北師大版（2024）七年級數(shù)學下冊第三章概率初步3.2頻率的穩(wěn)定性第2課時用隨機事件的頻率估計概率目錄學習目標01情景導入02新知探究03課本例題0405課本練習06分層練習0807課本習題課堂小結(jié)學習目標1.理解并掌握用頻率來估計概率的方法，滲透轉(zhuǎn)化和估算的思想方法.情景導入問題

當遇到一件事情無法做決定的時候，人們常常會采用一種好玩的方式——擲硬幣來解決爭端.有人認為這樣做很紳士，有人認為這樣做太兒戲，那么用擲硬幣來解決爭端到底靠不靠譜呢?新知探究擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，硬幣落下后，會出現(xiàn)幾種情況？正面朝上正面朝下你認為正面朝上和正面朝下的可能性相同嗎？（1）兩人一組做20次擲硬幣的實驗，并將數(shù)據(jù)記錄在下表中。試驗總次數(shù)正面朝上的次數(shù)正面朝上的頻率正面朝下的次數(shù)正面朝下的頻率（2）累計全班同學的試驗結(jié)果，并將試驗數(shù)據(jù)匯總填入下表。試驗總次數(shù)4080120160200240280320360400正面朝上的次數(shù)正面朝上的頻率正面朝下的次數(shù)正面朝下的頻率（3）根據(jù)表格，完成下面的折線統(tǒng)計圖。40801201602002402803203604000.20.40.60.81.0頻率試驗總次數(shù)00.5（4）觀察上面的折線統(tǒng)計圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(5)下表列出了一些歷史上的數(shù)學家所做的擲硬幣試驗的數(shù)據(jù):

試驗者試驗總次數(shù)n正面朝上的次數(shù)m正面朝上的頻率布豐404020480.5069德·摩根409220480.5005費勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998羅曼諾夫斯基80640396990.4923

(5)表中的數(shù)據(jù)支持你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

支持在一次試驗中，一個隨機事件是否發(fā)生是無法預測的，是隨機的，但在大量重復的試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性.無論是擲質(zhì)地均勻的硬幣還是拋瓶蓋，在試驗次數(shù)很大時，正面朝上(蓋口向上)的頻率都會在一個常數(shù)附近擺動.一般地，在大量重復的試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.頻率反映了該事件發(fā)生的頻繁程度，頻率越大，該事件發(fā)生越頻繁，這就意味著該事件發(fā)生的可能性也越大，因而，我們就用這個常數(shù)來表示該事件發(fā)生的可能性的大小.我們把刻畫一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為這個事件發(fā)生的概率.我們常用大寫字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A發(fā)生的概率.

一般地，在大量重復的試驗中，我們可以用事件A發(fā)生的頻率來估計事件A發(fā)生的概率。嘗試思考事件A

發(fā)生的概率P(A)的取值范圍是什么？必然事件發(fā)生的概率是多少？不可能事件發(fā)生的概率又是多少？

必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0，隨機事件A

發(fā)生的概率P(A)是0與1之間的一個常數(shù)。思考交流（1）小明做了4次拋瓶蓋的試驗，其中有3次蓋口向上，由此，他估計蓋口向上的概率為，你同意他的想法嗎？與同伴進行交流。不同意，試驗的次數(shù)太少。

不一定會有5次正面朝上。在大量重復試驗中，正面朝上和正面朝下的次數(shù)差不多相等。回顧反思一般地，在大量重復的試驗中，我們可以用事件A發(fā)生的頻率來估計事件A發(fā)生的概率.通過拋瓶蓋和擲硬幣試驗，你對事件發(fā)生的頻率與概率的關(guān)系有怎樣的理解?補充例題例[母題教材P69隨堂練習T1]一顆木質(zhì)中國象棋棋子“兵”，它的正面雕刻著一個“兵”字，反面是平的，將它從一定高度下擲，落地后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下，由于棋子的兩面不均勻，為了估計“兵”字面朝上的概率，某試驗小組做了棋子下擲的試驗，試驗數(shù)據(jù)如下表(頻率保留兩位小數(shù))：解題秘方：先利用頻率的定義完成表格，再制作頻率折線圖，最后利用頻率來估計概率.(1)請將上表補充完整；試驗次數(shù)20406080100120140160“兵”字面朝上的次數(shù)1418384752667888“兵”字面朝上的頻率0.700.630.590.550.560.450.520.55(2)在圖3.2-1中畫出“兵”字面朝上的頻率折線圖；解：頻率折線圖如圖3.2-2.(3)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，如果試驗繼續(xù)進行下去，這個試驗的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，請你估計這個概率是多少(結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位).解：隨著試驗次數(shù)的增加，“兵”字面朝上的頻率穩(wěn)定在0.55附近，所以估計“兵”字面朝上的概率是0.55.概念歸納用頻率估計概率1.概率我們把刻畫一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為事件發(fā)生的概率.我們常用大寫字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A發(fā)生的概率.2.用頻率估計概率從長期實踐中，人們觀察到對一般的隨機事件，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率總在一個常數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此，我們可以通過做大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率.3.概率的取值范圍(1)必然事件發(fā)生的概率為1；(2)不可能事件發(fā)生的概率為0；(3)隨機事件A發(fā)生的概率P(A)是0與1之間的一個常數(shù).隨堂練習1.某射擊運動員在同一條件下進行射擊，結(jié)果見下表：射擊總次數(shù)n1020501002005001000擊中靶心的次數(shù)m9164188168429861擊中靶心的頻率（1）請完成上表：0.90.80.820.880.840.8580.861（2）根據(jù)上表，畫出該運動員擊中靶心的頻率的折線統(tǒng)計圖；10205010020050010000.80.91.0頻率射擊總次數(shù)0（3）請估計該運動員射擊一次便擊中靶心的概率。擊中靶心的概率約為0.86。分層練習基礎(chǔ)題1.[2024南平模擬]

下列說法錯誤的是(

)BA.必然事件發(fā)生的概率為1B.不確定性事件發(fā)生的概率為0.5C.不可能事件發(fā)生的概率為0D.隨機事件發(fā)生的概率介于0和1之間

D

3.關(guān)于頻率和概率的關(guān)系，說法正確的是(

)BA.頻率等于概率B.當試驗次數(shù)很大時，頻率穩(wěn)定在概率附近C.當試驗次數(shù)很大時，概率穩(wěn)定在頻率附近D.試驗得到的頻率與概率不可能相等4.

[2024連云港]

下列說法正確的是(

)C

5.

下列說法中：①如果一個事件發(fā)生的可能性很小，那么它的概率為0；②如果一個事件發(fā)生的可能性很大，那么它的概率為1；③如果一個事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，那么它的概率介于0與1之間.正確的說法有(

)AA.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

0個6.

某收費站在2小時內(nèi)對經(jīng)過該站的機動車統(tǒng)計如下表：類型轎車貨車客車其他數(shù)量（輛）3624812若有一輛機動車將經(jīng)過這個收費站，利用上面的統(tǒng)計估計它是轎車的概率為(

)B

7.[2024杭州模擬]

綜合實踐小組的同學們在相同條件下做了測定某種黃豆種子發(fā)芽率的試驗，結(jié)果如表所示：黃豆種子數(shù)（單位：粒）8001

0001

2001

4001

6001

8002

000發(fā)芽種子數(shù)（單位：粒）7629481

1421

3311

5181

7101

902種子發(fā)芽的頻率（結(jié)果保留至小數(shù)點后三位）0.9530.9480.9520.9510.9490.9500.951

0.958.

《數(shù)書九章》是我國南宋數(shù)學家秦九韶所著的數(shù)學著作.書中記載有這樣一道題目：糧倉開倉收糧，有人送來米2

000石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得300粒米內(nèi)夾谷36粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_____石.2409.

在一個不透明的箱子里，裝有若干個除了顏色外其余均相同的小球，某數(shù)學學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回箱子中，重復該操作，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)

1001502005008001

000摸到白球的次數(shù)

5993

295480601摸到白球的頻率

0.59

0.610.590.600.601

0.621220.6綜合應用題10.某班學生做“用頻率估計概率”的試驗時，給出的某一結(jié)果出現(xiàn)頻率的折線統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗可能是(

)DA.拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上B.從標有1,2,3,4,5,6的六張卡片中任抽一張，出現(xiàn)偶數(shù)C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃D.從一個裝有6個紅球和3個黑球（除顏色外都相同）的不透明袋子中任取一球，取到的是黑球11.

如圖所示的統(tǒng)計圖中，橫軸代表某校參與體質(zhì)測試的學生人數(shù)，縱軸代表體重標準的學生人數(shù)占測試總?cè)藬?shù)的比例，CA.

300

B.

400

C.

900

D.

1

200

D

④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.其中正確的是________（填序號）.①③④16.某農(nóng)科所在相同條件下做某作物種子發(fā)芽率的試驗，結(jié)果如下表所示：種子個數(shù)2003005007008009001

000發(fā)芽種子個數(shù)187282435624718814901種子發(fā)芽的頻率0.9350.9400.8700.8910.8980.9040.901下面有四個推斷：①種子個數(shù)是700時，發(fā)芽種子的個數(shù)是624，所以種子發(fā)芽的概率是0.891；

③試驗的種子個數(shù)最多的那次試驗得到的發(fā)芽種子的頻率一定是種子發(fā)芽的概率；

②④17.如圖，地面上有一個不規(guī)則的封閉圖形，為求得它的面積，小明在此封閉圖形內(nèi)畫出一個邊長為0.5米的正方形后，在附近閉上眼睛向封閉圖形內(nèi)擲小石子（設小石子全部落在封閉圖形內(nèi)，可把小石子近似看成點），記錄如下：擲小石子的總次數(shù)

50150300600…小石子落在正方形內(nèi)的次數(shù)

103578149…

0.2000.2330.2600.248…

0.25

A.105

B.249

C.518

D.815B（3）請你利用（1）中所得概率，估計這個不規(guī)則封閉圖形的面積是___平方米。1創(chuàng)新拓展題18.40次拋擲骰子朝上一面點數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)統(tǒng)計圖

將統(tǒng)計圖補充完整如下.（2）圓圓認為，這次試驗和我們平時玩游戲時一樣，說明朝上一面的點數(shù)是6的概率是最小的，你認為圓圓的說法對嗎？請說明理由.【解】圓圓的說法不對.理由：試驗次數(shù)太少，不足以證明，當試驗次數(shù)足夠大時，每個點數(shù)朝上的概率相等.習題1.對某批乒乓球的質(zhì)量進行隨機抽查，結(jié)果見下表：知識技能隨機抽取的乒乓球數(shù)n1020501002005001000優(yōu)等品數(shù)m7164381164414825優(yōu)等品率（1）請完成上表。0.70.80.860.810.820.8280.825隨機抽取的乒乓球數(shù)n1020501002005001000優(yōu)等品數(shù)m7164381164414825優(yōu)等品率0.70.80.860.810.820.8280.825（2）根據(jù)上表，在這批乒乓球中任取一個，它為優(yōu)等品的概率大約是多少？（3）如果重新抽取1000個乒乓球進行質(zhì)量檢查，對比上表記錄下數(shù)據(jù)，兩表的結(jié)果會一樣嗎？為什么？大約是0.825。結(jié)果不會一樣，因為隨機事件在一次試驗種發(fā)生與否是不確定的，所以如果再重新抽取1000個乒乓球進行質(zhì)量檢測，記錄下來的數(shù)據(jù)一般是不同的。數(shù)學理解2.某班有40名學生，每10人一組，每人做10次拋瓶蓋的試驗，得到下面的試驗結(jié)果：第一組學生的學號12345678910蓋口向上的次數(shù)6866487597第二組學生的學號11121314151617181920蓋口向上的次數(shù)76867107765第三組學生的學號21222324252627282930蓋口向上的次數(shù)7884869574第四組學生的學號31323334353637383940蓋口向上的次數(shù)9668586687（1）學號為1的學生在10次試驗中，蓋口向上的次數(shù)是多少？蓋口向上的頻率是多少？蓋口向上的次數(shù)是6，頻率是0.6。（2）請在這40名學生中找兩名學生，他們拋出的瓶蓋蓋口向上的頻率相同。如果讓這兩名學生再分別做10次試驗，他們拋出的瓶蓋蓋口向上頻率還一定相同嗎？不一定。（3）累計全班學生的試驗結(jié)果，完成下面的統(tǒng)計表。試驗總次數(shù)n4080120160200240280320360400蓋口向上的次數(shù)m蓋口向上的頻率2650791101351621902162432700.650.6250.6580.6880.6750.6750.6790.6750.6750.675（4）根據(jù)上表，畫出蓋口向上的頻率的折線圖。由此，你發(fā)現(xiàn)蓋口向上的頻率的變化有什么規(guī)律？試驗總次數(shù)n4080120160200240280320360400蓋口向上的次數(shù)m蓋口