-ll,

...塔A3的高度約為11m.

17.(9分)如圖，在nABC。中，AC是對角線.

(1)請你用無刻度的直尺和圓規，作線段AC的垂直平分線，分別交A。、BC于點M、N(不寫作法、

保留作圖痕跡)；

(2)判斷四邊形AMCN的形狀，并說明理由；

(3)若AC_LA8,BC=1Q,則四邊形AMCN的周長為20.

【解答】解：(1)圖形如圖所示:

A'D

(2)結論：四邊形AMCN是菱形.

理由：?.?四邊形ABC。使得平行四邊形，

J.AD//BC,

:./MAO=/NCO,

：MN垂直平分線段AC,

：.OA^OC,MA=MC,

在△AOM和△CON中，

,ZMAO=ZNCO

<OA=OC，

ZA0M=ZC0N

:.△AOM卷ACON(ASA),

：.AM=CN,

\'AM//CN,

四邊形AMCN是平行四邊形，

'：MA=MC,

，四邊形AMNC是菱形；

(3)VABXAC,MNLAC,

：.AB//ON,

：OA=OC,

：.BN=CN,

:.AN=LBC=7,

2

落在AMCN的周長為20.

故答案為：20.

18.(10分)根據以下素材，完成探索任務.

探索果園土地規劃和銷售利潤問題

素材1某農戶承包了一塊長方形

果園A8CD,圖1是果園的

平面圖，其中AB=200米,

上下兩條橫向道路的寬度

都為2x米，左右兩條縱向

道路的寬度都為尤米

出于貨車通行等因素的考

慮，道路寬度x不超過12

米，且不小于5米.

素材2該農戶發現某一種草莓銷

售前景比較不錯，經市場調

查，草莓培育一年可產果，

每月可銷售5000平方米的

草莓；受天氣原因，決定降

價，若每平方米草莓平均利

（圖2）

潤下調5元

問題解決

任務1解決果園中路面寬度的設（1）請直接寫出縱向道路寬度X的取值范圍.

計對種植面積的影響.（2）若中間種植的面積是44800切2,則路面設置的

寬度是否符合要求.

任務2解決果園種植的預期利潤（3）若農戶預期一個月的總利潤為52萬元，則從

問題.購買草莓客戶的角度應該降價多少元？

（總利潤=銷售利潤-承

包費）

【解答】解：（1）根據題意得：5WxW12；

(2)根據題意得：(300-2%)(200-6X2x)=44800,

整理得：/-200x+1900=5,

解得：xi=10,%2=190（不符合題意，舍去）,

：7W10W12,

???路面設置的寬度符合要求；

（3）設每平方米草莓平均利潤下調y元,則每平方米草莓平均利潤為（100-y）元工X500=（5000+100y）

5

平方米草莓，

根據題意得：（100-y）（5000+100y）-20000=520000,

整理得：/-50y+400=7,

解得：＞1=10,”=40,

又：要讓利于顧客，

：.y=40.

答：每平方米草莓平均利潤下調40元.

19.（11分）請閱讀信息，并解決問題：

問題琴橋檢修后需要更換吊桿及相關裝飾品

查詢信息寧波有許多橋，有一座橫跨堇B州和海曙的橋，因其外形酷似豎琴稱為“琴橋”.琴橋

的橋拱固定在橋面上（俗稱“琴弦”）琴橋全長120米，拱高25米.

處理信息如圖是琴橋的主視圖，A,2分別表示是橋的起點和終點，橋拱可看成拋物線，。位

于線段AB上，且AC=2D一根琴弦固定在拱的對稱軸08處，每側各8根.記

離拱端C最近的一根為第1根，從左往右，第3根，…OH為第9根，…

測量數據測得上橋起點A與拱端C水平距離為20米，最靠近拱端C的“琴弦”EF高9米，

EF與OH之間設置7根“琴弦”，記為m米.

解決問題任務1：建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式；

任務2：求琴弦EF與拱端C的水平距離CE及m的值.

任務3：若需要在琴弦EF與之間垂直安裝一個如圖所示高為17m的

高音譜號藝術品，藝術品底部在橋面上，頂部恰好扣在拱橋上邊緣

【解答】解：任務1:

如圖，以橋所在的直線為無軸,

則點”為原點,

由題意得，。（0,CH=1204-6-20=40,

則點C的坐標為（-40,0）,

令拋物線的解析式為y=ax2+25,

將點C（-40,8）代入y=a7+2