第四章三角形重難點16幾何壓軸突破四幾何最值問題之胡不歸模型、阿氏圓模型與梯子滑行模型（3種類型7種題型詳解+專題訓練）【題型匯總】類型一胡不歸模型【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學習，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子略懂數學常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，雖然他求學的地方與家之間布滿了砂石，但他還是義無反顧的踏上了歸途.當他趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當時先沿著驛道走一段距離，再通過砂石區域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應該沿著驛道走多遠再通過砂石區域回家呢？雖然走的路多了,但總用時變少了,如果真有這種情況,那么在驛道和砂礫地帶之間的拐點就尤為重要了，請問如何確定這個點呢?這就是流傳千百年的“胡不歸問題.【模型詳解】條件：已知A，B為定點，其中點A在定直線m上，點P在直線m上一動點，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.圖示：解題步驟：作射線AM使sin∠PAM=k（k＜1），且點M與點B位于直線m的兩側.2）過點P作PC⊥AM于點C，則PC=k?PA，此時k?PA+PB=PC+BP.3）過點B作BD⊥AM于點D，該垂線段長即為所求最小值，計算垂線段的解題大招：即當B，P，C三點共線時，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長度.模型總結：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與k?PA相等的線段，將“k?PA+PB”型問題轉化為“PC+PB”型.而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數得到k?PA的等線段注意：若k>1，則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可.【模型拓展】對形如a?PA+b?PB(a>b)的式子，可以先將式子變形為，再求出的最小值，此時只需要構造,作垂線即可求出最小值.題型01已有相關角直接作垂線1．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP

2．（21-22八年級下·浙江寧波·開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=33x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+3．（2020·陜西·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+12BM的最小值為4．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使AD=AE．②分別以點D和點E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點M．③作射線AM交BC于點F．若點P是線段AF上的一個動點，連接CP，則CP+5．（22-23九年級上·廣東茂名·期末）如圖，AB=AC，A0，15，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發，運動路徑為A-D-C，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D6．（2023·河北保定·一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB=OB=3，點M在線段AC上，且AM=2．點P為線段

（1）∠OBC=°；（2）MP+12PB的最小值為7．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-43x-4分別與x，y軸交于點A，B(1)求此拋物線的解析式；(2)若點C的坐標是0,6，將△ACO繞著點C逆時針旋轉90°得到△ECF，點A的對應點是點E．①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；②若點P是y軸上的任一點，求35BP+EP取最小值時，點8．（2024·山東淄博·一模）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，連接BD，點E，F分別是邊AB，BC上的動點，且AE=BF，連接DE，DF，EF．(1)如圖①，當點E是邊AB的中點時，求∠EDF的度數；(2)如圖②，當點E是邊AB上任意一點時，∠EDF的度數是否發生改變？若不改變，請證明：若發生改變，請說明理由；(3)若點P是線段BD上的一個動點，連接PF，求PF+39．（22-23九年級下·江蘇宿遷·階段練習）如圖，二次函數y=ax2+2ax-3a與x軸交于點A，B，對稱軸為直線l，頂點C到x軸的距離為23．點P為直線l上一動點，另一點從C出發，先以每秒2個單位長度的速度沿CP運動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿PA運動到點題型02構造相關角再作垂線10．（22-23九年級上·四川樂山·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．1211．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)，C(-3，0)兩點，與y軸交于點B(0A．2 B．2 C．22 D．412．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．13．（21-22九年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，半徑為5的⊙O經過點C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設點D是線段AC上任意一點(不含端點)，則OD+12CD14．（2020九年級·新疆·學業考試）如圖，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值為．15．（2021九年級·全國·專題練習）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E為線段AB上一動點，連接CE，則12AE＋CE的最小值為16．（2023·福建泉州·模擬預測）如圖，已知拋物線y=k8x+2x-4（k為常數，且k>0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線

(1)若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數表達式；(2)在（1）條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止．當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少?17．（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a與x軸交于A，B兩點，若AB=m，函數y=ax2(1)求該拋物線的解析式；(2)如果將該拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形G．當函數y1=kx-1+2k的圖象與圖形G的公共點的個數大于2時，求(3)在（2）的條件下，當k取最大值時，函數y1=kx-1+2k的圖象與圖形G的對稱軸交于點P，若過P作平行于x軸的直線交圖形G于點Q，過點Q作y軸的平行線交函數y1=kx+1-2k的圖象于點R，D為線段RQ上的一點，動點C從點R出發，沿RD→DP運動到點P停止，已知點C在RD上運動的速度為5單位長度每秒，在DP上運動的速度為1單位長度每秒．求當點18．（2024·四川成都·模擬預測）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．【嘗試初探】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5，∠BAD=120°，求AC的長；【深入探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，AC=82，求BD【拓展延伸】（3）如圖③，在四邊形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC=60°，AD=AB=23，延長DA,CB相交于點E，DE⊥CE，P是線段AC上一動點，連接PD，求2DP+CP19．（2024·四川廣元·二模）如圖，在等腰三角形ABC中，CA=CB，C3,0，點A2,m、Bn,1(1)求反比例函數的解析式，并證明△ABC為直角三角形；(2)在x軸上求作一點P，使PB+12PC的值最小，寫出點類型二阿氏圓模型使用場景已知兩個定點A，B，動點P在定圓上，求PA+kPB的最小值類型點A，B均在圓外，r=kOB(k<1)點A，B均在圓內，r=kOB(k>1)圖示解題策略第一步:在OB上取點D，使得OD=kr；第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB,此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長即為PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延長線上取點D，使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB.此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長即為PA+kPB的最小值大招結論AD的長即為PA+kPB的最小值【模型總結】對于阿氏圓而言：當系數k＜1的時候，一般情況下，考慮向內構造.當系數k＞1的時候，一般情況下，考慮向外構造.【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；當軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.題型01兩點在圓外：向內取點（系數小于1）20．（2024·山東泰安·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C為圓心，3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則1A．1 B．2 C．3 D．421．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，矩形ABCD中AB=8，AD=6，點E是矩形ABCD內部一個動點，且EB=4，連接CE，則DE+三分之二CE的最小值為（

）A．8 B．263 C．233 D22．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E為AD邊上一動點，將△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DF+1A．92 B．132 C．4 D23．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的EF上任意一點，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是24．（2022九年級上·浙江·專題練習）如圖所示的平面直角坐標系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限內一動點，OP=2，連接AP、BP，則BP+12AP的最小值是25．（2021九年級·全國·專題練習）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：①AP+1②2AP+BP，③13④AP+3BP的最小值．26．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,AB=4．拋物線的對稱軸x=3與經過點A的直線y=kx-1交于點D，與x

(1)求直線AD及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為⊙B上一個動點，請求出PC+127．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,，D，E為BC，AC上的動點，且DE=4，P(1)若DE∥AB，求(2)在線段DE的運動過程中，CD的長由2到23，求這一變化過程中，點P(3)連結PA，PB，求28．（2021九年級·全國·專題練習）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉動，且CD＝2，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋22AD（3）直接寫出正方形CDEF旋轉過程中，BD＋22AD29．（2024·廣東廣州·三模）已知，如圖1，PAB為⊙O的割線，直線PC與⊙O有公共點C，且PC

(1)求證：①∠PCA=∠PBC；②直線PC是⊙O的切線；(2)如圖2，作弦CD，使CD⊥AB，連接AD、BC，，若AD=2，BC=6，求⊙O的半徑；(3)如圖3，若⊙O的半徑為2，PO=10，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一點Q，使得PQ+2題型02兩點在圓內：向外取點（系數大于1）30．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點C在OA上，且OC=2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．31．（20-21九年級上·江蘇宿遷·期末）問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半徑為2，(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使CD＝1，則CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求13(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝32．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點C在OA上，且OC=2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．33．（2024·浙江·模擬預測）已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是弧CD34．（2022·廣西·一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，∠BAC＝60°，點D，E分別在半徑AB，AC上，且BD＝CE＝2，點F是弧BC上的動點，連接DF，EF，則DF＋32EF的最小值為題型03一內一外提系數35．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B為圓心3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為．題型04隱圓+阿氏圓36．（2023·陜西咸陽·三模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是OD、OC上的兩個動點，且EF=4，P是EF的中點，連接OP、PC、

37．（21-22九年級下·湖北武漢·階段練習）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM=2，N為邊BC上一動點．連接MN，將△BMN沿MN翻折得到△PMN，點P與點B對應，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為

38．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE=4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+1439．（2021·廣西南寧·一模）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限內一動點，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是．40．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在平面直角坐標系中，A2,0、B0,2、C5,2、D4,4，點P在第一象限，且∠APB=135°，則

類型三梯子滑行模型模型的概述：如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上，當梯子底端滑動時，探究梯子上某點（如中點）或梯子構成圖形上的點的軌跡模型（圖2），就是所謂的梯子模型。圖1圖2【考查方向】已知一條線段的兩個端點在坐標軸上滑動，求線段最值問題。模型一：如圖所示，線段AC的兩個端點在坐標軸上滑動，∠ACB=∠AOC=90°，AC的中點為P，連接OP、BP、OB，則當O、P、B三點共線時，此時線段OB最大值。即已知Rt?ACB中AC、BC的長，就可求出梯子模型中OB的最值。模型二：如圖所示，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當點A在邊OM上運動時，點B隨之在ON上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點為P，連接OP、PD、OD，則當O、P、D三點共線時，此時線段