不等式第二章第3講一元二次不等式高考要求考情分析1.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系．3．會解一元二次不等式一元二次不等式及分式不等式的解法與集合運算、函數的定義域或值域問題結合在一起考查．含參數的一元二次不等式、一元二次不等式的恒成立問題常與函數、導數等知識交匯命題，考查分類討論、數形結合思想，體現了直觀想象和數學運算的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏1三個“二次”間的關系R

{x|x1＜x＜x2}

?

?

1．(2019年廣州學業考試)一元二次不等式x2－7x＜0的解集是(

)A．{x|0＜x＜7} B．{x|x＜0或x＞7}C．{x|－7＜x＜0} D．{x|x＜－7或x＞0}【答案】A【解析】不等式x2－7x＜0可化為x(x－7)＜0，解得0＜x＜7，所以不等式的解集是{x|0＜x＜7}．故選A．3．(2019年青島三模)若關于x的不等式ax2＋ax－1≤0的解集為實數集R，則實數a的取值范圍為(

)A．[0,4]

B．(－4,0)C．[－4,0)

D．[－4,0]【答案】D4．(2019年蚌埠期末)已知關于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集為(2,3)，則a＋c＝________.【答案】－75．(2019年赤峰期末)若存在實數x∈[2,5]，使關于x的不等式x2－2x＋5－m＜0成立，則實數m的取值范圍是________．【答案】(5，＋∞)【解析】存在實數x∈[2,5]，使不等式x2－2x＋5－m＜0成立，等價于x∈[2,5]，m＞(x2－2x＋5)min.令f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，易知f(x)min＝f(2)＝5，所以m＞5.判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)若關于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.(

)(2)若關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為空集．(

)(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0對x∈R恒成立，則其判別式Δ≤0.(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×重難突破能力提升2一元二次不等式的解法【規律方法】(1)解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項系數大于零的標準形式．②判：計算對應方程的判別式，根據判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式解集為R或?)．③求：求出對應的一元二次方程的根．④寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．(2)求解分式不等式的關鍵是對原不等式進行恒等變形，轉化為整式不等式(組)求解．(3)含有參數的不等式的求解，首先需要對二次項系數討論，再比較(相應方程)根的大小，注意分類討論思想的應用．(2)(2019年清遠一模)關于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(

)A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】(1)D

(2)C一元二次不等式恒成立問題【考向分析】一元二次不等式與其對應的函數與方程之間存在著密切的聯系．在解決具體的數學問題時，要注意三者之間的相互聯系，并在一定條件下相互轉換．對于一元二次不等式恒成立問題，常根據二次函數圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數的取值范圍．常見的考向：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數的范圍；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])確定參數的范圍；(3)形如f(x)≥0(參數m∈[a，b])確定x的范圍．【規律方法】一元二次不等式恒成立問題的三大破解方法：追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年重慶模擬)已知函數y＝lg[(a2－1)x2－2(a－1)x＋3]的值域為R，則實數a的取值范圍是(

)A．[－2,1] B．[－2，－1]C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)【考查角度】一元二次不等式及其應用．【考查目的】考查應用意識，體現邏輯推理和數學運算的核心素養．【思路導引】根據題意，應使對數函數的真數取到所有的正數，由此討論真數的值域即可．【拓展延伸】1．分類討論和轉化思想(1)分類討論思想：含有參數的一元二次不等式一般需要分類討論．在判斷方程根的情況時，判別式是分類的標準；需要表示不等式的解集時，根的大小是分類的標準．(2)轉化思想：不等式在指定范圍的恒成立問題，一般轉化為求函數的最值或值域問題．2．解含參數不等式應注意的問題(1)二次項系數中含有參數時，參數的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項系數為零的情況．(2)解含參數的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能分解因式，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏．(3)不同參數范圍的解集切莫取并集，應分類表述．【真題鏈接】

1．(2019年新課標Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N＝(

)A．{x|－4<x<3}

B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2}

D．{x|2<x<3}【答案】C【解析】由x2－x－6<0，解得－2<x<3，故N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}．又M＝{x|－4<x<2}，所以M∩N＝{x|－2<x<2}．故選C．2．(2015年重慶)函數f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是(

)A．[－3,1]

B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】由題意得x2＋2x－3＞0，即(x－1)(x＋3)＞0，解得x<－3或x>1，所以定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)．故選D．3．(2015年廣東)不等式－x2－3x＋4＞0的解集為________．(用區間表示)【答案】(－4,1)【解析