高三二模考前第一次調研考試數學試題時間120分鐘，分值150分一、單項選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.2.已知，是兩個虛數，則“，均為純虛數”是“為實數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數，則對任意實數，下列結論正確的是（）A.是偶函數，且在上單調遞增B.是奇函數，且在上單調遞增C.是奇函數，且在上單調遞減D.偶函數，且在上單調遞減4.已知向量，且，則的面積為（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，則該四棱錐的體積為（）A.1 B.2 C. D.7.費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數學中可以推導出圓錐曲線的一些光學性質.例如，點為雙曲線為焦點）上一點，點處的切線平分.已知雙曲線：為坐標原點，點處的切線為直線，過左焦點作直線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.8.已知函數的定義域為，且對任意，滿足，且則下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，若將的圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.的圖象關于點對稱C.的圖象關于直線對稱D.的圖象與的圖象在內有4個交點10.函數叫自然指數函數，是一種常見的超越函數，它常與其它函數進行運算產生新的函數.已知函數，則下列結論正確的是（）A.函數在上單調遞減B函數既有極大值，也有極小值C.方程有個不同的實數解D.在定義域內，恒有11.二元一次方程：可以表示平面內所有的直線，二元二次方程可以表示平面內所有的二次曲線.下列對二元二次方程所表示曲線的性質描述正確有（）A.曲線關于直線對稱B.曲線上點的縱坐標的范圍是C.存在，使與曲線相切D.過的直線與曲線交于兩點，的最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知某六名同學在競賽中獲得前六名無并列情況，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學獲得的名次情況可能有________種（用數字作答）13.已知直線與曲線相切，則直線的方程為：__________.14.在平面直角坐標系內，已知，若的面積不超過，則滿足條件的整點（橫縱坐標均為整數）的個數為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.在矩形中，點在線段上，且.（1）求；（2）若動點分別在線段上，且與面積之比為，試求的最小值.16.光明高級中學高三年級理科考生800人都參加了本學期的期中調研測試，學校把本次測試數學成績達到120分以上（包含120分）的同學的數學成績等第定為優秀，物理成績達到90分以上（包含90分）的同學的物理成績等第定為優秀．現從理科考生中隨機抽取10名同學調研本次測試的數學和物理成績，如下表：數學（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）試列出列聯表，并依據的獨立性檢驗分析能否認為本次測試理科考生的數學成績的等第優秀與物理成績的等第是否優秀有關？（2）①數學組的章老師打算從這10個同學中，按照這次測試數學的等第是否優秀，利用分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中抽取3個人，并仔細考查這3個人的答題情況．設最后抽出的3個人中數學等第優秀的人數為，求的分布列及數學期望；②如果本次測試理科考生的物理成績，用樣本估計總體，以10名同學物理成績的平均數為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績的等第優秀的概率．參考數據：?。?，則，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87917.已知拋物線的焦點到準線的距離為1，過軸下方的一動點作拋物線的兩切線，切點分別為，且直線剛好與圓相切.設點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線相交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）求點的軌跡方程；（3）設曲線與軸交點為，點關于原點的對稱點為，記直線的斜率分別為，證明：是定值.18.如圖，在平面四邊形中，等腰直角三角形，為正三角形，，，現將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動點.（1）證明：；（2）若，三棱錐的各個頂點都在球的球面上，求球心到平面的距離；（3）求平面與平面夾角余弦值的最小值.19已知函數.（1）求在處的瞬時變化率；（2）若恒成立，求的值；（3）求證：

高三二模考前第一次調研考試數學試題時間120分鐘，分值150分一、單項選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據集合交集的運算可得.【詳解】因，，故，故選：C2.已知，是兩個虛數，則“，均為純虛數”是“為實數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據復數除法的運算法則，結合充分性、必要性、線虛數的定義進行判斷即可.【詳解】當，均為純虛數時，設，，則有，當時，顯然，但是，都不是純虛數”，因此“，均為純虛數”是“為實數”的充分不必要條件，故選：A3.函數，則對任意實數，下列結論正確的是（）A.是偶函數，且在上單調遞增B.是奇函數，且在上單調遞增C.是奇函數，且在上單調遞減D.是偶函數，且在上單調遞減【答案】B【解析】【分析】根據奇偶函數的定義即可判定奇函數，根據指數函數的單調性即可求解單調性.【詳解】的定義域為，而，則，故是奇函數，由于，函數單調遞增，故在上單調遞增，故選：B4.已知向量，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據條件，利用數量積的運算律可得，再利用向量垂直的坐標運算，可得，進而可得，，即可求解.【詳解】因為，得到，化簡得，所以，又，所以，得到，所以，則，，所以的面積為，故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據條件，利用余弦的和差角公式得到，再利用倍角公式，通過構角，得到，即可求解.【詳解】因，又，所以，得到，又，所以，故選：A.6.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，則該四棱錐的體積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據線線垂直可得平面，進而根據面面垂直的性質可得平面，進而根據三角形的邊角關系，結合錐體體積公式求解.【詳解】如圖：取的中點，連接，則且，平面，故平面，平面，故平面平面，平面平面，過作的垂線，垂足為，即,平面，故平面，由題意可知，由余弦定理可得,故，所以四棱錐的高為1，則四棱錐的體積為故選：B7.費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數學中可以推導出圓錐曲線的一些光學性質.例如，點為雙曲線為焦點）上一點，點處的切線平分.已知雙曲線：為坐標原點，點處的切線為直線，過左焦點作直線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據中點以及角平分線的性質可得，即可根據雙曲線定義得，代入到雙曲線方程可得，即可根據離心率公式求解.【詳解】如圖，延長交的延長線于點,由于是的角平分線上的一點，且,所以點為的點，所以,又為的中點，所以，故，故，即，將點代入可得，解得，故離心率為，故選：B8.已知函數的定義域為，且對任意，滿足，且則下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據累加法可得即可求解.【詳解】當時，因為，故由累加法可得，故，故AB錯誤，由，所以故，所以C錯誤,D正確，故選：D【點睛】關鍵點點睛：利用累加法可得.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，若將的圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.的圖象關于點對稱C.的圖象關于直線對稱D.的圖象與的圖象在內有4個交點【答案】BD【解析】【分析】根據函數圖象的變換可得，即可代入驗證求解ABC，作出兩個函數的圖象即可求解D.【詳解】的圖象向右平移個單位后，可得，進而可得，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故不是的對稱軸，故C錯誤，對于D，分別作出與在內的圖象，可知有4個交點，故D正確，故選：BD10.函數叫自然指數函數，是一種常見的超越函數，它常與其它函數進行運算產生新的函數.已知函數，則下列結論正確的是（）A.函數在上單調遞減B.函數既有極大值，也有極小值C.方程有個不同的實數解D.在定義域內，恒有【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由題知定義域為，，利用導數與函數單調性間的關系，即可求解；對于B，利用極值的定義，即可求解；對于選項C，利用函數的單調性，得出函數圖象，再數形結合，即可求解；對于D，構造函數，利用的圖象關于點中心對稱，即可求解.【詳解】易知的定義域為，，對于選項A，由，得到，且，所以減區間為，，故選項A錯誤，對于選項B，由，得到或，當時，，當時，，當，，當時，，所以的極大值為，極小值為，故選項B正確，對于選項C，由選項B知，的增區間為，減區間為，當時，，且時，，當從左邊時，，當從右邊時，，且時，，當時，，圖象如圖所示，由圖知，只有一個零點，且，令，由，得到，所以，令，由圖知，與有且僅有兩個交點，所以選項C正確，對于選項D，令，易知的圖象關于點中心對稱，所以，即，得到，故選項D正確，故選：BCD11.二元一次方程：可以表示平面內所有的直線，二元二次方程可以表示平面內所有的二次曲線.下列對二元二次方程所表示曲線的性質描述正確有（）A.曲線關于直線對稱B.曲線上點的縱坐標的范圍是C.存在，使與曲線相切D.過的直線與曲線交于兩點，的最小值為2【答案】ABD【解析】【分析】根據換成，將換成，方程不變，即可判定A，配方，即可根據求解B，聯立方程，根據方程的根即可求解C，根據對稱性，聯立方程求解交點，即可求解D.【詳解】對于A，將換成，將換成，方程不變，因此方程所表示的曲線關于直線對稱，A正確，對于B，，故，故，故B正確，對于C，聯立，化簡得，即，故，該方程有唯一的實數根，故曲線與直線有唯一的交點，因此無論為何值，與曲線均不相切，故C錯誤，對于D，由選項A可知：曲線關于對稱，故，可得,此時，故的最小值為2，故D正確，故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：根據曲線關于對稱，且在直線上，可知過過且與垂直的直線與曲線截的長度最小.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知某六名同學在競賽中獲得前六名無并列情況，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學獲得的名次情況可能有________種（用數字作答）【答案】144【解析】【分析】利用分步計數原理，結合優先特殊元素或特殊位置來解決問題.詳解】第一步，優先排丙，只能排第四、五、六名，共有3種；第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2種；第三步，剩下四個人排剩下四個位置，共有種，利用分步計數乘法原理可得：總共可能的排名情況有：種，故答案為：.13.已知直線與曲線相切，則直線的方程為：__________.【答案】【解析】【分析】根據直線過定點，進而根據單調性可知為切點，求導，即可根據點斜式求解方程,當不是切點時，根據，構造函數求解方程的根即可求解.【詳解】將變形為，故直線恒過點，又經過點，若直線與相切于點，，故，所以直線的方程為，即，若直線與不相切于點，設切點為，則，故，故，化簡可得，記，則，由于且，在單調遞增，故單調遞增，且，故，因此在單調遞減，由于，結合可知，當時，無實根，故當不是切點時，無滿足條件的切線方程，綜上可知：切線方程為故答案為：【點睛】關鍵點點睛：根據直線經過定點，根據切點是否為，結合求導求解.14.在平面直角坐標系內，已知，若面積不超過，則滿足條件的整點（橫縱坐標均為整數）的個數為__________.【答案】24【解析】【分析】根據點到直線的距離以及三角形的面積公式可得即可得，對分別取0，1，2，3，求解的取值，即可求解整點.【詳解】設，直線方程為，可知，故,得設，則為整數，則，可得，故，當時，點在直線上，此時不能構成三角形，故舍去，當時，，此時有4個整數點，當時，，此時有4個整數點，當時，，此時有4個整數點，根據對稱性可知：當時，也分別有4個整數點，故共有24個整點，故答案為：24【點睛】關鍵點點睛：根據,得可得則，即可代入求解整點.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.在矩形中，點在線段上，且.（1）求；（2）若動點分別在線段上，且與面積之比為，試求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）過作于，設，則，根據條件，利用正切的和角公式建立方程，即可求解；（2）設，根據條件，利用面積公式得到，再利用余弦定理及重要不等式，可得，即可求解.【小問1詳解】過作于，設，易知，則，由，整理得到，解得或（舍），所以.【小問2詳解】由（1）易知，，設，又，得到，在中，由余弦定理得到，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為.16.光明高級中學高三年級理科考生800人都參加了本學期的期中調研測試，學校把本次測試數學成績達到120分以上（包含120分）的同學的數學成績等第定為優秀，物理成績達到90分以上（包含90分）的同學的物理成績等第定為優秀．現從理科考生中隨機抽取10名同學調研本次測試的數學和物理成績，如下表：數學（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）試列出列聯表，并依據的獨立性檢驗分析能否認為本次測試理科考生的數學成績的等第優秀與物理成績的等第是否優秀有關？（2）①數學組的章老師打算從這10個同學中，按照這次測試數學的等第是否優秀，利用分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中抽取3個人，并仔細考查這3個人的答題情況．設最后抽出的3個人中數學等第優秀的人數為，求的分布列及數學期望；②如果本次測試理科考生的物理成績，用樣本估計總體，以10名同學物理成績的平均數為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績的等第優秀的概率．參考數據：?。?，則，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）答案見解析（2）①分布列見解析，；②【解析】【分析】（1）根據題意完善列聯表，求，并與臨界值對比分析；（2）①根據題意結合超幾何分布求分布列和期望；②根據題意求平均數和方差，結合正態分布求，進而利用對立事件分析求解.【小問1詳解】由題意可得：列聯表為

物理優秀物理非優秀總計數學優秀246數學非優秀044總計2810零假設：數學成績的等第優秀與物理成績的等第優秀無關，可得，依據小概率值的獨立性檢驗，可以推斷成立，即數學成績的等第優秀與物理成績的等第優秀無關.【小問2詳解】由題意可知：抽取的5人中數學等第優秀的有3人，非優秀的有2人，則的可能取值為1，2，3，可得：，所以的分布列為123的期望；由題意可得：物理成績的平均分為（分）；方差，結合題意可知：，即，則，可得，記“4人中至少1人物理成績的等第優秀”為事件A，可得，所以4人中至少1人物理成績的等第優秀的概率為.17.已知拋物線的焦點到準線的距離為1，過軸下方的一動點作拋物線的兩切線，切點分別為，且直線剛好與圓相切.設點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線相交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）求點的軌跡方程；（3）設曲線與軸交點為，點關于原點的對稱點為，記直線的斜率分別為，證明：是定值.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據即可求解，（2）求導可得切線斜率，即可根據點斜式求解直線方程，進而可得方程為，根據相切即可求解，（3）聯立直線與曲線方程可得韋達定理，進而根據兩點斜率公式，代入化簡即可求解.【小問1詳解】由題意可得，故拋物線的方程為【小問2詳解】設，所以直線即同理可得，設則且故在直線上，即直線方程為，由于直線與圓相切，故，化簡可得，故點的軌跡方程【小問3詳解】由題意可知，設直線的方程為，,聯立方程，化簡可得，則故，由于直線與雙曲線的下支相交于兩點，故，解得，，故為定值.18.如圖，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，為正三角形，，，現將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動點.（1）證明：；（2）若，三棱錐的各個頂點都在球的球面上，求球心到平面的距離；（3）求平面與平面夾角余弦值的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據，，即可根據線線垂直證明平面，即可根據線面垂直的性質求解，（2）利用等體積法即可求解，（3）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可根據向量的夾角公式求解，利用換元法，即可根據基本不等式求解最值.