教學設計

課程基本信息學科數學年級高一學期秋季課題函數與函數的周期教學目標1.通過具體函數讓學生理解周期函數的概念；通過定義法能熟練地求出簡單三角函數的周期，并能用定義法推導一般函數y=f(ωx+φ)的周期．2.理解與掌握函數及周期的求法及周期公式．3.體會從形到數、由特殊到一般、由易到難的認知規律，領悟數形結合的思想．教學重難點教學重點：1.用周期函數的定義求函數及的周期，得到它們的周期公式，并歸納出定義法求周期的一般步驟．

2.推廣使用定義法，得到一般函數f(ωx+φ)的周期．

教學難點：1.對周期函數概念的理解；最小正周期的意義；2.定義法的應用．教學過程復習回顧問題1：周期函數、最小正周期的定義是什么?周期函數的定義：一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數.非零常數T叫做這個函數的周期.最小正周期的定義：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.問題2：正弦函數是周期函數嗎？它的周期和最小正周期分別是什么?（1）正弦函數y=sinx(x∈R)是一個周期函數.oo24?-2yx（2）周期為2π、4π、?2π、?4π、?.（3）最小正周期為2π．【設計意圖】對前一節課中的知識進行回顧，并用正弦函數直觀說明周期函數、周期、最小正周期這三個概念，為本節課的探究作好準備．探究正弦型、余弦型函數的周期例1求下列函數的周期．（1），；（2），；（3），．【預設師生活動】引導學生緊扣定義，一切從定義出發來求．因為3cos（x+2π）=3cosx，根據周期函數的定義可知，原函數的周期為2π．有的學生可能會提出π是不是呢?讓學生自己試一試，加深對概念的理解．因為3cos(x+π)=-3cosx≠3sinx，所以π不是周期．引導學生觀察2x，可把2x看成一個新的變量u，那么sinu的最小正周期是2π，就是說，當u增加到u+2π時，函數sinu的值重復出現，而u+2π=2x+2π=2(x+π)，所以當自變量x增加到x+π且必須增加到x+π時函數值重復出現．因為sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x，所以由周期函數的定義可知，原函數的周期為π．（3）因為所以由周期函數的定義可知，原函數的周期為4π．【設計意圖】緊扣周期函數的定義,形成求正弦型、余弦型函數周期的方法.教師引導學生在解題過程中注意歸納周期和表達式中的哪些量有關,在概念的應用中經歷嚴謹論證的思維過程,提升學生邏輯推理能力,培養學生的數學抽象核心素養.問題3：回顧例1的解答過程，思考一下求解的依據是什么？據此求解的步驟是什么?【預設師生活動】由學生總結闡述，教師點評、補充．1．求解的依據是周期函數的定義.2.求解的步驟:第一步，先用換元法轉換；第二步，利用已知三角函數的周期找關系；第三步，根據定義變形；第四步，確定結論．即整體換元利用周期定義變形 確定結論在總結過程中，強調求出函數y=cos2x的周期T，即求出滿足cos2(x+T)=cos2x的最小正數T．求出函數的周期T，即求出滿足的最小正數T．強調：用定義法求周期要注意：（1）對于定義域中的每一個x，f(x+T)=f(x)恒成立．（2）針對f(x+T)=f(x)中自變量x本身所加的常數T才是周期．【設計意圖】讓學生通過歸納、概括例題當中函數周期的求法，讓知識系統化，體會數學抽象過程，并以此培養學生的數學抽象素養．問題4：例1中的這些函數的周期與解析式中的哪些量有關?【預設師生活動】觀察例1中的三個函數的最小正周期與函數解析式中各個量的關系，猜想函數周期與x的系數有關．探究1：函數(A、ω、φ為常數，A≠0，ω>0，x∈R)的周期是什么?【預設師生活動】引導學生用定義法求解．因為y=sinx的周期為2π，所以y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin[ω(x+)+φ]=Asin(ωx+φ)，于是有f(x+)=f(x)，所以其周期為．從而得到正弦型、余弦型函數的周期公式：（1）函數(A、ω、φ為常數，A≠0，ω>0，x∈R)的周期為（2）函數(A、ω、φ為常數，A≠0，ω>0，x∈R)的周期為【設計意圖】讓學生充分經歷由特殊到一般的推廣，思維活動層層遞進，培養學生的邏輯推理能力，提升數學抽象核心素養．練習1：求下列函數的周期．（1），；（2），；【預設師生活動】引導學生用公式法求解．由公式，（1）中，（2）中，發現前面得到的公式不適用于本道題．利用正弦函數的誘導公式，可得y=sin(?2x?)＝－sin(2x＋)，再根據公式，得到．追問：必須先將ω轉化成正數，才能求函數的周期嗎?小結：正弦型、余弦型函數的周期公式：（1）函數(A、ω、φ為常數，A≠0，ω≠0，x∈R)的周期為（2）函數(A、ω、φ為常數，A≠0，ω≠0，x∈R)的周期為【設計意圖】讓學生從試錯的過程中，體會正弦型、余弦型函數從ω>0推廣到ω≠0時周期公式的變化，激發學生的探索欲望．練習2：口答下列函數的周期．（1），；（2），；（3），．（4），．推廣：一般周期函數的周期探究2：如果函數y=f(x)的周期是T，那么函數y=f(ωx)(ω>0)的周期是什么?【預設師生活動】設y=g(x)=f(ωx)，令ωx+φ=z，z∈R.由已知條件f(z＋T)＝f(z)，即f(ωx+T)＝f(ωx)，從而f[ω(x＋)]＝f(ωx)，即g(x＋)＝g(x)．因此函數y=f(ωx)的周期是．追問：函數y=f(ωx+φ)(ω>0,φ為常數)的周期是什么？函數y=f(ωx+φ)(ω≠0,φ為常數)的周期是什么？【預設師生活動】引導學生用定義法獨立探究．通過定義法的四個步驟，可以發現，加φ對周期沒有任何影響．這也與前面得到的結論一致：此類函數的周期只與自變量的系數有關．【設計意圖】再次讓學生用定義法求一般函數的周期，經歷數學研究的一般途徑．讓學生充分經歷由特殊到一般的推廣，思維活動層層遞進，培養學生的邏輯推理能力，提升數學抽象核心素養．問題5：知道一個函數具有周期性，對研究它的圖象與性質有什么幫助?【預設師生活動】對于一個周期函數，如果我們把握了它在一個周期內的情況，那么整個函數情況也就把握了.因此，研究周期函數的圖象與性質，只需研究一個周期即可．【設