空間幾何解答題鞏固練習(xí)二1．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在六面體中，四邊形是菱形，，平面，，為的中點(diǎn)，平面．

(1)求；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）四邊形是菱形，，又平面，平面，平面，同理可得：平面．，平面，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可得：，四邊形是平行四邊形；連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，則，延長交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，，又，四邊形為平行四邊形，則，為的中點(diǎn)，．，，即，解得：，.（2）由（1）知，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向分別為軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，；設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，，，即直線與平面所成角的正弦值為.2．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)校考一模）如圖所示，四點(diǎn)共面，其中，，點(diǎn)在平面的同側(cè)，且平面，平面.(1)若直線平面，求證：平面；(2)若，，平面平面，求銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）平面，平面，，平面，平面，平面；，四點(diǎn)共面，，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，四邊形為平行四邊形，，則，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，；平面軸，平面平面，平面軸，平面的一個(gè)法向量，，即銳二面角的余弦值為.3．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）在三棱臺中，為中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在三棱臺中，為中點(diǎn)，則，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，連接，，，為中點(diǎn)，；以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得：，，；又平面的一個(gè)法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】（1）延長，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，則為平面與平面的交線，取線段CD的中點(diǎn)M，連接KM，直線KM即為所求．證明如下：延長，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，則為平面與平面的交線，因?yàn)椋裕郑裕裕郑运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕〉闹悬c(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由已知可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則得，取得，，平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.

5．（2023·河南·校聯(lián)考二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）連接，.在正六棱柱中，因?yàn)榈酌鏋檎呅危裕驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫?因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕制矫妫矫妫云矫妫?/p>

又，所以平面平面，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)為Q，連接，.因?yàn)榈酌孢呴L為1，所以，因?yàn)椋裕?易得，，，所以平面，所以，因?yàn)椋云矫妫礊槠矫?/p>