2024-2025學年廣東省惠州八中九年級（上）月考數學試卷（12月份）

一、單項選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）在2024年春晚舞臺上中國傳統紋樣創演秀《年錦》驚艷全網，紋樣濃縮了民間美學與數學原

理.下列紋樣是中心對稱圖形的是（）

2.（3分）方程4x-5x2=一1化成一般形式后，二次項系數為正，其中一次項系數和常數項分別是（）

A.4,1B.4,-1C.-4,1D.-4,-1

3.（3分）已知>=（加+2）x網+2是關于x的二次函數，那么沉的值為（）

A.-2B.2C.±2D.0

4.（3分）如圖，四邊形48co內接于若/C=130°,則的度數為（）

C.130°D.150°

2

5.（3分）若一元二次方程A-x-2=0的兩根為X>x2>則（1+xp+x2（1-xp的值是（）

A.4B.2C.1D.-2

6.（3分）小明以二次函數y=2N-4x+8的圖象為靈感為某葡萄酒大賽設計了一款杯子，如圖為杯子的

設計稿，若48=4,DE=4,則杯子的高CE為（）

E

A.12B.11C.6D.3

7.（3分）如圖，是二次函數＞="2+樂+。（Q,b,c是常數，且aWO）的圖象，虛線是拋物線的對稱

軸.則一次函數y=acx+b的圖象不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）如圖所示，在中，N4c5=90°,AC=3fBC=4,以。為圓心，尸為半徑的圓與邊45

有公共點，則〃的取值范圍為（）

1912

B.r=3或r=4C.—D.—

55

9.（3分）如圖①，點4、8是。。上兩定點，圓上一動點P從圓上一定點5出發，沿逆時針方向勻速

運動到點4,運動時間是x（s）,線段4尸的長度是y（c冽）.圖②是歹隨x變化的關系圖象，則圖中

m的值是（）

10.（3分）如圖，在等腰直角三角形A8C中，/BAC=90。，一個三角尺的直角頂點與邊的中點。

重合，且兩條直角邊分別經過點/和點瓦將三角尺繞點。按順時針方向旋轉任意一個銳角，當三角

尺的兩直角邊與N3,NC分別交于點E,尸時，下列結論中錯誤的是（）

B.N3E0+/。尸C=180°

C.OE+OF^-^-BC

2

D?S四邊形AEOF=^AABC

二、填空題：本題共5小題；每小題3分，共15分.

11.（3分）點（1,-2）關于原點的對稱點的坐標為.

12.（3分）已知拋物線y=》2-6x+加與x軸有且只有一個交點，則加=.

13.（3分）為培養學生動手實踐能力，學校七年級生物興趣小組在項目化學習“制作微型生態圈”過程

中，設置了一個圓形展廳，如圖，在其圓形邊緣上的點尸處安裝了一臺監視器，它的監控角度是72°,

為了觀察到展廳的每個位置，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監視器臺.

14.（3分）如圖，矩形/8CD中，BC=4,CD=2,以NO為直徑的半圓。與8c相切于點￡,連接8D,

則陰影部分的面積為.（結果保留1T）

0

15.（3分）如圖，一段拋物線y=-x（x-5）（0WxW5）,記為g,它與x軸交于點。，A；將。繞

點4旋轉180°得。2，交x軸于點幺2；將。2繞點旋轉180°得。3，交X軸于點43；…如此進行下

去，得到一“波浪線"，若點尸（2024,在此“波浪線”上，則加的值為.

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題8分，共24分.

16.（8分）解方程：（x-3）（尤+1）=x-3.

17.（8分）己知關于x的一元二次方程（入2）/+（左-2）x+l=0有兩個相等的實數根，求人的值及方

程的根.

18.（8分）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△NBC的頂點和點。均在網格線的

交點上.以點O為旋轉中心，將按順時針方向旋轉90°,得到△小81cl.

（1）請在網格中畫出△為為。］.

（2）求點N從開始到結束所經過的路徑長.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.（9分）如圖所示，四邊形N8CD是正方形，△NDF旋轉一定角度后得到AF=4,AB=10.

（1）這個圖形變換中，旋轉中心是，旋轉角度是,DE=.

（2）求證：直線

20.（9分）如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與直線相交于/（-3,0）,2（0,3）兩點，與x軸的

另一個交點為C,連接3c.

（1）求拋物線的解析式;

（2）在拋物線上是否存在一點P,使得SA4B=2.若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理

由.

21.（9分）某公司2022年投入研發費用120萬元，成功研發出一種產品，產品正式投產后，生產成本為

8元/件.經試銷發現年銷售量y（萬件）與售價x（元/件）的對應關系如下表所示：

X/（元/件）111315

W萬件292725

（1）直接寫出y關于x的函數關系式;

（2）若物價部門規定每件商品的利潤率不得超過150%,則當產品的售價為多少時，該年年利潤?（萬

元）最大？其最大年利潤是多少？

四、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.（12分）【了解概念】折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形；如圖1,線

段PM、組成折線段尸A〃，點8在折線段尸必上，若PB=BM+MA,則稱點8是折線段PA〃的中

點.

A

PBM

圖1

【理解應用】（1）如圖2,OM的半徑為2,P/是的切線，/為切點，點2是折線段P叱4的中點，若/

P=30°,則PB的長為.

圖2

【認識定理】阿基米德折弦定理：如圖3,N5和2c是。。的兩條弦（即折線段/2C是圓的一條折

弦），2c>/3,點”是點^的中點，從/向BC作垂線，垂足為。，貝lJCD=/5+3D.這個定理有很

多證明方法，下面方框是運用“截長法”證明CD=/8+8D的部分證明過程.

證明：如圖3,在8c上截取CG=/8,連接MC、MG、MB、MA,

,點M是［R的中點，

?,?靠=筋,

：.MA=MC.

（2）請按照上面方框中【定理證明】的證明思路，在圖3中連接輔助線并寫出該證明的剩余部分；

【變式探究】（3）如圖4,若點M是孩的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA

之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出結論.

圖4

【靈活應用】（4）如圖5,3c是。。的直徑，點/為。。上一定點，點。為O。上一動點，且滿足N

DAB=45°，若A8=8,8c=10,則

23.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，點”的坐標是（5,4）,與y軸相切于點C,與x軸相

交于42兩點.

（1）請直接寫出4B,C三點的坐標，并求出過這三點的拋物線解析式;

（2）設（1）中拋物線解析式的頂點為E,求證：直線E4與。M相切;

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點尸，且點P在x軸的上方，使△P2C是等腰三角形？如果存在,

請說明理由.

2024-2025學年廣東省惠州八中九年級（上）月考數學試卷（12月份）

參考答案與試題解析

題號12345678910

答案BABBAACDCc

一、單項選擇題（每小題3分，共30分）

1.【解答】解:/、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；

8、圖形是中心對稱圖形，正確，符合題意；

C、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；

。、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意，

故選：B.

2.【解答】解：4x-5x2=一1化成一元二次方程一般形式是-5/+公+1=0,

它的一次項系數是4,常數項是1.

故選：A.

3.【解答】解：?.1=（加+2）x園+2是y關于x的二次函數，

劑=2且m+2W0.

解得m=2.

故選：B.

4.【解答】解：???四邊形/BCD內接于O。，

.\Z^+ZC=180°,而/C=130°,

Zy4=18O°-ZC=50°,

：.ZBOD^2ZA^100°.

故選：B.

5.【解答】解：根據題意得修+叼=1，肛》2=-2,

所^以（1+X]）+工2（1-X]）l+X]+》2"1+1-（-2）:=4.

故選：A.

6.【解答]解：；y=2x2-4x+8=2（x-1）2+6,

拋物線頂點。的坐標為（1,6）,

'：AB=4,

???B點的橫坐標為x=3,

把x=3代入y=2%2-4%+8,得到y=14,

???。。=14-6=8,

???CE=CD+DE=8+4=12.

故選：A.

7.【解答】解：??,拋物線開口向下，拋物線與〉軸交于正半軸，

.*.6Z<0,c>0,

???拋物線的對稱軸在J軸的右側，

：.b>Of

4。<0,

???一次函數歹=QCX+b的圖象經過一、二、四象限，

，一次函數^=。。%+6的圖象不經過第三象限.

故選：C.

8.【解答】解：作CD_L45于。，如圖所示：

VZACB=90°,4C=3,BC=4,

：.AB=y/32+i2=5,

AABC的面積=工438=工4c"C,

22

.rnAC-BC12

AB5

即圓心C到AB的距離d=畢,

5

?：AC<BC,

以c為圓心，r=孕或4為半徑所作的圓與斜邊N8只有一個公共點,

5

...若OC與斜邊AB有公共點，則r的取值范圍是孕WrW4.

5

故選：D.

B.

CA

9.【解答】解：圖②是y隨x變化的關系圖象，

當x=2時，y=AP=4cmf即此時4、。、尸共線,

，圓的半徑為：yAP=2cm>

當x=0時，y=AP=2&cir，即AB=AP=2&cir，

■：OA=OB=2cm,杷=26cir，

：.AB2=OA2+OB2,

...△/08是等腰直角三角形，NAOB=90°,

當x=2時，點P運動到點C,如圖:

...點P走過的角度為90°

???點P走過的弧長為：丹X2冗火2二兀(cm)，

360

?,?點P運動的速度為：TT4-2=~^~(cm/s)?

當工=冽時，y=AP二2?，

過點。作8,4尸于點。,

vcosZOPD=^1-^y-^

AZPOD=90°-NO尸0=90°-30°=60°，

：.ZAOP=2ZPOD=120°，

???點尸走過的角度為：90°+(180°-120°)=150°,

二點P走過的弧長為：耿。-X2冗

3603

5冗?冗10,s

,,m-=T(s)，

32

故選：c.

10.【解答】解：連接40,如圖所示.

???△/5C為等腰直角三角形，點。為的中點,

：.OA=OC,ZAOC=90°,ZBAO=ZACO=45°.

VZEOA+ZAOF=ZEOF=9Q°，ZAOF+ZFOC=ZAOC=90°，

：.ZEOA=ZFOC.

<ZE0A=ZF0C

在△ECM和△尸OC中,OA=OC，

ZEA0=ZFC0

AEOA^AFOC(ASA),

：.EA=FC,

：.AE+AF=AF+FC=AC,選項力正確；

?；/B+/BEO+/EOB=NFOC+NC+/OFC=180°,ZB+ZC=90°,/EOB+NFOC=1800-Z

EOF=90°,

ZBEO+ZOFC=\^°,選項8正確;

AEOA義AFOC,

,?SAEOA=SAFOC，

二?S四邊形/EO尸=52\片04+8440尸=5△尸oc+S4zo尸選項D正確?

故選：C.

二、填空題：本題共5小題；每小題3分，共15分.

11.【解答】解：點(1,-2)關于原點的對稱點的坐標為(-1,2),

故答案為：(-1,2).

12.【解答】解：：拋物線y=x2-6x+%與x軸有且只有一個交點，

方程爐-6x+m=0有唯■解.

即A—b2-4ac=36-4加=0,

解得：m=9.

故答案為：9.

13.【解答］解：:?一臺監視器，它的監控角度是72。，

一臺監視器所對應的弧的角度為：72°X2=144°,

V36O04-144°=2.5,

...最少需要3臺，

故答案為：3.

14.【解答】解：連接0E,如圖，

:以為直徑的半圓。與相切于點E,

：.OD=2,OELBC,

易得四邊形OECD為正方形，

2

，由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積=S正方形OECQ-S扇形EOQ=22-絲三工=4-m

360

?'.陰影部分的面積=4"X2X4-(4-it)=TT.

故答案為TT.

15.【解答】解：一段拋物線y=-x(x-5)(0WxW5),記為Q,它與x軸交于點O,A,

當y=0時，得：-x(x-5)=0,

解得：%i=0,X2=5,

：.Al(5,0),

:將G繞點小旋轉180°得。2，交x軸于點/2，

；.。2的解析式為＞=-(無T)(%-10),々(1。，0),

???將C2繞點也旋轉180°得。3，交x軸于點，3，

Q的解析式為V=（%-10）（X-15）,A3（15,0）,

.??整個函數圖象以5X2=10個單位長度為一個周期，函數值就相等,

???2024+10=202……4,

Am的值等于x=4時的縱坐標，

.\m=-x(x-5)=-4義(4-5)=4,

故答案為：4.

三、解答題(一)：本大題共3小題，每小題8分，共24分.

16.【解答】解：原方程變形得：(x-3)(x+1)-(x-3)=0,

因式分解得：(%-3)(x+1-1)=0,

BPx(x-3)=0,

解得：修=0,初=3.

17.【解答】解：由題意得，△=Qk-2)2-4Ck-2)=0,

左+12=0,

???(左-6)5-2)=0,

解得：左1=6,左2=2，

???方程(攵-2)x2+(左-2)x+l=0是一元二次方程，

???左一270,即公￡2,

???左=6,

方程為4工2+4%+1=0,

???(2x+l)2=0,

解得：修二工2=蔣.

18.【解答】解：(1)如圖，△小小G即為所求.

(2)點/從開始到結束所經過的路徑長為即三:5=^■冗.

1802

四、解答題(二)：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.【解答】(1)解：根據已知，旋轉中心是點/,旋轉角度是90°,

-4,4=10,

：.AE=AF=4,AD=AB=\0,

：.DE=AD-AE=10-4=6,

故答案為：點490°,6；

(2)證明：延長交。咒于"，如圖：

???AADF旋轉一定角度后得到△45E,

/FDA=/EBA,

/DEM=NAEB,

：.ZDME=ZEAB=90°,

：.BE±DF.

f-9_3b+c=0

20.【解答】解：(1)把點/(-3,0),5(0,3)代入y=-d+bx+c得:

lc=3

解得：(b=~2,

lc=3

拋物線的解析式是y=-x2-2x+3；

(2)假設在拋物線上存在點P,使得得SA4b=2,

令y=0,則-X2-2X+3=0,解得x=-3或1,

：.C(1,0),

：.AC=4,

■:Sfcp=2,

1?apl=2,即/X4火力1=2,

，尸±1,

當y=l時，可得—-2X+3=1,

解得：x=-1±V3>

當y=-1時，可得-x2-2x+3=-1,

解得：x=-1士優，

，符合條件的點尸坐標為（-1+?，1）或（-1-百，1）或（-1+病，-1）或（-1-'后,

1）.

21.【解答】解：（1）設函數關系式為〉=船+6（左W0）,根據題意可得：

fllk+b=29

I13k+b=27，

解得：卜T,

lb=40

?''y關于x的函數關系式為y=-x+40；

（2）根據題意可得：

w=y（x-8）-120=（尤-8）（-x+40）-120=-/+48x-440=-（x-24）2+136,

/.-1<0,開口向下，

8W8X150%,

，xW20,

:w=-（x-24）2+136,當x<24時，y隨x的增大而增大,

...當x=20時，w有最大值，最大值為w=120,

答：當售價為20元時，利潤最大，最大利潤為120萬元.

四、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.【解答】（1）解：；尸/是。〃的切線，/為切點，

：.PALAM,

：.ZPAM=90°,

VZAPO=30°,AM=2,

；.尸河=4,

：.PM+AM=6,

是折線段的中點,

：.PB=3,

故答案為：3；

（2）證明：如圖3,在2c上截取CG=/2,連接MC、MG、MB、MA,

M

圖3

:點M是［R的中點，

?■?MA=MC>

：.MA=MC.

ZA=ZC,

在LMAB和△MCG中，

'MA=MC

-ZA=ZC-

.AB=CG

:.AMAB沿工MCG(SAS),

：.MB=MG,

■:MDIBC,

：.BD=DG,

：.AB+BD=CG+DG=CD,

CD=AB+BD；

(3)解：BD^AB+CD,理由如下：

如圖4,在8。上截取2G=/8,連接兒(、MA、MB、MG,

圖4

:點M是筱的中點，

：.AM=CM,ZABM=ZMBG,

在△M43和△MGB中，

'AB=GB

-ZABM=ZGBM-

LMB=MB

:.AMAB%AMGB(SAS),

:.MA=MG,

：.MC=MG,

'：DM±BC,

:.CD=DG,

:.AB+CD=BG+DG=BD；

：.BD=AB+CD；

(4)解：是。。的直徑，

/.ZBAC=90°,

'：AB=8,3c=10,

由勾股定理得NC=6,

當。點在8c下方半圓上時，如圖5,

D

圖5

VZDAB^45°,

：.ZDAB=ZDAC=45°,

過D點作DGLAB交于點G,

同理由(3)可知2G+/C=/G,

???