導數及其應用第四章第3講導數的綜合應用高考要求考情分析1.利用導數研究函數的單調性、極(最)值，并會解決與之有關的方程(不等式)問題．2．會利用導數解決某些簡單的實際問題高考中將利用導數研究函數性質、極值、最值以及不等式證明、函數零點、恒成立等諸多問題結合在一起考查，注重對函數與方程、分類討論、數形結合及轉化與化歸等思想的靈活運用，突出對數學思維能力和核心素養的考查，難度較大欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.導數在研究方程(不等式)中的應用研究函數的單調性和極(最)值等離不開方程與不等式；反過來方程根的個數、不等式的證明、不等式恒成立求參數等，又可轉化為函數的單調性、極值與最值的問題，利用導數進行研究．2.導數在綜合應用中使用轉化與化歸思想的常見類型(1)把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題；(2)把證明不等式問題轉化為函數的單調性問題；(3)把方程解的問題轉化為函數的零點問題．2．已知e為自然對數的底數，設函數f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(

)A．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值B．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值C．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值D．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值【答案】C3．已知定義在實數集R內的函數f(x)滿足f(1)＝3，且f(x)的導數f′(x)在R內恒有f′(x)<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A4．若函數f(x)＝x3－3x＋a有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是________．【答案】(－2,2)1．利用導數解決恒成立問題時，若分離參數后得到“a<f(x)恒成立”，要根據f(x)的值確定a的范圍中端點能否取到．2．實際問題中的函數定義域一般受實際問題的制約，不可盲目地確定函數的定義域；在解題時要注意單位的一致性；把實際問題轉化成數學問題后，要根據數學問題中求得的結果對實際問題作出解釋.

判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)若實際問題中函數定義域是開區間，則不存在最優解．(

)(2)函數f(x)＝x2－3x＋2的極小值也是最小值．(

)(3)函數f(x)＝x2lnx沒有最值．(

)第1課時導數在不等式中的應用

重難突破能力提升2構造函數證明不等式【規律方法】1.證明不等式的基本方法(1)利用單調性：若f(x)在[a，b]上是增函數，則①?x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)；②?x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)．對于減函數有類似結論．(2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m)，則?x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)．2．證明f(x)<g(x)可構造函數F(x)＝f(x)－g(x)，證明F(x)<0.先通過化簡、變形，再移項構造不等式，通常能減少運算量，使得問題順利解決．利用“若f(x)min>g(x)max，則f(x)>g(x)”證明不等式【規律方法】(1)在證明不等式中，若無法轉化為一個函數的最值問題，則可考慮轉化為兩個函數的最值問題．(2)在證明過程中，等價轉化是關鍵，此處f(x)min>g(x)max恒成立，從而f(x)>g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”．不等式恒成立或有解問題【規律方法】(1)破解此類題需“一形一分類”，“一形”是指會結合函數的圖象，對函數進行求導，然后判斷其極值，從而得到含有參數的方程組，解方程組，即可求出參數的值；“一分類”是指對不等式恒成立問題，常需對參數進行分類討論，求出參數的取值范圍．(2)利用導數研究含參數的不等式問題，若能夠分離參數，則常將問題轉化為形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通過求函數y＝f(x)的最值求得參數范圍．【規律方法】(1)含參數的能成立(存在型)問題的解題方法①a≥f(x)在x∈D上能成立，則a≥f(x)min；②a≤f(x)在x∈D上能成立，則a≤f(x)max.(2)含全稱、存在量詞不等式能成立問題①存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)max≥g(x)max；②任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)min≥g(x)min.追蹤命題直擊高考3【典例精析】

【考查角度】利用導數研究函數的極值和最值、解決不等式問題．【考查目的】考查運算求解和推理論證能力，體現數學運算和邏輯推理的核心素養．【思路導引】(1)對函數求導，分類討論根據函數有唯一極小值點的條件，求出實數a的范圍；(2)對所要證明的式子進行變形，構造函數，利用導數研究新構造函數的單調性進而可證．【拓展延伸】恒(能)成立問題的轉化策略若f(x)在區間D上有最值，則(1)恒成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)min>0；?x∈