高三考試數學試卷注意事項：答題前，考生務必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據并集定義計算.【詳解】因為，所以故選：D.2.已知向量，，.若、、三點共線，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出向量，由題意可得，利用平面向量共線的坐標表示可得出關于的等式，解之即可.【詳解】因為向量，，，所以，，因為、、三點共線，則，所以，，解得.第1頁/共19頁故選：C.3.在、、所對的邊分別為、、，，的面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出的值，利用同角三角函數的基本關系求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】在中，因為，，，由余弦定理可得，所以，，因此，的面積為.故選：A.4.已知，其中為實數，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據復數相等求參數的值.【詳解】因為，所以，所以，解得，故選:B.第2頁/共19頁5.如圖，三棱柱的所有棱長都為，且，、、分別為、、的中點，則異面直線和所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】、和所成角等于余弦定理求出、的長，推導出，可求出的余弦值，即為所求.【詳解】連接、，如下圖所示：因為、分別為、中點，所以，且，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因為為的中點，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，故異面直線和所成角等于或其補角，在菱形中，，，，由余弦定理可得，在中，，，，第3頁/共19頁由余弦定理可得，在中，，，，所以，，故，所以，.因此，異面直線和所成角的余弦值為.故選：D.6若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據對數的運算，化簡題干中的對數式，結合參數大小與對數函數圖象的關系，可得答案.，，，且，則.故選：A.7.設拋物線的焦點為的直線與交于、到直線的距離為，且.若點的橫坐標為，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線的定義可得，設點、，設直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，求出，根據拋物線的焦點弦長公式可得出關于的等式，結合可求得的值.第4頁/共19頁【詳解】拋物線的準線方程為，由拋物線的定義可得，設點、，若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線的方程為，聯立，可得，則，由韋達定理可得，所以，，故，所以，，整理可得，即，因為，解得.故選：C.8.已知球的半徑為，則在球的內接圓錐中，體積最大的圓錐的底面半徑為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設球的內接圓錐的底面半徑為，取圓錐的軸截面，取線段的中點，連接，設，的解析式，利用導數求出函數取最大值時對應的值，即可求得對應的值，即為所求.【詳解】如下圖所示，設球的內接圓錐的底面半徑為，第5頁/共19頁顯然當球心在圓錐的內部時，圓錐的體積才會最大，取圓錐的軸截面，取線段的中點，連接，則，且在線段上，設，則，且，，設圓錐的體積為，則，由可得，由可得，所以，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以，函數時取最大值，此時，.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.“綻放青春，藝路有你”才藝大賽.甲、乙兩位同學才藝表演結束后，6位評委對甲、乙進行打分（滿分10所示的折線統計圖，則（）第6頁/共19頁A.甲得分的平均數大于乙得分的平均數B.甲得分的眾數大于乙得分的眾數C.甲得分的中位數大于乙得分的中位數D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】BCD【解析】【分析】運用平均數、中位數及眾數的公式計算，和方差的意義逐項判斷即可.【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：甲：，乙：，甲得分的中位數為，乙得分的中位數為，甲得分的中位數大于乙得分的中位數，故C正確；甲得分的眾數，乙得分的眾數為，甲得分的眾數大于乙得分的眾數，故B正確；甲得分的平均數，所以甲得分的平均數等于乙得分的平均數，故A錯誤；由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.故選：BCD10.已知函數的最大值與最小值的差為2，其圖象與軸的交點坐標為，且圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為2，則（）A.B.C.D.的單調遞增區間為【答案】ACD【解析】得距離、交點坐標求出、、的值，再計算單調區間即可.第7頁/共19頁【詳解】，因為的最大值與最小值的差為2，解得，A選項正確；因為函數圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為B選項不正確；又的圖象與軸的交點坐標為，C選項正確；所以函數的解析式為，，，所以的單調遞增區間為，D選項正確.故選:ACD.已知函數的定義域為，對任意，均滿足，且，則（）A.函數為偶函數B.8是的一個周期C.的圖象關于點對稱D.【答案】CD【解析】為偶函數，即可判斷A；周期為4，即可判斷B；根據周期性，即可得出，即可判斷C；求得，結合周期性得出即可判斷D．第8頁/共19頁【詳解】對于A，令，得，所以，令，得，即，所以為偶函數，所以，則為奇函數，故A錯誤；對于B，令，，即，所以周期為4，故B錯誤；對于C，令，，所以，所以關于對稱，且，又周期為4，所以，故C正確；對于D，令，得，即，令，，得，所以，所以，所以，故D正確；故選：CD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.若雙曲線的一條漸近線上的點關于另一條漸近線的對稱點恰為右焦點，則雙曲線的漸近線方程為__________，實軸長為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由點在漸近線上可求得，再根據雙曲線的性質計算實軸長即可.【詳解】由點在雙曲線的一條漸近線上，可得，則雙曲線的漸近線方程為；第9頁/共19頁記坐標原點為，則，即．因為，所以，，故實軸長為．故答案為：；.13.某工人給排成一排的塊地磚上色，可用顏色為固定的第號至第號，共種顏色，其中，.號至第次，，上色方案.當上色方案共有__________種.【答案】【解析】【分析】不妨將塊排成一排的地磚從左至右依次記為、、、，分析可知，一定有塊地磚同色，列舉出同色的情況，結合排列計數原理與分步乘法計數原理可得結果.【詳解】不妨將塊排成一排地磚從左至右依次記為、、、，用種顏色給地磚上色，每種顏色至少使用一次，相鄰地磚不能同色，所以一定有塊地磚同色，同色的情況有、、，共種，所以，共有種不同的上色方案.故答案為：.14.在平面直角坐標系中，已知點滿足的軌跡為曲線線與交于兩點，當取得最小值時，的值為__________.【答案】【解析】【分析】設，由有，由點到直線的距離公式有，即，分析的取值即可求解.【詳解】設，則由有，第10頁/共19頁即，則曲線是以圓心為，半徑為的圓，則圓心到直線的距離為，則，當取最大值時，取得最小值，所以，要使取最大值則，，當取最小值時，取最大值，所以當時，，當時，等號成立，所以，，當時，取得最小值，所以，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數列是遞減數列，的前項和為，且、、成等差數列，，數列滿足，，（1）求和的通項公式；（2）若，求數列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】第11頁/共19頁1的公比為、為遞減數列可求得、的值，即可得出等比數列的通項公式；推導出，結合可求得數列的通項公式；（2求得.【小問1詳解】設等比數列的公比為，由題意可得，則，因為數列是等比數列，解得，所以，，因為，所以，，因為，則，所以，，故.【小問2詳解】當為奇數時，，令，則，所以，，兩個等式作差可得，化簡得；當為偶數時，，第12頁/共19頁令，則，故.16.如圖，在直三棱柱中，為的中點，.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）先連接，再根據中位線得出，最后應用線面平行判定定理證明平面；（2）求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式能求出與平面所成角的正弦值．【小問1詳解】連接，∵E為中點，為的中點，∴，∵平面，平面，第13頁/共19頁∴平面；【小問2詳解】以點C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，設平面的法向量，則，取，則，設與平面所成角為，則與平面所成角的正弦值為：．17.已知函數，.（1）求的單調區間；（2）若的最大值為，證明：，.【答案】（1）增區間為，減區間為（2）證明見解析【解析】1）利用導數與函數單調性的關系可求出函數的增區間和減區間；（2）由函數的最大值可求出的值，將所證不等式變形為，構造函數第14頁/共19頁，利用導數分析函數的單調性與極值，可證得，即可證得結論成立.【小問1詳解】因為函數的定義域為，且，由可得，由可得，所以，函數的增區間為，減區間為.【小問2詳解】由（1）知，，解得，要證，即證，即證，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數的減區間為，增區間為，所以，，即，所以，，，即.18.亞冬會于年月日至月日舉行..設置一個抽題箱，箱中有若干裝有題目的小球，小球的大小、顏色、質量都一樣，每次答題抽取一個小球.每個小球內只有一道題目，每道題目只有一個分值，題目分值分別為分、分、分.已知分題目小球被抽到的概率為，分題目小球被抽到的概率為，分題目小球被抽到的概率為，且每次抽完會補充一個同分值小球到箱內.（1）已知甲回答分、分、分題目正確的概率分別為、、，求甲抽取次，抽到種不同分值的題目，且累積得分不低于分的概率；（2）若甲抽取次，記表示甲次抽取的題目分值之和，求的分布列和數學期望.【答案】（1）（2）分布列答案見解析，【解析】第15頁/共19頁1立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率；（2）分析可知，隨機變量的所有可能取值為：、、、、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【小問1詳解】若甲次答題累積得分不低于分，則甲抽取的個題目的分值可以是、、，當甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個題要全答對，所以，概率為；當甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個分題要答對，概率為；當甲抽取的個題目的分值是時，概率為，要使得累積得分不低于分，則個分題要答對，概率為.故甲次答題累積得分不低于分的概率為.【小問2詳解】的所有可能取值為：、、、、、、，，，，，，，，第16頁/共19頁所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，.19.對于給定的橢圓且，則稱與互為共軛橢圓.已知橢圓與橢圓互為共軛橢圓，是橢圓的右頂點.（1）求橢圓的標準方程.（2）不過點的直線與橢圓交于、，且直線與直線的斜率之積為.①證明：直線過定點.②試問在軸上是否存在點，使得直線、的斜率之積為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）①證明見解析；②答案見解析.【解析】1）根據題意可得出關于、、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標準方程；（2、的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，根據求出的值，化簡直線的方程，可得出直線所過定點的坐標；②設點，利用韋達定理結合斜率公式化簡，結合為定值求出值，即可結論.【小問1詳解】由題意可得，解得，，第17頁/共