學年度下學期高三第一次模擬考試試題數(shù)學命題人：撫順二中孫振剛審校：命題工作專家組試卷滿分：分時間：分鐘注意事項：答題前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合和，然后，利用交集的運算可得答案.【詳解】，，.故選：C2.“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式，得到或，根據(jù)推出關系得到答案.第1頁/共22頁【詳解】或，或，但或，故“”是“”的充分而不必要條件，A正確，BCD錯誤.故選：A3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.4B.60C.68D.52【答案】D【解析】【分析】由等差中項的推理求得，由等差數(shù)列的前項和與等差中項求得.【詳解】，∴，∴，故選：D.4.?前兩天中隨機選一天，則甲乙選擇同一天的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先用分步乘法計數(shù)原理得到共有6種選擇，其中甲乙選擇同一天的情況有2種，從而得到概率.【詳解】甲同學有3種選擇，乙同學有2種選擇，故共有種選擇，其中甲乙選擇同一天的情況有2種，故甲乙選擇同一天的概率為.故選：C5.若函數(shù)在其定義域內單調遞增，則實數(shù)a取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將問題轉化為在上恒成立，利用基本不等式可得.第2頁/共22頁【詳解】的定義域為，，因為函數(shù)在其定義域內單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為，當且僅當時，等號成立，所以，所以.故選：B6.設是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用坐標計算，再利用進行消元，解關于的不等式.【詳解】點在上，則，且或，因，則，，則，解得，故或.故選：B7.對任意，都有，且不恒為0，函數(shù)第3頁/共22頁，則（）A.0B.2C.4D.6【答案】B【解析】【分析】利用賦值法可得，進而可求的值.【詳解】令，可得，所以，令，可得，因為不恒為0，所以，所以是奇函數(shù)，因為，所以.故選：B.8.已知的最小值為的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】至的中點，求出，再由數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】延長至，使，則，所以共線，又的最小值為，且，所以為等腰三角形，當且僅當時取得最小值，則，第4頁/共22頁所以是等邊三角形，取的中點，則，當且僅當時取等號，所以，即的最小值為.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)、、、、、、數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，其中，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為、、、，則（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用平均數(shù)的性質可判斷A選項；利用中位數(shù)的性質可判斷B選項；利用方差的性質可判斷C選項；分、兩種情況討論，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由平均數(shù)的性質可得，A對；對于B選項，不妨設，若為奇數(shù)，設，則數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，若，新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為、、、，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為；當，新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為、、、，第5頁/共22頁這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為；若為偶數(shù)，同理可知，，B對；對于C選項，由方差的性質可得，C對；對于D選項，若、是、、、中最大值、最小值，當時，則為、、、中的最大值，為、、、中的最小值，此時，；當時，則為、、、中的最小值，為、、、中的最大值，此時，，D錯.故選：ABC.10.若，記為不超過的正整數(shù)中與互質（兩個正整數(shù)除1之外，沒有其余公因數(shù)）的正整數(shù)的個數(shù)，例如，則下面選項正確的是（）A.B.C.若是質數(shù)，則D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)的定義，求出，，即可判斷AB選項；若是素數(shù)，與前個正整數(shù)均互素，可得，即可判斷C選項；由時只有因數(shù)2，則求出；也也與可能為合數(shù)，所以得結論.第6頁/共22頁【詳解】不超過14且與14互質的正整數(shù)有，共6個，即，A選項錯誤；不超過16且與16互質的正整數(shù)有，共8個，即，B選項錯誤；若是素數(shù)，與前個正整數(shù)均互素，可得，所以C選項正確；若，則，然而必為偶數(shù)，故比小的數(shù)中所以偶數(shù)與不互質，而且為奇數(shù)也與不互質，此時，當為合數(shù)時，還會存在至少1個數(shù)與不互質，此時.例如時，，，∴，D選項錯誤.故選：BC.在正三棱臺中，分別是線段上的點，是上、下底面的中心，是底面內一點，下列結論正確的是（）A.B.若平面，則點的軌跡長等于C.D.當時，四點構成的圖形為直角梯形【答案】AC【解析】第7頁/共22頁【分析】A選項，作出輔助線，建立空間直角坐標系，設，，寫出點的坐標，計算出AB的軌跡長度為定理求出軌跡長度；C選項，利用等體積法和大減小求出，C正確；D選項，舉出反例即可.【詳解】A選項，顯然⊥底面，取的中點，連接，過點作，交于點，則，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，，則，，，，則，所以，故，A正確；B選項，取的中點，連接，，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，第8頁/共22頁又平面，平面，所以平面，故當在上時，滿足平面，故的軌跡長度為，其中，由余弦定理得，點的軌跡長不等于，B錯誤；C選項，，，，，又棱臺的體積為，所以，C正確；D選項，四邊形為等腰梯形，當與重合，時，，但此時與平行，故與不平行，此時四點構成的圖形不為直角梯形，D錯誤.第9頁/共22頁故選：AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知點為拋物線上一點，且點到拋物線焦點的距離為3，則__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式得到方程，求出.【詳解】由焦半徑公式得，點到拋物線的焦點的距離，解得.故答案為：213.設復數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】利用，計算可求.【詳解】因為對任意復數(shù)，都有，又，所以，所以，所以.故答案為：.14.的最大值為__________.【答案】25第10頁/共22頁【解析】【分析】將等式轉化為點到點的距離問題，然后再得到兩動點的軌跡，找到兩點之間的最大距離即可.【詳解】設.則在橢圓上，在圓上..設是上一點，，∵，∴，即，當共線的時，取最大值，此時最大，最大值為5，∴.四?解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖1，在中，，，、兩點分別在、上，使.現(xiàn)將沿折起得到四棱錐，在圖2中.第11頁/共22頁（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）證明出，，再利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）解法一：以點為原點，、、的方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成角的正切值；解法二：過在平面內作，垂足為點，過點在平面內作，垂足為點為平面與平面、與平面所成角的正切值.【小問1詳解】在圖1的中，，所以，，且，，因為，所以，，則，，在中，，，，則，在圖2的中，，，，滿足，所以，，因為，，，、平面，所以，平面.【小問2詳解】第12頁/共22頁解法一：因為平面，，以點為原點，、、的方向分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，設平面一個的法向量，則，取，可得，設平面的一個法向量為，，，則，取，則，設平面與平面所成角為，則，所以，，.因此，平面與平面所成角的正切值為；解法二：過在平面內作，垂足為點，過點在平面內作，垂足為點，連接，第13頁/共22頁由（1）知平面，因為平面，則，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，所以，為平面與平面所成的角，設.在中，，，，，所以，，，在中，，，，，所以，，則，在中，，所以，平面與平面所成角的正切值為.16.已知函數(shù).（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析第14頁/共22頁（2）.【解析】1，，和，四種情況討論，結合的解集，即可求得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（21時，求得求得時，利用在的單調性，得到，令函數(shù)，求得，再令，利用導數(shù)，結合函數(shù)的單調性，得到在上單調遞減，結合，求得，進而得到答案.【小問1詳解】解：由函數(shù)，其中，可得，當時，令，解得，所以的單調遞增區(qū)間為；當時，令，解得或，所以單調遞增區(qū)間為及；當時，恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為；當時，令，解得或，所以的單調遞增區(qū)間為及.綜上可得：當時，的單調遞增區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為及；當時，的單調遞增區(qū)間為；第15頁/共22頁當時，的單調遞增區(qū)間為及.【小問2詳解】解：由（1）知，當，在單調遞增，所以，令，可得，所以；當時，函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，所以，令，可得，令，可得，所以為單調遞減，所以，所以，所以在上單調遞減，因為且，所以，綜上可得：實數(shù)的取值范圍為.17.在中，角所對的邊分別是，且滿足（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值；（3）求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）根據(jù)正弦定理，結合輔助角公式進行求解即可；第16頁/共22頁（2）根據(jù)余弦定理結合基本不等式求得，利用三角形面積公式進行求解即可；（3將式子化簡成只關于角A的函數(shù)，然后利用換元的方法，結合二次函數(shù)性質求解值域即可．【小問1詳解】由正弦定理得，即，因為，所以，所以，所以，又因為，所以.【小問2詳解】由余弦定理得：，代入得：，根據(jù)基本不等式，得：，當且僅當時，等號成立，的面積為：，故面積的最大值為.【小問3詳解】令，則，所以可化為：第17頁/共22頁因為，由二次函數(shù)的圖像性質得到，當時，原式大于，當時，原式取得最大值，故的取值范圍為18.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.（1）求和；（2）求證：是等比數(shù)列；（3）求的數(shù)學期望（用表示）.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】1）結合獨立事件乘法公式出求，再利用全概率公式求.（2）利用全概率公式求得、與、的關系，再利用構造法證明等比數(shù)列.（3）求出的分布列及期望，再利用由（2）求出通項公式.【小問1詳解】依題意，，，，.第18頁/共22頁【小問2詳解】設表示次取球后甲口袋有2個黑球，表示次取球后甲口袋有1個黑球，表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同時乙取的是黑球，表示一次操作甲取的是黑球同時乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，當時，則，，，，因此，即，，所以是為首項為公比的等比數(shù)列.【小問3詳解】依題意，的分布列為012期望，由（2）得，所以.19.已知圓為坐標原點，過圓上一動點作圓切線交圓于兩點，直線交圓于兩點.第19頁/共22頁（1）四邊形的面積是否是定值，直接給出結果，不必證明；（2在這個變換下的新坐標為圓、圓