第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)A組基礎(chǔ)題組1.已知在空間四邊形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是銳角三角形,則必有()A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC2.如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD,則在三棱錐ABCD中,下列結(jié)論正確的是()A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC3.(2017北京朝陽(yáng)期中)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面.下列命題正確的是()A.若m?α,n?β,m⊥n,則α⊥βB.若α∥β,m⊥α,n∥β,則m⊥nC.若α⊥β,m⊥α,n∥β,則m∥nD.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥β4.(2015北京西城二模)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,點(diǎn)P為對(duì)角線AC1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P、Q可以重合),則B1A.2 B.3 C.32 5.(2017北京,18,14分)如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證:PA⊥BD;(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐EBCD的體積.6.(2017北京朝陽(yáng)期中)如圖,四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,DE∥PA.(1)求證:BC⊥CE;(2)若直線m?平面PAB,試判斷直線m與平面CDE的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)若AB=PA=2DE=2,AD=3,求三棱錐EPCD的體積.7.(2018北京朝陽(yáng)期中)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,E是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)若E為PA的中點(diǎn),求證:PC∥平面BDE;(2)求證:平面PAC⊥平面BDE;(3)若三棱錐PBDE的體積是四棱錐PABCD的體積的13,求EAB組提升題組8.(2016北京海淀二模)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P,Q,R分別是棱A1A,A1B1,A1DA.22 B.2 C.33 9.(2017北京東城二模)如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形,BC∥AD,△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別為AD,A1(1)求證:DD1⊥平面ABCD;(2)求證:平面A1BE⊥平面ADD1A1(3)若CF∥平面A1BE,求棱BC的長(zhǎng)度.

10.(2018北京海淀期末)如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分別為棱A1B(1)求證:AC⊥AE;(2)求三棱柱ABCA1B1C1(3)在直線AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF.若存在,求出AP的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.11.(2016北京西城二模)如圖,在周長(zhǎng)為8的矩形ABCD中,E,F分別為BC,DA的中點(diǎn).將矩形ABCD沿著線段EF折起,使得∠DFA=60°.設(shè)G為AF上一點(diǎn),且滿足CF∥平面BDG.(1)求證:EF⊥DG;(2)求證:G為線段AF的中點(diǎn);(3)求線段CG長(zhǎng)度的最小值.答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.C∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC,又AD?平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.2.D易證BD⊥CD.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,故CD⊥平面ABD,則CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD?平面ADC,CD?平面ADC,故AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.3.B由m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面知:在A中,若m?α,n?β,m⊥n,則α與β相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若α∥β,m⊥α,n∥β,則m⊥β,m⊥n,故B正確;在C中,若α⊥β,m⊥α,n∥β,則m與n相交、平行或異面,故C錯(cuò)誤;在D中,若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n與β相交、平行或n?β,故D錯(cuò)誤.故選B.4.C5.解析本題考查線面垂直的判定和性質(zhì),面面垂直的判定及線面平行的性質(zhì),三棱錐的體積.考查空間想象能力.(1)因?yàn)镻A⊥AB,PA⊥BC,所以PA⊥平面ABC.又因?yàn)锽D?平面ABC,所以PA⊥BD.(2)因?yàn)锳B=BC,D為AC中點(diǎn),所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因?yàn)镻A∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),所以DE=12PA=1,BD=DC=2由(1)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.所以三棱錐EBCD的體積V=16BD·DC·DE=16.解析(1)證明:因?yàn)镻A⊥底面ABCD,PA∥DE,所以DE⊥底面ABCD.所以DE⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以BC⊥CD.又因?yàn)镃D∩DE=D,所以BC⊥平面CDE,所以BC⊥CE.(2)直線m∥平面CDE.證明如下:因?yàn)镻A∥DE,且PA?平面PAB,DE?平面PAB,所以DE∥平面PAB.在矩形ABCD中,CD∥BA,且BA?平面PAB,CD?平面PAB,所以CD∥平面PAB.又因?yàn)镃D∩DE=D,所以平面PAB∥平面CDE.又因?yàn)橹本€m?平面PAB,所以直線m∥平面CDE.(3)由題意知,三棱錐EPCD的體積等于三棱錐PCDE的體積.由(1)可知,BC⊥平面CDE.又因?yàn)锳D∥BC,所以AD⊥平面CDE.易證PA∥平面CDE,所以點(diǎn)P到平面CDE的距離等于AD的長(zhǎng).因?yàn)镾△CDE=12CD·DE=1所以三棱錐EPCD的體積V=13S△CDE·AD=17.解析(1)證明:如圖,設(shè)AC交BD于O,連接EO.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn).又因?yàn)镋為PA的中點(diǎn),所以EO∥PC.因?yàn)镻C?平面BDE,EO?平面BDE,所以PC∥平面BDE.(2)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以AC⊥BD.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因?yàn)镻A∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.(3)設(shè)四棱錐PABCD的體積為V.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以V=13·S菱形ABCD又因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,BD為對(duì)角線,所以S△ABD=S△BCD=12S菱形ABCD所以VPABD=13·S△ABD·PA=1根據(jù)題意,VPBDE=13所以VEABD=VPABDVPBDE=12V13V=又因?yàn)閂EABD=13·S△ABD·EA,所以EAPA=VEB組提升題組8.D連接A1C,A1C1,B1D在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D又∵CC1⊥面A1B1C1D1B1D1?面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D1,∵A1C1∩CC1=C1∴B1D1⊥面A1CC1.∴B1D1⊥A1C又∵R、Q分別為A1D1、A1B1的中點(diǎn),∴RQ∥B1D1,∴RQ⊥A1C同理可證,PQ⊥A1C又∵RQ∩PQ=Q,∴A1C故此正三棱柱的側(cè)棱必與A1C連接AC,BD交于M,連接PM.∵P為AA1的中點(diǎn),M為AC的中點(diǎn),∴PM∥A1C故M為正三棱柱另一底面的一個(gè)頂點(diǎn).故PM的長(zhǎng)即為正三棱柱的高.在△AA1C中,PM=12A1C9.解析(1)證明:因?yàn)閭?cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1所以DD1⊥AD,且DD1⊥CD.因?yàn)锳D∩CD=D,所以DD1⊥平面ABCD.(2)證明:因?yàn)椤鰽BD是正三角形,且E為AD的中點(diǎn),所以BE⊥AD.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以BE⊥DD1.因?yàn)锳D∩DD1=D,所以BE⊥平面ADD1A1因?yàn)锽E?平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面ADD1A1(3)因?yàn)锽C∥AD,AD∥A1D1,所以BC∥A1F所以B,C,F,A1四點(diǎn)共面.因?yàn)镃F∥平面A1BE,平面BCFA1∩平面A1BE=A1B,所以CF∥A1B.所以四邊形BCFA1是平行四邊形.所以BC=FA1=1210.解析(1)證明:三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面ABB1A1因?yàn)閭?cè)面ABB1A1∩底面ABC=AB,AC?所以AC⊥平面ABB1A1,又因?yàn)锳E?平面ABB1A所以AC⊥AE.(2)連接AB1,因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1中,所以A1B1因?yàn)锳B=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因?yàn)椤螦A1B1=60°,所以△AA1B1是邊長(zhǎng)為2的正三角形.因?yàn)镋是棱A1B1的中點(diǎn),所以AE⊥A1B1,AE=3.又因?yàn)锳E⊥AC,A1C1所以AE⊥A1C1因?yàn)锳1C1∩A1B1=A1A1C1、A1B1?底面A1B1C所以AE⊥底面A1B1C1所以三棱柱ABCA1B1C1的體積為V=S=12A1B1·A1C1·AE=1=23.(3)在直線AA1上存在點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF.理由如下:連接BE并延長(zhǎng),與AA1的延長(zhǎng)線相交,設(shè)交點(diǎn)為P.連接CP.因?yàn)锽B1∥AA1,故EA1EB1由于E為棱A1B1的中點(diǎn),所以EA1=EB1,故有PE=EB.又F為棱BC的中點(diǎn),連接EF,故EF為△BCP的中位線,所以EF∥CP.又EF?平面AEF,CP?平面AEF,所以CP∥平面AEF.故在直線AA1上存在點(diǎn)P,使得CP∥平面AEF.此時(shí)A1P=BB1=2,AP=2AA1=4.11.解析(1)證明:因?yàn)樵谡燮鹎暗木匦蜛BCD中,E,F分別為BC,DA的中點(diǎn),所以在立體圖形中,EF⊥FD,EF⊥FA,又因?yàn)镕D∩FA=F,所以EF⊥平面DFA.又因?yàn)镈G?平面DFA,所以EF⊥DG.(2)證明:因?yàn)樵谡燮鹎暗木匦蜛BCD中,E,F分別為BC,DA的中點(diǎn),所以在立體圖形中,AB∥EF∥CD.故在立體圖形中,四邊形ABCD為平行四邊形.連接AC,設(shè)AC∩BD=O,則AO=CO.連接OG.因?yàn)镃F∥平面BDG,CF?平面ACF,平面ACF∩平面BDG=OG,所以CF∥OG,因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),所以G為線段AF的中點(diǎn).(3)因?yàn)镈F