2024-2025學年四川省涼山州高二下學期3月月考數學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回，一、單選題（每道題5分）1.已知等比數列中，，，則A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據題意，將條件表示為的形式，計算出，再計算即可.【詳解】∵等比數列中，，，∴，解得，∴．故選：A.2.已知等差數列的前n項和為，=5，則=（）A.5 B.25 C.35 D.50【正確答案】B【分析】根據等差中項及等差數列求和公式即可求解.【詳解】由題意可知，為等差數列，所以故選：B3.古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何?”意思是：“女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這名女子每天分別織布多少?”某數學興趣小組依托某制造廠用織布機完全模擬上述情景，則從第一天開始，要使織布機織布的總尺數為165尺，則所需的天數為（）A.7 B.8 C.9 D.10【正確答案】D【分析】設該女子第一天織布尺，根據題意，求得尺，結合等比數列求和公式，列出方程，即可求解.【詳解】設該女子第一天織布尺，則5天共織布，解得尺，在情境模擬下，設需要天織布總尺數達到165尺，則有整理得，解得.故選：D．4.觀察下列式子:，，，…，則可歸納出小于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據已知式子分子和分母的規律歸納出結論.【詳解】由已知式子可知所猜測分式的分母為，分子第個正奇數，即，.故選：C.5.設曲線在點處的切線方程為，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】D【分析】利用可求得答案.【詳解】，∵，則．故選：D6.已知數列，都是等差數列，記，分別為，的前n項和，且，則=（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用等差數列的性質以及前項和公式即可求解.【詳解】由，.故選：D7.已知函數，其導函數為，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】求得可得的解析式，求出解析式，可得為偶函數，即可求出的值，再求，即可求得的值，即可求得答案.【詳解】，，所以為偶函數，所以，因為，所以，所以．故選：C．8.已知函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】分離變量，利用導函數應用得到函數在無零點，則有兩個零點，利用函數最值得到參數范圍【詳解】當時，，∴不是函數的零點.當時，由，得，設，，則在上單調遞減，且.所以時無零點當時，等價于，令，，得在上單調遞減，在上單調遞增，，.因為有2個零點，所以.故選：B.分離變量法，利用導數求函數的單調性，極值是解題關鍵.二、多選題（每道題6分）9.已知遞減的等差數列的前項和為，，則（）A. B.最大C. D.【正確答案】ABD【分析】轉化條件為，進而可得，，再結合等差數列的性質及前n項和公式逐項判斷即可得解.【詳解】因為，所以，即，因數列遞減，所以，則，，故A正確；所以最大，故B正確；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：ABD.10.已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A.B.函數在上遞增，在上遞減C.函數的極值點為，D.函數的極大值為【正確答案】ABD【分析】對A，B由導數與函數單調性的關系，即可判斷，，的大小以及的單調性，對C，D由極值的定義即可判斷.【詳解】解：由題圖知可，當時，，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，對A，，故A錯誤；對B，函數)在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯誤；對C，函數的極值點為，，故C正確；對D，函數的極大值為，故D錯誤.故選：ABD.11.已知數列的前項和為，則下列說法正確的是（）A. B.為的最小值C. D.【正確答案】AC【分析】利用和與項的關系，分和分別求得數列的通項公式，檢驗合并即可判定A;根據數列的項的正負情況可以否定B;根據前16項都是正值可計算判定C;注意到可計算后否定D.【詳解】,,對于也成立，所以，故A正確；當時，,當n=17時,當時，,只有最大值，沒有最小值，故B錯誤；因當時，,∴，故C正確；，故D錯誤故選：AC.本題考查數列的和與項的關系，數列的和的最值性質，絕對值數列的求和問題，屬小綜合題.和與項的關系,若數列的前項為正值，往后都是小于等于零，則當時有，若數列的前項為負值，往后都是大于或等于零，則當時有.若數列的前面一些項是非負，后面的項為負值，則前項和只有最大值，沒有最小值，若數列的前面一些項是非正，后面的項為正值，則前項和只有最小值，沒有最大值.三、填空題12.已知，則等于__________.（用數字作答）【正確答案】【分析】求導，代入，求出答案.【詳解】，令得，解得.故13.已知，對任意的都有，則的取值范圍為_______.【正確答案】【分析】利用導數研究函數的單調性，進而求得在給定區間上的最大值，根據不等式恒成立的意義即得實數a的取值范圍.【詳解】由得或，在區間[-2,0)上,單調遞增；在(0,2)內時單調遞減.又，，，∴，又對于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范圍是故答案為.本題考查利用導數研究函數的在閉區間上的最值進而求不等式恒成立中的參數范圍，屬基礎題，關鍵在于利用導數研究函數的單調性，求得在給定區間上的最大值.14.對任意都有.數列滿足：，則__________.【正確答案】【分析】采用倒序相加法即可求得結果.【詳解】由題意得：，，，……，，，，解得.故答案為.本題考查利用倒序相加法求和的問題，屬于基礎題.四、解答題15.已知數列各項均為正數，其前項和為，且滿足.（1）求數列的通項公式.（2）設，求數列的前項和.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可得，再由時，與條件作差可得，從而利用等差數列求通項公式即可；（2）由利用裂項相消求和即可.【詳解】（1）∵，∴，解得，當時，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以為首項，以為公差的等差數列，∴綜上所述，結論是.（2）由（1）可得∴，綜上所述，.16.已知數列中，，（1）證明：數列是等比數列（2）若數列滿足，求數列的前項和.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由可得，然后可得答案；（2）由（1）可算出，，然后用錯位相減法可算出答案.【詳解】（1）證明：由，知又，∴是以為首項，3為公比的等比數列（2）解：由（1）知，∴，兩式相減得∴17.已知函數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數在區間上的最大值和最小值．【正確答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式中即可；（Ⅱ）設，求，根據確定函數的單調性，根據單調性求函數的最大值為，從而可以知道恒成立，所以函數是單調遞減函數，再根據單調性求最值.試題解析：（Ⅰ）因為，所以.又因為，所以曲線在點處切線方程為.（Ⅱ）設，則.當時，，所以在區間上單調遞減.所以對任意有，即.所以函數在區間上單調遞減.因此在區間上的最大值為，最小值為.【名師點睛】這道導數題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡單很多，第二問比較有特點的是需要兩次求導數，因為通過不能直接判斷函數的單調性，所以需要再求一次導數，設，再求，一般這時就可求得函數的零點，或是()恒成立，這樣就能知道函數的單調性，再根據單調性求其最值，從而判斷的單調性，最后求得結果.18.已知函數（1）求函數的單調區間；（2）若方程＝0有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）【分析】（1）首先求出函數的導函數，再解不等式即可得到函數的單調區間；（2）由得，將此方程的根看作函數與的圖象交點的橫坐標，結合（1）中相關性質得到函數的圖象，數形結合即可得到參數的取值范圍；【詳解】解：（1）∵所以∴當時，，當時，；即的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）由得，將此方程的根看作函數與的圖象交點的橫坐標，由（1）知函數在時有極大值，作出其大致圖象，∴實數的取值范圍是.本題考查利用導數研究函數的單調性及函數的零點問題，屬于基礎題.19.已知.（1）若函數在處取得極值，求實數的值；（2）若，求函數的單調遞增區間；（3）若，存在正實數，使得成立，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【分析】（1）由題意結合極值的概念可得，解得后，驗證即可得解；（2）求導得，按照、、、分類討論，求得的解集即可得解；（3）轉化條件得，令，，求導確定的單調性和值域即可得解.【詳解】（1），∵函數在處取得極值，，解得，當時，.∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；∴當時，函數在處取得極小值；（2），，令，則