2024-2025學年廣東省惠州市高一上學期第一次月考數學學情

檢測試題

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試

題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

0：X/x>0,x+—>2、

1.已知命題》，則「以為（）

A.Vx>0,xH—V2B.\/x〈0,xH—42

xX

C.3x<0,xH—W2D.3x>0,xH—<2

XX

2.已知—lWxWl,2VyW3,則x+2y的取值范圍是（）

A.1<x+2y<4B.3<x+2j<7C,2<x+2v<3D.

4<x+2y<6

3.已知集合。={x|l<x<9,xeN},^={4,5,6}則（）

A.2e/B.3^AC.6eAD.7e4

4.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+c

C.ab1>ac1D.ab>ac

5.若x,JGR,貝上X>V”的一個充分不必要條件可以是（）

A.同>回B.x2>y2C.^>1D.x-y>l

6.已知?："4<》<。+4應：（》-2）（%-3）<0,若。是4的必要條件，則實數。的取值范

圍是（）

A.B,[-1,6]

C（-oo,l）U[6,+co）D.[6,+oo）

7.若a>0,b>Q,ab=4a+b+12,則ab的取值范圍是（）

A|x|0<x<18}B.1x|0<x<36}

C.|x|x>18}D.1x|x>36}

8.設集合/={1,2,3},5={0,1,2,4）,定義集合5={（見加4€//€瓦（7+6>仍},則

集合S中元素的個數是（）

A.5B.6C.8D.9

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.（多選）假設“物理好數學就好”是真命題，那么下列命題正確的是（）

A.物理好數學不一定好B.數學好物理不一定好

C數學不好物理一定不好D.物理不好數學一定不好

10.已知不超過5的實數組成的集合為。=亞+百，貝I（）

A.aeMB.a+l^M

C.-EMD.a2gM

a

11.已知正數x,V滿足x+2y=l,則下列說法正確的是（）

B.一+4/的最小值為g

A.砂的最大值為一

8

13

C.6+目的最大值為26D.一+二的最小值為7+2灰

%y

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.設a/eR,P={2,—a},°={3,6},若P=Q,則——公=.

13.2024屆歐洲杯以西班牙奪冠圓滿結束，小明統計了其所在班級50名同學中支持德國，西

班牙，英格蘭的人數，每人都至少支持其中一個隊伍，有15人這三支隊伍都支持，18人不支

持德國，20人不支持西班牙，16人不支持英格蘭，則同時支持兩支隊伍的同學的人數為

14.設aeR,若x>0時，均有［（a—2）x—1］（一一"一。成立，則實數a的取值集畬

為_____

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（1）已知集合/={x|左=o#eR},討論A中元素個數與左的范圍；

（2）設0=1<,已知集合/={x|-2<x<7},非空集合8={x［加+lWx<2加一1},設

p:xeA;q:xeB,若夕是4的必要不充分條件，求加的范圍.

16.已知不等式紅耳■<1的解集為A,不等式|x-a|>l（a€R）的解集為3.

（1）求集合為z；

（2）若（那4）c（VB）=0,求a的取值范圍.

17.已知一矩形紙片ABCD（其中43>4。）的周長為10岳加ABC沿4c向△4DC

折疊，45折過去后交。。于點P.如果改變的長度（周長保持不變），△/￡>尸的面積是否

存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，說明理由.

18.某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果

蛋糕單價為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現有兩種購買方案：

方案一：薄脆百香果蛋糕購買數量為a個，朱古力蜂果蛋糕購買數量為6個，花費記為，；

方案二：薄脆百香果蛋糕購買數量為6個，朱古力蜂果蛋糕購買數量為a個，花費記為5.

（其中y〉x>4,6>a>4）

（1）試問哪種購買方案花費更少？請說明理由；

（2）若a,b,x,y同時滿足關系y=2x—2Jx—4,Z?=2aT-----，求這兩種購買方案花費

a-4

的差值S最小值（注：差值8=花費較大值-花費較小值）.

19.已知有限集/=(〃之2,〃eN),若%+%+—+%=aia2---an,則稱A為

“完全集”.

（1）判斷集合｛-1,-應，后-1,2應+2｝是否為“完全集”，并說明理由；

（2）若集合｛。，國為“完全集”，且。，6均大于0,證明：a,。中至少有一個大于2；

（3）若N為“完全集”，且Z^N*,求A.

2024-2025學年廣東省惠州市高一上學期第一次月考數學學情

檢測試題

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

L答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內.寫在試題卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

/7：Vx>0,x+—>2

1.已知命題X,則/為()

A.Vx>0,x+—<2B.W0,xH—42

xx

C.3x<0,xH—42D.3x>0,x+—<2

xx

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意，結合全稱量詞命題與存在性量詞命題的關系，準確改寫，即可求解.

【詳解】根據全稱量詞命題與存在性量詞命題的關系，可得：

命題夕：\/%>0,%+J>2的否定是三%>0,X+!《2.

XX

故選：D

2.已知一1<%<1,2〈歹<3,則x+2y的取值范圍是（）

A.1<x+2)/<4B.3<x+2j<7C.2<x+2y<3D.4<x+2y<6

【答案】B

【解析】

【分析】求出2〉的取值范圍，求出x+2y的取值范圍.

【詳解】由題意得4<2y<6,所以3<x+2y<7.

故選：B.

3.已知集合。={吊1<》<9,n€1^},?4={4,5,6},則（）

A.2eAB.3e/C.6eAD.

【答案】A

【解析】

【分析】根據集合補集的定義求出集合4然后根據元素與集合的關系即可得解

【詳解】［7={x|l<x<9,xeN}={2,3,4,5,6,7,8},

又Q4={4,5,6},所以4={2,3,7,8},

所以2e/,3eA,6^A,7eA,

故選：A

4.a,b,c^R,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+c

C.ab2>ac2D.a'b>a1c

【答案】B

【解析】

【分析】根據不等式的性質可判斷AB的正誤，根據特例可判斷CD的正誤.

【詳解】對于A,若c<3<0,則/VC2,選項不成立，故A錯誤;

對于B,因為b>c,故Y+bAY+c，故B成立，

對于C、D,若。=0,則選項不成立，故C、D錯誤；

故選：B.

5.若無，yeR,貝產%>歹”的一個充分不必要條件可以是（）

A.|x|>|j|B.x2>y2C.->1D.x-y>\

【答案】D

【解析】

【分析】根據充分必要條件的定義一一判斷求解.

【詳解】對A,由國>3,取x=—2/=1,則x<J,

由x〉V,取x=l,y=—2,貝

所以國>卜|是x>y的既不充分也不必要條件，A錯誤;

對B,由x2〉>2取x=—2,y=1,則x<y,

由x>V,取x=l,y=—2,則/</,

所以/〉/是x>y的既不充分也不必要條件，B錯誤；

對C,由一>1,取N=-2,歹=一1,則x<y,

y

x

由取x=i/=-2,則一<1,

y

所以2>1是x>y的既不充分也不必要條件，C錯誤；

y

對D,因為所以x〉y+l>y,即x>y,

當x>y時，取x=2.5,y=2,則x—y<l,

所以x-y〉l是“x>y”的一個充分不必要條件，D正確；

故選:D.

6.已知夕："4<》<。+4應：(%-2乂兀-3)<0,若P是4的必要條件，則實數。的取值范圍是()

A.(-co,-l]B.[-1,6]

C.(-oo,l)U[6,+oo)D,[6,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】化簡命題/再利用必要條件的定義列式求解即得.

【詳解】解不等式(x—2)(》一3)<0,得2<x<3,即q:2<x<3,

a—4V2

由P是q的必要條件，得〈”.，解得—

a+4>3

所以實數a的取值范圍是[T6].

故選：B

7.若a>0,b>Q,ab=4a+b+X2,則<26的取值范圍是（）

A.{x[0<x<18}B,{x[0<xV36}

C.{x|x218}D.\x\x>36]-

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意利用基本不等式可得ab-4面-1220，以而為整體，解一元二次不等式即可.

【詳解】因為a>0,b>0,由基本不等式可得ab=4a+b+122+12=+12，

即ab—4A/^K—1220，解得N6或&W-2(舍去)，即。6之36，

b=4afa=3

當且僅當〈,?/，即，，c時，等號成立，

ab=36[b=12

故。6的取值范圍是{x|x?36}.

故選：D.

8.設集合幺={1,2,3},5={0,1,2,4},定義集合5={36)|。€4北民。+6〉仍},則集合S中元素

的個數是()

A.5B.6C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】先根據條件aeZ,b&B,對a,b進行取值，再驗證a+b>ab是否成立，滿足條件的數對

即為集合S的元素，從而即可求解.

【詳解】?.?集合4={1,2,3},5={0,1,2,4},aeA,beB,

可取1,2,3,b可取0,1,2,4.

(1)當Q=1時，

b=0,由a+b=l,ab=0,a+b>ab成立,數對(1,0)為S的一個元素；

b=1,由a+b=2,ab=lfa+b>ab成立,數對(1,1)為S的一個元素；

b=2,由Q+6=3,ab=2,成立，數對(1,2)為S的一個元素；

b=4,由Q+6=5,ab=4,a+b>ab成立,數對(1,4)為S的一個元素；

(2)當a=2時,

b-0,由a+6=2,ab=O,a+b>ab成立，數對（2,0）為S的一個元素;

b=l,由a+6=3,ab=2a+b〉ab成立,數對（2,1）為S的一個元素;

b=2由a+6=4,ab=4,a+6>aZ?不成立，數對（2,2）不是s的元素;

6=4,由a+6=6,ab=8,a+b>ab不成立，數對（2,4）不是s的元素;

（3）當a=3時，

6=0,由a+b=3,ab=0,a+b>ab成立,數對（3,0）為S的一個元素；

b=\,由a+b=4,ab=3,a+b>ab成立,數對（3,1）為S的一個元素；

b=2,由a+Z?=5,ab=6,a+b>ab不成立，數對（3,2）不是s的元素;

6=4,由a+6=7,ab=12,a+6>ab不成立，數對（3,4）不是s的元素.

綜上,S的元素有八個，分別為：（1,0）,（1,1）,（1,2）,（1,4）,（2,0）,（2,1）,（3,0）,（3,1）.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是理解元素與集合的關系，并且分類討論時要做到不重復，不遺漏.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.（多選）假設“物理好數學就好”是真命題，那么下列命題正確的是（）

A.物理好數學不一定好B.數學好物理不一定好

C.數學不好物理一定不好D.物理不好數學一定不好

【答案】BC

【解析】

【分析】根據已知命題得出A,D錯誤，再轉化B,C為集合關系即可得出命題為真.

【詳解】設。：物理好，q：數學好，由題意，“若P,則中'為真命題，A,D不正確.

如果將物理好的學生定義為集合尸，數學好的學生定義為集合。,

則尸三。，或許存在xeQ,但xe尸，即數學好物理不一定好，B正確；

設。為全集，則?。口6尸，因此可以說數學不好的物理一定不好，C正確;

故選：BC.

10.已知不超過5的實數組成的集合為口=拒+6，貝I」（）

A.a&MB.a+\^M

1”,

2

C.-eMD.a^M

a

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據題意，利用元素與集合的關系，逐個分析判斷即可

【詳解】對于A,因為口=虛+6<"=4<5，所以aeM,所以A正確，

對于B,因為。+1=拒+6+1<"+"+1=4+1=5，

所以a+leM,所以B錯誤，

__11n_B

對于C,因為Q=V^+V^，所以———r=7=—1=---1=1=1=^—V3-V2<5,

aV2+V3（V3+A/2）（V3-V2）

所以一eM,所以C正確，

a

對于D,因為a=J^+G，所以/=（也+道）2=5+2庭〉5,

所以/仁〃，所以D正確.

故選：ACD

11.已知正數無，y滿足x+2y=l,則下列說法正確的是（）

A.孫的最大值為'B.工2+例2的最小值為1

82

[3

C&+回的最大值為2cD.一+二的最小值為7+2指

%y

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用已知條件、基本不等式逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A：丁x>0,J>0,x+2y=l.

L3.

x-2y<

4-8

x=2y11

當且僅當〈二，，即x=—,y=—,取“=”，；.A正確;

x+2y=l2-4

對于B：x2+4y2=(x+2y)2-4xy=1-4xy,由(1)知中工—，-4xy>.

82

%2+4y2=1—4xy1——=—B正確；

對于c：+y/2y^=x+2y+2-Jx-2y=1+2dx?2y<l+x+2y=1+1=2.

：.五十0，；.C錯誤;

對于D：-+—(x+2)/)=1+—+—+6=7+—+—>7+276,

y)xyxy

2y3x(2y2=3x2

當且僅當q=——，即〈”，取“=”，；.D正確.

xy[x+2y=l

故選：ABD.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.設a,6eR,P={2,-°},。={3,6},若尸=。，則/一"=.

71

【答案】—

8

【解析】

【分析】根據題意，利用集合相等，列出方程組，求得6的值，代入即可求解.

【詳解】由題意，集合尸={2,-a},0={3,6},

[—a=3

因為夕=。，可得〈7。，解得。=一31=2,

b=2

171

所以=(-3)2_2-3=9__=一

88

71

故答案為：--.

8

13.2024屆歐洲杯以西班牙奪冠圓滿結束，小明統計了其所在班級50名同學中支持德國，西班牙，英格蘭

的人數，每人都至少支持其中一個隊伍，有15人這三支隊伍都支持，18人不支持德國，20人不支持西班

牙，16人不支持英格蘭，則同時支持兩支隊伍的同學的人數為

【答案】16人

【解析】

【分析】不妨設支持德國與西班牙的有無人，支持德國與英格蘭的有，人，支持西班牙與英格蘭的有z

人，只支持德國、西班牙、英格蘭的人數分別為a,b,c,結合Venn圖列式計算即得.

【詳解】不妨設支持德國與西班牙的有無人，支持德國與英格蘭的有〉人，支持西班牙與英格蘭的有z

人，

只支持德國、西班牙、英格蘭的人數分別為。，b,c,如圖,

則。+6+。+x+^+2=50-15=35,由18人不支持德國，得b+c+z=18,

由20人不支持西班牙，16人不支持英格蘭，得a+c+y=20,a+b+x=16,

則2(a+b+c)+x+y+z=54,因此x+y+z=2x35-54=16,

所以同時支持兩支隊伍的同學的人數為16人.

故答案為：16人

14.設aeR,若x>0時，均有［("2卜一1］(/一辦―1"0成立，則實數a的取值集合為

3+V3

【答案】

2

【解析】

【分析】可得aW2時，不等式不恒成立，當a>2,》=,必定是方程％2-依-1=0的一個正根，

a-2

由此可求出a.

【詳解】當aW2時，則(。―2)x—1<0,由于=辦一1的圖象開口向上，

則［(a—2)x——ax—1)N0不恒成立，

當a>2時，由(a—2)x—1=0可解得x=^—>0,

Q—2

而方程―依―1=0有兩個不相等的實數根且異號,

所以，X=,必定是方程—依―1=0的一個正根,

a-2

則Vl=0，?.-a>2,則可解得。=3±走,

(a_2)(Q—2)2

故實數a的取值集合為［注8>.

故答案為：<

【點睛】關鍵點點睛:

本題考查不等式的恒成立問題，解題的關鍵是先判斷aW2,再得出當a>2,x=—必定是方程

a—2

x2-ax-l=O的一個正根.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（1）已知集合/=x?-x+左=0,左eR},討論A中元素個數與左的范圍；

（2）設0=區，已知集合/={x|—2<x<7},非空集合8={x|M+—1},設

p:xeA;q:x&B,若。是4的必要不充分條件，求切的范圍.

【答案】（1）答案見解析；（2）2<m<4.

【解析】

【分析】（1）根據條件，將問題轉化成求方程必一%+左=0解（不同解）的個數，即可求解；

2m-1<7

（2）根據條件得到8是A的真子集，從而建立不等式組機+12-2（2機-1W7與機+122等號不

m+l<2m-1

同時成立），即可求解.

【詳解】（1）易知，集合A元素個數，等價于方程/—x+左=0解（不同解）的個數，

若4=0,即A中元素個數為0,則有A=廿一4左<0,解得左〉工；

4

若集合A中的元素有且僅有一個，則有A=12一4左=0，解得左=1；

若A中元素有2個，則A=12—4E>0，解得左<」.

4

綜上，當A中元素個數為0個時，k>~；

4

當A中元素個數為1個時，k=\-

4

當A中元素個數為2個時，k<-.

4

(2)由題可得3是A的真子集，且BW0,

2m—1<7

所以《冽+12—2(2加—147與加+122等號不同時成立)，解得24加〈4.

m+l<2m-1

16.已知不等式矍3<1的解集為A,不等式|x—4>l(aeR)的解集為3.

(1)求集合仇/；

(2)若(dZ)c(d8)=0,求a的取值范圍.

【答案】(1)。幺="|x4—4或x21}

(2){a|-3<a<0}

【解析】

【分析】(1)直接利用分式不等式的求解方式求解，計算即可；

(2)利用絕對值不等式的求解方式求解，然后利用集合的運算以及集合之間的關系求解參數范圍即可.

【小問1詳解】

由互早<］得生土3—1<o,

xTx-1

2x+3—x+1

即------------<0,

x—\

即巖<0,所以(x+4)(x—1)<0,解得—4<X<1,

所以4={x|—4<x<l},

所以?Z={x|xV-4或x21}.

【小問2詳解】

不等式I%—可>1,解得X>〃+1或X<Q-1,

則=Vx<a+1},

因為=0,又因為。一1<〃+1,則(Qj5)w0,

所以{"a、、"4，解得一3<a<0,

所以a的取值范圍為{al—3<a<0}.

17.已知一矩形紙片4BCZ)(其中A8〉/。)的周長為10j5c加.將V4BC沿NC向△ZDC折疊，AB

折過去后交。C于點尸.如果改變4s的長度（周長保持不變），△/￡＞尸的面積是否存在最大值？若存在,

求出其最大值；若不存在，說明理由.

【答案】存在,

【解析】

【分析】設|4B|=x,，。|=5也—x,|尸C|=a,根據題設得到口尸|=5a—至，從而有

JC

利用基本不等式，即可求解?

【詳解】由題意可知，矩形的周長為io底，

設|/8|=x,貝|以q=5行一X,設忸C|=a,則⑷尸|=x-a,

由題知NC45=NPC4=NP4C,得到卜尸|=。，

而為直角三角形，由勾股定理可得4=（%—。）2+（5也—x）2,

整理得到"x+絲—5拉，所以|￡＞P|=5啦—空,

JCX

=|xKx|DP|=1（5V2-x）f5V2-^

所以S&ADP

75還［+史卜至—至xlO4—25后

~22x）222

當且僅當q=x,即x=5時取等，此時|2。|=5&—5,滿足|48］＞以。］,

X

故存在最大值,當［48|=5cm時，△ADP最大面積為

18.某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為

x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現有兩種購買方案：

方案一：薄脆百香果蛋糕購買數量為。個，朱古力蜂果蛋糕購買數量為6個，花費記為H；

方案二：薄脆百香果蛋糕購買數量為6個，朱古力蜂果蛋糕購買數量為a個，花費記為S2.

(其中y>x>4,b>a>4)

(1)試問哪種購買方案花費更少？請說明理由；

(2)若a,b,x,y同時滿足關系了=2》-2療％1=2。+/—,求這兩種購買方案花費的差值S最

a-4

小值(注：差值5=花費較大值-花費較小值).

【答案】(1)采用方案二；理由見解析

(2)24

【解析】

【分析】(1)列出兩種方案的總費用的表達式，作差比較，即可求解；

(2)根據題意，得到工-耳=(x-2jK4>(a+8一)，利用換元法和基本不等式，即可求解.

〃一4

【小問1詳解】

解：方案一的總費用為H=ax+勿(元)；

方案二的總費用為S2=云+即(元)，

由S2-Sx=bx+ay-(ax+by)=a(y-x)-l-b(x-y)=(y~x)(a-b),

因為歹>x>4]>Q>4,可得歹一1>0,4—6<0,所以(歹一工)(〃-6)<0,

即S?-S]<0,所以S2<S],所以采用方案二，花費更少.

【小問2詳解】

解：由(1)可知百一§2=(y_x)(b_Q)=(x_2V^^)[Q+^^],

令，=y/x-4，則X=/+4，

所以X—2J二4=r—2,+4=?—1>+323,當，=1時，即x=5時，等號