試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025屆上海浦東新區高三二模數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．不等式x?2x2．已知向量a=1,2,b3．設圓C方程為x2+y2+4．若f(x)=cos5．若關于x的方程x2?x+m=06．設數列{an}為等差數列，其前n項和為Sn，已知a7．在x?1x8．設Mx,y為拋物線y2=4x上任意一點，若x9．李老師在整理建模小組10名學生的成績時不小心遺失了一位學生的成績，且剩余學生的成績數據如下：5

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9，但李老師記得這名學生的成績恰好是本組學生成績的第25百分位數，則這10名學生的成績的方差為．10．如圖，某建筑物OP垂直于地面，從地面點A處測得建筑物頂部P的仰角為30°，從地面點B處測得建筑物頂部P的仰角為45°，已知A、B相距100米，∠11．已知a、??b、??c為空間中三個單位向量，且a?b=b?12．已知數列an，a1=1,a①存在小于1013的正整數t，使得S2②對任意的正整數k和m，都有S2則滿足以上條件的數列Sn1≤二、單選題13．已知集合P={?1,1,3,A．{?1,1} B．{?14．“a>b”是“lgaA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．研究變量x，y得到一組成對數據xi,yi,i=1,A．變量x與變量y的相關性變強 B．相關系數r的絕對值變小C．線性回歸方程y=ax+b16．已知圓錐曲線Γ的對稱中心為原點O，若對于Γ上的任意一點A，均存在Γ上兩點B，C，使得原點O到直線AB，AC和BC①任意橢圓都是“完美曲線”；②存在雙曲線是“完美曲線”．下列判斷正確的是（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①②都是真命題 D．①②都是假命題三、解答題17．已知函數y=fx(1)若函數y=fx(2)對任意實數x∈?1,118．如圖，四邊形ABCD為長方形，PA⊥平面A(1)若E、F分別是PB、C(2)邊BC上是否存在點G，使得直線PG與平面PAD所成的角的大小為19．為測試A、B兩款人工智能軟件解答數學問題的能力，將100道難度相當的數學試題從1到100編號后隨機分配給這兩款軟件測試．每道試題只被一款軟件解答一次，并記錄結果如下：試題類別A軟件B軟件測試試題數量正確解答的數量測試試題數量正確解答的數量幾何試題20163020函數試題30242018(1)分別估計A軟件、B軟件能正確解答數學問題的概率；(2)小浦準備用這兩款軟件來解決某次數學測試中的第12題（假設其難度和測試的100道題基本相同），但該題內容還未知，從已往情況來看，該題是幾何題的概率為13，是函數題的概率為2(3)小浦決定采用這兩款軟件解答6道類似試題，其中幾何、函數各3道，每道試題只用其中一款軟件解答一次．將頻率視為概率，小浦比較了這兩款軟件在解答幾何和函數題上的正確率，決定用表現較好的那款軟件解決其擅長的題型．用X1、X2分別表示這3道幾何試題與3道函數試題被正確解答的個數，求隨機變量20．已知橢圓C1的方程為x23+y2=(1)若橢圓C2的方程是x2a2+(2)設橢圓C2的焦點在x軸上，直線AB與C2相交于點C、D，若C(3)設橢圓C2的焦點在y軸上，點P在C1上，點Q在C2上．若存在△AP21．定義域為R的可導函數y=fx滿足，在曲線y=fx上存在三個不同的點Ax1,y1,Bx2,y(1)設fx=x2+x，(2)若fx=1(3)已知y=fx的導函數y=f′x在R上為增函數，且存在一個正常數T，使得對任意x答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025屆上海浦東新區高三二模數學試卷》參考答案題號13141516答案DBCA1．(【詳解】分析：不等式x-2x詳解：不等式x-2x<0∴不等式x-2x<0點睛：本題考查了分式不等式轉化為一元二次不等式的解法，屬于基礎題2．-2【分析】由平面向量垂直的坐標表示求解．【詳解】解：因為a⊥b，所以得1×解得m=故答案為：-23．3【分析】將圓C的方程化為標準方程，可得出圓C的半徑.【詳解】將圓C的方程化為標準方程可得x+22+y故答案為：3.4．π【分析】利用兩角和差的余弦公式化簡，再利用周期公式求解.【詳解】f(故最小正周期為2π故答案為：π5．4【分析】設關于x的方程的兩根虛根為x1,x2，則x1【詳解】設關于x的方程x2?x+m=0m所以x1=x2=當m=?4時，Δ=?當m=4時，Δ=?1所以m=故答案為：46．17【分析】根據下標和性質及等差數列求和公式計算可得.【詳解】因為a3+a故答案為：177．-252【分析】用二項式定理即可.【詳解】根據二項式定理，第r+1項為C10r=10?其常數項系數為?C故答案為：-252.8．5【分析】依題意可得x=y2【詳解】因為Mx,y為拋物線y2=所以x+所以當y=?4時x+2y+故答案為：59．8【分析】現根據百分位數得出該生的成績，再利用方差公式計算.【詳解】10×25%故該生的成績為6，則這10名學生的成績的平均數為5+方差為s故答案為：810．66.4【分析】先在Rt△AOP和Rt△BOP中，根據仰角分別用建筑物高度OP表示出O【詳解】在Rt△AOP中，已知從地面點A處測得建筑物頂部P的仰角為30°，即∠在Rt△BOP中，從地面點B處測得建筑物頂部P的仰角為45°，即∠PB在△AOB中，已知AB=100米，∠A1002=可得OP則OP故答案為：66.4.11．arccos【分析】由題意可設設a=1,0,0,b=0,【詳解】可設a=1,則p?所以x?兩式相減可得：x=可得：2設向量p與向量c夾角為θ，則cosθ易知對于y=?74x2+此時1?24即cosθ的最大值為24，再由余弦函數的單調性可知θ的最小值為arccos2故答案為：arccos12．2【分析】根據Sn的奇偶性結合S2t+1=?1，【詳解】因為a1=1，an∈對于①：存在小于1013的正整數t，使得S2對于②：對任意的正整數k和m，都有S2可知S2m?令k=t+1，則S2令k=1，則S2m?綜上所述：對任意的正整數m，S2且a1=1，可得a即a1,a此時S2對于數列Sn1≤則滿足條件的數列共有22024又因為存在小于1013的正整數t，使得S2可知對任意k∈N*,k綜上所述：符合題意的數列共有21012故答案為：2101213．D【分析】由絕對值不等式確定結合Q，再由集合得交集、補集運算即可求解.【詳解】Q=x可得：Q=所以P∩故選：D14．B【分析】a>b不能保證a,【詳解】因為y=lgx在0,+取a=2，b=?3綜上，“a>b”是“故選：B15．C【分析】設變量x，y的平均數分別為x，y，分析可知x=xn【詳解】設變量x，y的平均數分別為x，y，則x=1ni=1n可知新數據的樣本中心點不變，仍為x,對于AB：可得i=同理可得i=則相關系數r=可知相關系數r的值不變，變量x與變量y的相關性不變，故AB錯誤；對于C：因為b=i=即b,a均不變，所以線性回歸方程因為xn+1可知殘差平方和i=所以擬合誤差Q不變，故D錯誤；故選：C.16．A【分析】對于命題①，通過考慮以原點為圓心的圓與橢圓上直線的位置關系來判斷；對于命題②，通過取雙曲線頂點，分析以原點為圓心的圓與雙曲線相關直線的位置關系來判斷.【詳解】判斷命題①：已知過橢圓上任意一點A作以原點為圓心的圓的切線，分別交橢圓于B，C兩點，連接BC根據直線與圓的位置關系，當BC當BC與圓相交時，因為圓的圓心是固定的原點，我們可以通過縮小圓的半徑，使得圓逐漸靠近BC，直到BC與圓相切；同理，當BC與圓相離時，擴大圓的半徑，也能使圓靠近B

判斷命題②：當A在雙曲線頂點時，過A作圓的切線，交雙曲線于另外兩點B，C.由雙曲線的性質可知，雙曲線在頂點附近的形狀特點決定了，過頂點作圓的切線與雙曲線相交得到的線段BC

故選：A.17．(1)a(2)a【分析】（1）根據奇函數的定義，即可求解答案；（2）根據分離參數轉化為利用單調性求函數的最值，即可求解答案.【詳解】（1）因為函數y=fx是奇函數，y由f?x=所以a=（2）對任意實數x∈?1,1設g(對任意實數x1,g因為x1<x2所以函數y=g(g(x)18．(1)證明見解析(2)存在，B【分析】（1）法一：幾何法：取AP中點G，連接EG、DG，通過EF//D（2）法一：幾何法：作GH⊥AD，垂足為H，連接PH，確定直線P【詳解】（1）法一：取AP中點M，連接EM、∵ME//∴ME∵ME=1∴ME∴四邊形DF∴EF∵DM?平面PDA，∴EF//法二：如圖建立空間直角坐標，則D(3,0,F(3,1,∴EF易知平面PAD的一個法向量∵EF且EF在平面P∴EF/（2）法一：作GH⊥AD，垂足為∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥GH，又∴GH⊥平面∴直線PG與平面PAD∴HG∴PH∴BG∴邊BC上存在點G，使得直線PG與平面PAD所成的角為法二：設BG=t∴PG易知平面PAD的一個法向量設PG與n的夾角為φ則sin30解得：t=∴邊BC上存在點G，使得直線PG與平面PAD所成的角為19．(1)A軟件、B軟件能正確解答數學問題的概率分別為45、(2)應該使用B軟件來解決這道試題.(3)EX1【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得A軟件、B軟件能正確解答數學問題的概率；（2）利用全概率公式計算出A、B軟件分別能解答對第12題的概率，比較大小后可得出結論；（3）利用二項分布的期望公式和方差公式可求出隨機變量X1、X2的期望和方差，由題意可知X1、X2相互獨立，可得出【詳解】（1）記A、B軟件能正確解答數學問題的概率為p1和p結合題中數據以及古典概型的概率公式可得p1=16（2）記“A軟件能正確解答這道題”為事件E，“B軟件能正確解答這道題”為事件F，“該題為幾何題”為事件G.則PG=13，PG=23，由全概率公式可得PEPF因為PF>P故小浦應該使用B軟件來解決這道試題.（3）幾何試題用A軟件解答，函數試題用B軟件解答.因為X1～B由二項分布的期望公式可得EX1=由二項分布的方差公式可得DX1=因為X1、X2相互獨立，則DX20．(1)a(2)x(3)2【分析】（1）運用離心率公式計算即可；（2）先求出AB=2，得到直線AB的方程，設C2的方程為x2+3y（3）先設出C2的方程，因為有AP⊥AQ且AP|2=AQ|2的條件，所以任取C1上一點P(x0,y0)（不與點A重合），算出|【詳解】（1）由題，橢圓C1的離心率為63，橢圓C263=（2）由題，A3,0，B0,1，所以設C2的方程為x2+3y聯立直線AB與橢圓C2的方程y=Δ=12?由韋達定理可得x1+x故C=232所以C2的標準方程為x（3）由題，設C2的方程為3由題意，AP⊥A任取C1上一點Px0,y0（不與點設QxQ,直線AQ的方程為x=1代入得AQ因為AP2=由對稱性，不妨設yQ=x0?而點Q位于C2上，所以=x02+3y02+設x0+3y0=b整理得12y02解得b∈?2故C2的長軸長221．(1)gx不是“整數等差函數”，f(2)1(3)證明見解析【分析】（1）設公差為dd>0，根據所給定義及導數的幾何意義得到（2）設公差為d，則d>0且d∈Z，由kA（3）首先證明充分性，再說明必要性，設公差為dd>0，結合所給定義得到fx2+d【詳解】（1）假設x1,x設公差為d，則d=對于fx：直線AC的斜率因為f′x=2x+1由題意，kAC=取x2=2，d=1對于gx，直線AC的斜率因為f′x=cosx，所以曲線y由題意kAC=f′若x2∈Z，則x令mx=sinx?x，x∈所以mx=sinx?即sind?d故fx（2）因為fx為“整數等差函數”，所以x1,設公差為d，則d=x2直線AC的斜率k因為f′x=?2xx由題意，kAC=因為x1=x所以x???m又y=f