PAGE1專題07一次函數與反比例函數（解析版）填空題1.（2021·河南·統考中考真題）請寫出一個圖象經過原點的函數的解析式__________．【答案】y=x（答案不唯一）【解析】【詳解】過原點的圖象可以是一次函數，或者是二次函數2.（2022·河南·統考中考真題）請寫出一個隨增大而增大的一次函數表達式_________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】在此解析式中，當x增大時，y也隨著增大，這樣的一次函數表達式有很多，根據題意寫一個即可．【詳解】解：如，y隨x的增大而增大．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】此題屬于開放型試題，答案不唯一，考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的增減性是解題關鍵．二、解答題3.（2021·河南·統考中考真題）如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標系的原點O重合，邊分別與坐標軸平行，反比例函數的圖象與大正方形的一邊交于點A(1，2)，且經過小正方形的頂點B．（1）求反比例函數的解析式；（2）求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）反比例函數的解析式為；（2）陰影部分的面積為8．【解析】【詳解】解：（1）∵反比例函數的圖象經過點A(1，2)，∴k=1×2=2∴反比例函數的解析式為y=2（2）如右圖，∵反比例函數y=2x的圖象經過點B，∴正方形OCBD的面積為2由圖可知，OE=2∴正方形OEFG的面積為2×2=4，∴陰影部分的面積為4×（4-2）=84.（2022·河南·統考中考真題）如圖，反比例函數的圖像經過點和點，點在點的下方，平分，交軸于點．（1）求反比例函數的表達式．【答案】（1）【解析】【分析】（1）把點的坐標代入反比例函數解析式，即可得出答案；【小問1詳解】解：∵反比例函數的圖像經過點，∴當時，，∴，∴反比例函數的表達式為：；【點睛】本題考查了用待定系數法求反比例函數的解析式。5.（2023·河南·統考中考真題）小軍借助反比例函數圖象設計“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數圖象上的點和點B為頂點，分別作菱形和菱形，點D，E在x軸上，以點O為圓心，長為半徑作，連接．（1）求k的值；【答案】（1）【解析】【分析】（1）將代入中即可求解；【小問1詳解】解：將代入中，得，解得：；6.（2024·河南·統考中考真題）如圖，矩形的四個頂點都在格點（網格線的交點）上，對角線，相交于點E，反比例函數的圖象經過點A．（1）求這個反比例函數的表達式．（2）請先描出這個反比例函數圖象上不同于點A的三個格點，再畫出反比例函數的圖象．（3）將矩形向左平移，當點E落在這個反比例函數的圖象上時，平移的距離為________．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數解析，畫反比例函數圖象，平移的性質等知識，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求解即可；（2）分別求出，，對應的函數值，然后描點、連線畫出函數圖象即可；（3）求出平移后點E對應點的坐標，利用平移前后對應點的橫坐標相減即可求解．【小問1詳解】解：反比例函數的圖象經過點，∴，∴，∴這個反比例函數的表達式為；【小問2詳解】解：當時，，當時，，當時，，∴反比例函數的圖象經過，，，畫圖如下：小問3詳解】解：∵向左平移后，E在反比例函數的圖象上，∴平移后點E對應點的縱坐標為4，當時，，解得，∴平移距離為．故答案為：．一、單選題1．（2024·河南安陽·模擬預測）如圖，已知P，Q分別是反比例函數與，且軸，點P的坐標為，分別過點P，Q作軸于點M，軸于點N．若四邊形的面積為2，則的值為（

）．A．5 B． C．1 D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，解題的關鍵是運用數形結合的思想來解答．根據反比例函數圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即．先求出過點P時，與坐標軸圍成的矩形的面積；再根據四邊形的面積，求出過點Q時，的值．【詳解】∵點P是反比例函數上的點∴過點P與坐標軸圍成的矩形的面積為，∴過點Q與坐標軸圍成的矩形的面積為，∵反比例函數在第二象限，∴．故選：D．2．（2024·河南三門峽·二模）如圖，矩形的頂點A在反比例函數的圖象上，頂點B，C在第一象限，對角線軸，交y軸于點D．若矩形的面積是，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質，反比例函數k的幾何意義，余弦的定義．根據可得，設，則，代入可得，進而可得，推出，根據k的幾何意義可得，再根據反比例函數圖象所在象限得出，即可求解．【詳解】解：軸，四邊形是矩形，，，，設，則，，，，，，反比例函數第二象限，，．故選：D．3．（2024·河南周口·一模）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點，，則關于x的不等式的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數交點問題，先求出反比例函數解析式，進而求出點B的坐標，然后直接利用圖象法求解即可．【詳解】解：∵在反比例函數圖象上，∴，∴反比例函數解析式為，∵在反比例函數圖象上，∴，∴，由題意得關于x的不等式的解集即為一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍，∴關于x的不等式的解集為或，故選：A．二、填空題4．（2024·河南新鄉·模擬預測）如圖，點是反比例函數圖象上一點，軸于點，點在軸上，連接．若面積為2，則的值為

【答案】4【分析】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，連接，通過反比例函數系數的幾何意義得出，即可得出答案．【詳解】解：連接，

∵軸，∴軸，∴，∴．故答案為：4．5．（2024·河南商丘·模擬預測）如圖，在中，，點在軸上，、分別為、的中點，連接，為上任意一點，連接、，反比例函數的圖象經過點．若的面積為6，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數圖象、等腰三角形以及中位線的性質、三角形面積，解題的關鍵是靈活運用等腰三角形的性質．根據等腰，中位線得出，，應用的幾何意義求．【詳解】解：如圖：連接，中，，在軸上，、分別為，的中點，，，，．故答案為：．6．（2023·河南新鄉·二模）請任寫一個與平行的一次函數解析式．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數圖象的位置與系數的關系，明白函數圖象中平行相等是關鍵．根據平行相等這個結論即可得出結論．【詳解】解：兩解析式平行值相等，，∴解析式可以是（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．7．（2024·河南許昌·二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形和正方形的頂點A，C，D均在坐標軸上，點F是邊的中點，點B，E在反比例函數()的圖象上．若，則k的值為．

【答案】2【分析】設，結合點F是邊的中點，得，得到，，結合點B，E在反比例函數()的圖象上，建立等式計算即可．本題考查了矩形的性質，正方形性質，反比例函數性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】設，∵點F是邊的中點，∴，∵矩形和正方形，，∴，軸，，，軸，∴，，∵點B，E在反比例函數()的圖象上，∴，解得(舍去)，∴，故答案為：2．8．（23-24九年級下·河南新鄉·期中）如圖，、是反比例函數圖象上的兩點，、兩點的橫坐標分別是、，直線與軸交于點，若的面積為，則．【答案】【分析】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，根據圖中面積關系列出方程式是解題的關鍵．作軸，垂足為，作軸，垂足為，軸，垂足為，代入求出點和點的坐標，根據，列方程求解即可．【詳解】解：作軸，垂足為，作軸，垂足為，軸，垂足為，如圖：∵、是反比例函數圖象上的兩點，、兩點的橫坐標分別是、，故將代入得：，即坐標為，故將代入得：，即坐標為，∵，即，解得：．故答案為：．9．（2024·河南三門峽·一模）在一次函數中，隨的增大而減小，則的值可以是（任意寫一個符合條件的數即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數的性質，根據隨的增大而減小，得出，即可作答．【詳解】解：∵在一次函數中，隨的增大而減小，∴，解得，則的值可以是（答案不唯一）故答案為：．三、解答題10．（2024·河南周口·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數圖象上的點A為頂點，作邊長為4的正方形，點B、C分別在y軸和x軸上，反比例函數圖象上另一點D向右作正方形，以點C為圓心，長為半徑作，連接．(1)求k的值．(2)求正方形的邊長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象和性質，求扇形的面積：（1）求出，再代入，即可求解；（2）設正方形的邊長為m，則點D的坐標為，從而得到，即可求解；（3）根據陰影部分的面積，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，邊長為4，∴點．將點代入到中，得∶，解得∶．（2）解：設正方形的邊長為m，則點D的坐標為．又∵點D在反比例函數的圖象上，∴，解得，（舍去），∴正方形的邊長為；11．（2024·河南·三模）如圖，已知反比例函數（）與正方形交于點M，，連接，以點O為圓心，ON長為半徑作四分之一圓，分別交x軸，y軸正半軸于點D，E．

(1)求反比例函數的解析式；(2)求證：；【答案】(1)；(2)證明見解析；【分析】（）利用待定系數法即可求解；（）求出的長度即可求證；本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，反比例函數比例系數的幾何意義，坐標與圖形，勾股定理，掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵反比例函數（）與正方形交于點，，∴將代入（）中，得，解得，∴反比例函數的解析式為：；（2）證明：∵，四邊形是正方形，∴，∴點的橫坐標為，把，代入中得，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；12．（2024·河南周口·二模）如圖，平面直角坐標系中，的頂點為，，，將繞點順時針旋轉得到，其中，點，的對應點分別為點，．

(1)若雙曲線經過點，求雙曲線的解析式；(2)若點的運動軌跡為，求陰影部分的周長；(3)求直線的解析式．【答案】(1)反比例函數表達式為：(2)陰影部分的周長為(3)的表達式為：【分析】本題主要考查了求反比例函數解析，一次函數解析式，旋轉的性質以及全等三角形的判定以及性質，弧長公式等等知識，掌握這些知識是解題的關鍵．（1）將繞點順時針旋轉得到根據旋轉的性質得出點，再用待定系數法即可求出反比例函數解析式．（2）由旋轉的性質可得出，求出，再求出，即可求出陰影部分的周長．（3）作軸于點，證明，由全等的性質可得出，，進一步再求出點N的坐標，最后用待定系數法即可求出直線的解析式．【詳解】（1）解：由題意得，，，，將繞點順時針旋轉得到，則點，將點的坐標代入反比例函數表達式得：，則反比例函數表達式為：；（2）由旋轉的性質可得出，由點、、的坐標得，，則；陰影部分的周長為（3）作軸于點，

，，，，，，，，，，則，，，則點，又∵，設的解析為：，則．解得：∴的表達式為：．13．（2024·河南安陽·模擬預測）如圖，反比例函數的圖象與過點的直線相交于、B兩點．已知點A的坐標為．(1)求直線AB的解析式及反比例函數的解析式；(2)若點P在x軸上，且，求點P的坐標．【答案】(1)，(2)或【分析】本題考查了反比例函數與一次函數交點問題、待定系數法求函數解析式：（1）利用待定系數法即可求解；（2）聯立方程組求得或，則可得，設直線與軸相交于點，根據可求得，進而可求解；熟練掌握待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：把點代入得：，解得：，反比例函數的解析式為，設直線的解析式為，代入得：，解得：，直線的解析式為．（2）聯立方程組得：，解得：或，，設直線與軸相交于點，如圖：，，，點的坐標為或．14．（2024·河南鄭州·三模）如圖，反比例函數的圖象經過點，連接并延長，交雙曲線于點C，以為對角線作正方形，點B在第四象限過點A，O，B作弧．(1)求反比例函數的表達式．(2)所對圓心角的度數為_______°，所在圓的半徑為______．(3)求圖中陰影部分的面積之和．【答案】(1)；(2)90，；(3)．【分析】（1）由反比例函數的圖象經過點，得到，求得反比例函數的表達式為；（2）根據正方形的性質得到點是四邊形的中心，連接，得到，，求得所對圓心角的度數為，根據勾股定理得到所在圓的半徑為；（3）設所在圓的圓心為，與軸交于，與軸交于，連接，求得，根據全等三角形的判定得到，根據三角形的面積公式和扇形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：反比例函數的圖象經過點，，反比例函數的表達式為；（2）∵四邊形是正方形，為對角線，，∴點O是四邊形的中心，連接，∴，∴，為所在圓的直徑，∴所對圓心角的度數為，∵，∴，∴所在圓的半徑為；故答案為：90，；（3）設所在圓的圓心為E，與x軸交于F，與x軸交于G，連接，∴，，∵，∴，∵弓形的面積扇形的面積三角形的面積，∴圖中陰影部分的面積之和半圓的面積弓形的面積．【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，扇形面積的計算，勾股定理，圓周角定理，待定系數法求函數的解析式，正確地識別圖形是解題的關鍵．15．（23-24九年級下·河南鶴壁·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點，將線段繞點B順時針旋轉，使O的對應點為，反比例函數的圖象經過點C．(1)求k的值．(2)以點B為圓心，為半徑畫，求圖中陰影部分的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質，特殊角三角函數值計算即可．（2）利用弧長公式，勾股定理，直角三角形的性質解答即可．本題考查了反比例函數的性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，特殊角的三角函數值，弧長公式，勾股定理，熟練掌握公式和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）連接，如圖所示．∵點，，即點O是的中點．，，．由旋轉可得是等邊三角形．過點C作軸于點D，∴，．把點C的坐標代入，得．（2）由（1）知，為等邊三角形，，，的長為．∴陰影部分的周長為．16．（2024·河南商丘·二模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象過點．(1)求反比例函數的表達式．(2)將順時針旋轉至與軸重合，點的對應點為．①連接，求線段的長；②是平面直角坐標系內一點，若以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)(2)①，②或或【分析】題目主要考查反比例函數的綜合問題，旋轉的性質，平行四邊形的性質，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．（1）直接將點代入求解即可；（2）①過點作軸于點，根據題意得，然后再由旋轉的性質確定，即可求解；②由①得，，設點，分三種情況分析：當為對角線時，當為對角線時，當為對角線時，分別利用平行四邊形的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數的圖象過點，∴．∴反比例函數的表達式為．（2）①過點作軸于點，如圖所示．∵點，∴，．∴．由旋轉的性質，可知．∴．在中，．②由①得，∴，，，設點，當為對角線時，，解得：，∴；當為對角線時，，解得：，∴；當為對角線時，，解得：，∴；綜上可得：的坐標為或或．17．（2024·河南周口·二模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，延長交反比例函數的圖象于點D．(1)填空：（填寫“＞”“＜”或“＝”）；(2)請用無刻度的直尺和圓規作出的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)在的平分線上取點E，使，連接，當時，求的面積．【答案】(1)＝(2)見解析(3)【分析】（1）根據反比例函數的對稱性進行求解即可；（2）根據角平分線的尺規作圖方法作圖即可；（3）連接．聯立函數解析式求出點B坐標為，再求出可得，然后證明，可得．【詳解】（1）∵經過原點，且點B和點D在反比例函數圖象上，∴由反比例函數的對稱性可知，．故答案為：=；（2）如圖1所示．（3）如圖2，連接．聯立解得或由圖可知點A在點B的左邊，∴點B坐標為．當時，，∴，∴，∵平分，∴．∵點O是的中點，，∴，∴，∴，∴，【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，反比例函數的對稱性，尺規作角平分線，平行線的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線性質等，熟練掌握基本幾何圖形性質是解題關鍵．18．（2024·河南濮陽·三模）如圖，的頂點O與坐標原點重合，邊在x軸正半軸上，反比例函數的圖象經過頂點C，與邊交于點D．(1)求；(2)若點D是的中點，設直線的解析式是，若時，求x的取值范圍．【答案】(1)；(2)x的取值范圍是．【分析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，反比例函數與一次函數的交點問題等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）利用勾股定理求出點的坐標，即可求解；（2）由（1）可得反比例函數的解析式，利用平行四邊形的性質及勾股定理求出點坐標，再根據可確定x的取值范圍．【詳解】（1）解：過點作的垂線，交于點，如圖：∵，∴，∵∴，∵，∴，∴，∴，把點代入中得：．（2）解：由（1）可得，反比例函數的解析式，過點作軸于點，如圖：∵四邊形是平行四邊形，，∴，，∵點D是的中點，∴，∵，∴又∵，∴∴，∴，∴點的縱坐標為，代入得：，∴點，∵，∴由圖可知，x的取值范圍是：．19．（2024·河南開封·二模）如圖，直線與反比例函數交于點和點，點，為等腰兩腰的中點，過點，，做圓，連接，取的中點，連接．(1)求和的值；(2)當時，直接寫出的解集；(3)求陰影部分的面積．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）分別將代入與中，即可求出和的值；（2）聯立直線與反比例函數，求出點B的坐標，再根據即為反比例函數圖象在一次函數圖象的上方時自變量的取值，結合圖象即可解答；（3）由點A，點B的坐標得出點C的坐標，再根據點，為等腰兩腰的中點，由勾股定理求出的長，根據即可求解．【詳解】（1）解：將代入中，則，解得：；將代入中，則，解得：；（2）解：由（1）知直線與反比例函數，聯立，則，即，解得：或，當，，根據題意：，即為反比例函數圖象在一次函數圖象的上方，或；（3）解：∵點，點，∴，∵是等腰直角三角形，∴又∴又點，為的中點，∴,∴，即是等腰直角三角形，∴∵∴是的直徑，∴的半徑長為，．【點睛】本題主要考查求一次函數與反比例函數解析式，一次函數與反比函數交點問題，等腰三角形的性質以及求不規則圖形的面積，勾股定理，靈活運用數形結合的思想是解題的關鍵．20．（2024·河南南陽·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象在第一象限內交于和兩點，直線與軸相交于點C，連接．(1)求一次函數與反比例函數的表達式；(2)當時，請結合函數圖象，直接寫出關于的不等式的解集；【答案】(1)，(2)(3)9【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題以及尺規作圖，利用圖象求不等式的解集，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）利用待定系數法，先把代入反比例函數，求出的值，再求出A的坐標，從而求出一次函數的解析式，即可作答．；（2）利用數形結合思想可求解；（3）先作圖，再求出的坐標，得出是的中點，得出是的一半，根據梯形面積公式代入數值，即可作答．【詳解】（1）解：反比例函數圖象過，，反比例函數的表達式為：，把代入得：，，一次函數的圖象過點，點，，解得：，一次函數的表達式為；（2）解：觀察函數圖象可得，當時，當時，的圖象在的圖象上方，∴的解集為：；（3）解：如圖：∵直線與軸相交于點C，一次函數的表達式為∴時，∴，∴∵∴是的中位線∴則梯形的面積．21．（2024·河南鄭州·二模）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點，與軸交于點，連接，．

(1)求反比例函數和一次函數的表達式；(2)求的面積；(3)根據圖象直接寫出不等式組的解集．【答案】(1)反比例函數的表達式為，一次函數的表達式為(2)(3)【分析】本題考查一次函數與反比例函數的交點問題，（1）先將點代入求出的值，繼而可確定點的坐標，再將點、代入得到方程組，求解即可；（2）先求出點坐標，再根據三角形面積公式代入數據計算即可；（3）根據圖像直接寫出不等式組的解集即可；理解交點坐標滿足兩個函數解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解∶∵點在反比例函數的圖像上，∴，∴反比例函數的表達式為，∵點在反比例函數的圖像上，∴，∴，∵、在一次函數的圖像上，∴，解得：，∴一次函數的表達式為；（2）設，分別為點，的縱坐標，∵一次函數與軸交于點，當時，得：，解得：，∴，∴，∴，∴的面積是；（3）∵一次函數與反比例函數的圖像交于，兩點，與軸交于點，不等式表示反比例函數的圖像位于一次函數的下方，則其解集為：或，而不等式表示一次函數的圖像位于軸的下方，則其解集為：，∴不等式組的解集為．22．（2024·河南安陽·一模）如圖所示，矩形的邊在x軸上，在y軸上，點B的坐標是反比例函數的圖象經過點B，以點A為圓心，為半徑作交邊于點C，連接．(1)求反比例函數的解析式．(2)求的度數．(3)請直接寫出圖中陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）用待定系數法求解即可；（2）由勾股定理求出，的長，然后證明是等邊三角形，進而可求出．（3）根據求解即可．【詳解】（1）把點代入，得．∴反比例函數的解析式是．（2）∵矩形中，∴，，，由題意知．由勾股定理得，∴．由勾股定理得，∴，∴是等邊三角形，∴．（3）【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，矩形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，以及扇形的面積公式，證明是等邊三角形是解答本題的關鍵．23．（2024·河南南陽·二模）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線經過點．

(1)求雙曲線對應的函數關系式．(2)將線段繞點O順時針旋轉，得到線段，判斷點是否在該雙曲線上？說明理由；并求點A運動的路徑長l．(3)連接，請直接寫出的面積．【答案】(1)(2)點在該雙曲線上，理由見解析；點A運動的路徑長l為；(3)1【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式即可；（2）過點軸于點B，過點軸于點C，則，求出，證明，則，求出點的坐標為，由勾股定理得到，由題意可得，點A運動的路徑是以點O為圓心，以為半徑，圓心角為的一段弧，利用弧長公式求解即可；（3）連接，并分別延長與相交于點D，由（2）可知，軸于點B，過點軸于點C，證明是等腰直角三角形，證明四邊形是正方形，由即可求解答案．【詳解】（1）解：設雙曲線對應的函數關系式為．把代入得到，，∴，∴雙曲線對應的函數關系式為．（2）解：過點軸于點B，過點軸于點C，則，

∵點．∴，∴，∴，∵線段繞點O順時針旋轉，得到線段，∴，∴，∴，∴∴∴點的坐標為，∵，∴點在該雙曲線上，由勾股定理得到由題意可得，點A運動的路徑是以點O為圓心，以為半徑，圓心角為的一段弧，∴點A運動的路徑長．（3）連接，并分別延長與相交于點D，

由（2）可知，軸于點B，過點軸于點C，∴，∵點，點．∴，∴是等腰直角三角形，∵∴四邊形是正方形，∴即的面積為1．【點睛】此題考查了反比例函數綜合題，考查了旋轉的性質、待定系數法求反比例函數解析式、正方形的判定和性質、解直角三角形、全等三角形的判定和性質、勾股定理、弧長公式等知識，數形結合是解題的關鍵．24．（2024·河南新鄉·二模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數交于點，與軸，軸分別交于點，點，且，過點作軸于點．(1)求一次函數解析式；(2)若，求反比例函數解析式．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式與反比例函數解析式；（1）根據題意得出待定系數法求解析式，即可求解；（2）根據一次函數解析式可得則，進而根據得出，即點的橫坐標為4，代入直線解析式，求得點的坐標為，待定系數法求反比例函數解析式，即可求解．【詳解】（1）解：，，，將代入得，解得，一次函數解析式為；（2）一次函數解析式為，，，，，，，，點的橫坐標為4，點在一次函數的圖象上，點的坐標為，反比例函數解析式為．25．（2024·河南新鄉·三模）如圖，反比例函數的圖象經過點，連接并延長，交雙曲線于點C．以為對角線作正方形，點B在第四象限，過點A，O，B作弧．(1)求反比例函數的解析式；(2)求弧所在圓的半徑；(3)直接寫出圖中用影部分的面積．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由反比例函數的圖象經過點，得到，求得反比例函數的表達式為；（2）根據正方形的性質得到點是四邊形的中心，連接，得到，，求得所對圓心角的度數為，根據勾股定理得到所在圓的半徑為；（3）設所在圓的圓心為，與軸交于，與軸交于，連接，求得，根據全等三角形的判定得到，根據三角形的面積公式和扇形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：反比例函數的圖象經過點，，反比例函數的表達式為；（2）解：四邊形是正方形，為對角線，，點是四邊形的中心，連接，，，，為所在圓的直徑，所對圓心角的度數為，，,，所在圓的半徑為；故答案為：；（3）解：設所在圓的圓心為，與軸交于，與軸交于，連接，，，，，，弓形的面積扇形的面積三角形的面積，圖中陰影部分的面積之和半圓的面積弓形的面積．【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，扇形面積的計算，勾股定理，圓周角定理，待定系數法求函數的解析式，正確地識別圖形是解題的關鍵．26．（2024·河南駐馬店·三模）如圖，已知反比例函數與一次函數的圖象交于，兩點．(1)求m的值及反比例函數與一次函數的表達式；(2)請用無刻度的直尺和圓規作出線段的垂直平分線，交x軸于點C，交線段于點D（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(3)連接，求的面積．【答案】(1)，反比例函數表達式為，一次函數表達式為；(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了一次函數和反比例函數的綜合、求函數解析式、垂直平分線的尺規作圖等知識點，掌握數形結合思想是解答本題的關鍵．（1）利用待定系數法求得反比例函數的表達式為，再求得，得到，利用待定系數法求得一次函數的表達式即可；（2）根據題意作出圖形即可；（3）設，根據，列式計算求得，求得與軸的交點的坐標為，再根據三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：將代入得，∴反比例函數的表達式為，將代入得，，解得，∴，將，代入得，，解得，∴一次函數的表達式為；（2）解：如圖所示即為所求作：（3）解：設，如圖，由題意得，即，∴，解得，則，對于函數，令，則，則與軸的交點的坐標為，∴的面積為．27．（2024·河南平頂山·三模）如圖，反比例函數（）的圖象與直線的交點，均在正方形網格線的格點上．(1)填空：______，_______，_______．(2)若將直線向下平移個單位長度，平移后所得直線與雙曲線（）是否存在交點？若存在，求出交點坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)；；(2)存在，交點坐標為【分析】本題考查了求反比例函數和一次函數解析式、一次函數圖象平移問題、反比例函數與一次函數的交點問題，熟練掌握求函數解析式、正確計算是解題的關鍵．（1）根據“交點，均在正方形網格線的格點上”，結合圖象得出、，分別代入反比例函數和直線解析式中計算得出答案即可；（2）根據一次函數圖象的平移，得出平移后直線的解析式，結合反比例函數的解析式計算求出交點坐標即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數（）的圖象與直線的交點，均在正方形網格線的格點上，∴由圖象得：、，∴把代入得：，把、代入得：，解得：，故答案為：；；；（2）解：∵由（1）得：，，，∴反比例函數解析式為，直線解析式為，∵將直線向下平移個單位長度，∴平移后所得直線解析式為，令，整理得，解得：，當時，，∴存在交點，交點坐標為．28．（2024·河南安陽·二模）如圖，菱形的頂點為坐標原點，點在軸上，點點為反比例函數上一點．(1)求的值；(2)將菱形以點為旋轉中心逆時針旋轉，使點的對應點落在負半軸上，求扇形圓心角的度數；(3)請直接寫出圖中陰影部分面積之和．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）由點坐標求出，根據菱形的性質求出點的坐標，再代入反比例函數解析式即可求出的值；（）過向軸作垂線，垂足為，可得為等腰直角三角形，得到，進而得，又由題意可知菱形逆時針旋轉了，據此即可求解；（）根據解答即可求解；本題考查了坐標與圖形，菱形的性質，待定系數法求反比例函數解析式，旋轉的性質，扇形和菱形的面積，掌握菱形和旋轉的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∵菱形，點在軸上，∴軸，，∴，將點坐標代入得，，∴；（2）解：過向軸作垂線，垂足為，則，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵點在軸上，點落在負半軸上，∴菱形逆時針旋轉了，∴扇形的圓心角度數為（3）解：．29．（2024·河南洛陽·三模）如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點，過反比例函數的圖象上的一點作軸的垂線，垂足為點，交直線于點，且．(1)求一次函數和反比例函數的解析式；(2)若，求的面積；(3)請直接寫出當時，不等式解集．【答案】(1)一次函數表達式，反比例函數表達式為(2)的面積為6(3)【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題及待定系數法求函數解析式，（1）先求出，進而得出及，設點C坐標為，代入求出反比例函數表達式及一次函數表達式；（2）先求出直線表達式為，進而得出，即可求出面積；（3）結合圖象即可得出結論．【詳解】（1）解：一次函數與軸交于點，當時，，則，點A橫坐標為2，，，，設點C坐標為，，，，當時，，即，把代入，解得：，一次函數表達式，反比例函數表達式為；（2），直線表達式，直線表達式為，由題意得：，解得：，，當時，，，；（3）由圖象可知：在點C左側，正比例函數值小于反比例函數值，當時，不等式解集為．30．（2023·河南周口·模擬預測）如圖，平面直角坐標系中點，，反比例函數的圖象與線段交于點，．

(1)求反比例函數表達式．(2)請用無刻度的直尺和圓規作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(3)（）中所作的垂直平分線分別與、線段交于點．連接，求證：是的平分線．【答案】(1)；(2)作圖見解析；(3)證明見解析．【分析】（）先求出點坐標，代入解析式，可求解；（）以點、點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點、點，連接，則為所求圖形；（）先求出點坐標，點坐標，由面積法可求的長，由角平分線的判定即可求證；本題考查了待定系數法，作線段的垂直平分線，角平分線的判定，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴點，∵反比例函數的圖象過點，∴，∴反比例函數表達式為；（2）解：如圖，以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點、點，連接，則為所求；

（3）解：如圖，過點作于，

∵，，∴點，∴點的縱坐標為，∴點，∴，∵，∴，∵點，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴是的平分線．31．（2024·河南焦作·二模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點，為常數．(1)求一次函數和反比例函數的解析式；(2)根據圖象直接寫出不等式的解集為；(3)點為軸上一點，若的面積為1，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】（1）將點代入反比例函數的解析式即可求出反比例函數的解析式，再將點代入已求出的反比例函數解析式求出的值，進而得點的坐標，然后將點，的坐標代入一次函數的解析式即可求出一次函數的解析式；（2）觀察函數的圖象，找出一次函數的圖象在反比例函數的上方所對應的的取值范圍即可；（3）過點，分別作軸的垂線，垂足分別為，，根據點，的坐標可求出四邊形，根據題意，分三種情況：①點在線段上，即；②當在延長線上時，即；③當在延長線上時，即；由面積關系列方程求解即可求出點的坐標．【詳解】（1）解：將點代入之中得，反比例函數的解析式為；將代入反比例函數之中得，點的坐標為，將點，代入之中得，解得，一次函數的解析式為；（2）解：由（1）知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點，過作軸的垂線，如圖所示：觀察函數的圖象可知當或時，一次函數的圖象均在反比例函數的上方，的解集為或；（3）解：過點，分別作軸的垂線，垂足分別為，，如圖所示：，，，，，，軸，軸，四邊形為直角梯形，，設點的坐標為，的面積為1，①點在線段上，即，如圖所示：，，，，，，解得，此時點的坐標為；②當在延長線上時，即，如圖所示：，，則，，，則，解得，此時點的坐標為；③當在延長線上時，即，如圖所示：，，則，，，則，解得，由于，與當在延長線上時，即矛盾，此種情況不存在；綜上所述：點的坐標為或．【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點，待定系數法求函數的解析式等，解答此題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數的解析式的方法與技巧，難點是解答（3）時，根據相關點的坐標向坐標軸作垂線把不規則圖形的面積轉化為規則圖形面積的和差．32．（2024·河南開封·二模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與直線分別相交于點，B兩點．(1)求反比例函數的解析式．(2)尺規作圖：過O作直線的垂線，垂足為點C．（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（2）的條件下，求證：．【答案】(1)(2)圖見解析(3)見解析【分析】本題考查反比例函數與一次函數，反比例函數與幾何圖形的綜合應用：（1）把代入一次函數解析式，求出的值，再利用待定系數法求出反比例函數解析式即可；（2）利用尺規作垂線的方法，作圖即可；（3）求出點坐標，利用兩點間距離公式即可得證．【詳解】（1）解：把代入，得：，∴，把代入，得：，∴；（2）如圖，點即為所求；（3）設直線交坐標軸與點，如圖：當時，，當時，，∴，∴，∵，∴，∴，聯立，解得：或，經檢驗，兩組解均是原方程組的解，∴，∵，∴，∴．33．（2024·河南鄭州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象與直線交于點．(1)求k，m的值；(2)已知點P為直線在第一象限上的一個動點，且點P的橫坐標為a，過點P作x軸的垂線，交函數的圖象于點Q，當時，求a的值；(3)觀察圖象，直接寫出當時，a的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，待定系數法求解析式，（1）將點坐標代入求出m，將坐標代入反比例函數解析式求出k值即可；（2）由（1）可知，反比例函數解析式為，設點P坐標為，則，列出關于a的方程解答即可；（3）數形結合得到時，a的取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵點在直線上，∴，∴，∵在反比例函數圖象上，∴，∴．（2）由（1）可知，反比例函數解析式為，設點P坐標為，則，∴，∴，解得：或（舍去）或或（舍去），∴或，（3）由圖象可知，當時，或．34．（2023·河南新鄉·二模）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，與x軸交于點，與y軸交于點，點為反比例函數上一動點，過點M作軸交于點N，連接．(1)求反比例函數的表達式；(2)直線沿y軸方向平移，當的面積最大時，求點M的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出直線的解析式為：，把代入求得，然后利用待定系數法即可求得反比例函數的解析式即可；（2）由，軸，得到點，則，得到，即可求得時，的面積最大，從而求得．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴反比例函數解析式為．（2）解：∵直線的解析式，∵，軸，∴點，∴，∴∴當時，的面積最大，∴此時．【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數的解析式，三角形的面積，二次函數的應用，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．35．（2024·河南平頂山·二模）如圖，已知，，連接．將線段向右平移1個單位長度，點的對應點恰好落在反比例函數的圖像上．(1)求該反比例函數關系式．(2)設點是軸正半軸上一點，請用無刻度的直尺和圓規作出的平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）(3)連接，并延長與（2）中所作角平分線相交于點．求證：．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）首先根據平移的性質得到的坐標為，然后利用待定系數法求解即可；（2）利用尺規作角平分線的方法求解即可；（3）首先證明出四邊形為平行四邊形，得到，然后根據等角對等邊證明即可．【詳解】（1）將點向右平移1個單位長度到點，所以的坐標為，把點代入反比例函數，得．即該反比例函數關系式為．（2）如圖所示，射線即為所求．（3）由平移可知，，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴．由作圖可知，平分，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了平移的性質，待定系數法求反比例函數解析式，尺規作角平分線，平行四邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．36．（2024·河南南陽·一模）如圖，直線與雙曲線相交于、兩點，與x軸交于點C．(1)求直線的解析式；(2)連接AO、OB，求的面積；(3)請直接寫出關于x的不等式的解集．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先求出點，再運用待定系數法求解析式，即可作答．（2）先求出，再運用割補法進行列式代入數值進行計算，即可作答．（3）運用數形結合思想，即可作答．【詳解】（1）解：由題意，將B點代入，得．在雙曲線上，；將A、B代入一次函數解析式得，，直線的解析式為．（2）解：依題意，在中，令，得，，．即的面積是；（3）解：依題意，結合圖象，則的解集為．37（2023·河南鄭州·二模）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交，其中一個交點A的橫坐標是2．

(1)求反比例函數的表達式；(2)將一次函數的圖象向下平移4個單位長度，請在圖中直接畫出平移后的圖象，并求出平移后的圖象與反比例函數的圖象的交點坐標．【答案】(1)(2)、【分析】（1）將代入一次函數，即可求出交點A的坐標，再將交點A的坐標代入反比例函數，即可求解；（2）根據“上加下減”的方法求出平移后的一次函數解析式，將此解析式與反比例函數解析式聯立，解方程組，即可求解．【詳解】（1）根據題意，有當時，，即交點A的坐標為，將交點A的坐標代入反比例函數，有，即，則反比例函數表達式為：；（2）一次函數向下平移4個單位，得到的新的一次函數為：，聯立：，解得：，或者，即交點坐標為：、．【點睛】本題是一次函數與反比例函數的綜合題，考查了求解一次函數與反比例函數的交點的問題以及一次函數平移的知識．掌握根據“上加下減、左加右減”的規則得到一次函數平移后的解析式是解答本題的關鍵．38．（2024·河南南陽·二模）在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點．(1)求一次函數的表達式．(2)觀察函數圖象，直接寫出不等式的解集．(3)若點C與點A關于原點對稱，求的面積．【答案】(1)一次函數解析式為(2)或(3)6【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、待定系數法求解析式以及三角形面積問題：（1）把A、B兩點的坐標代入一次函數的關系式即可求出k、b的值，進而可得出其關系式；（2）觀察函數圖象，再利用數形結合進行解答即可；（3）求出點C的坐標，運用分割法求出的面積【詳解】（1）解：把代入，得：，解得，，∴一次函數解析式為；（2）解：觀察圖象知，當或時，一次函數的圖象在反比例函數的圖象上方，所以，不等式的解集為或；（3）解：∵點C與點A關于原點對稱，且,∴,如圖，所以，的面積．39．（2024·河南周口·一模）如圖，已知A，B是反比例函數圖象上的兩點，軸于點C，交于點D，若的面積是的面積的2倍，的面積為，求反比例函數的表達式．【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數的系數k的幾何意義、相似三角形的判定與性質等知識點．過點作軸于，根據反比例函數的幾何意義可得，根據的面積是的面積的2倍，可得，進而可得，然后證明，根據相似三角形面積比等于相似比的平方即可得出的面積，進而可得答案．【詳解】解：如圖，過點作軸于，已知，是反比例函數圖象上的兩點，，的面積是的面積的2倍，，，軸，軸，，又，，，，∵的面積為，∴，解得，∴反比例函數解析式為．40．（2024·河南三門峽·一模）如圖，正比例函數和反比例函數的圖象交于點．(1)求反比例函數的解析式；(2)將直線向上平移3個單位后，與軸交于點，與的圖象交于點，求點的坐標．【答案】(1)反比例函數的解析式為；(2)點坐標為．【分析】本題考查了正比例函數和反比例函數的圖象和性質，圖象的平移，以及求解方程組，熟悉待定系數法求解析式和圖象平移后函數解析式的表示是解題的關鍵．（1）根據點在正比例函數圖象上，可求出點坐標，將點坐標代入即可求解；（2）根據函數圖象平移的特征，求出圖象平移后的直線解析式，然后與聯立方程組，求得兩組解，根據點位于第一象限，從而確定點坐標．【詳解】（1）解：點在正比例函數圖象上，把代入中，即，解得．點坐標為．把代入中，，解得．反比例函數的解析式為．（2）解：將直線向上平移3個單位后，其函數解析式為，聯立方程組，解得，．平移后的直線與圖象的交點位于第一象限，點坐標為．41．（2023·河南平頂山·模擬預測）如圖，已知一次函數與反比例函數的圖象交于點，，與兩坐標軸分別交于，兩點，連接，．(1)求出一次函數的表達式和的值；(2)若點在軸上，且，求點的坐標．【答案】(1)，6(2)點P的坐標為或【分析】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了待定系數法求函數