高三年級月考數學試卷202504一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.展開式中的系數為A. B.C. D.3.平均數?中位數和眾數都是刻畫一組數據的集中趨勢的信息，它們的大小關系和數據分布的形態有關在下圖分布形態中，a，b，c分別對應這組數據的平均數?中位數和眾數，則下列關系正確的是（）A B.C. D.4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數為（）A.44 B.46 C.48 D.545.已知，則（）A. B. C. D.6.已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.7.已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知函數．設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列說法正確的是（）A.，BC.若，，則的最小值為1D.若是關于x的方程的根，則10.已知函數的圖像關于點中心對稱，則（）A.在區間單調遞減B.在區間有兩個極值點C.直線是曲線的對稱軸D.直線是曲線的切線11.在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區域的面積大于4三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，，則______．13.在中，內角，，所對邊分別為，，，若，，則_____________14.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.四?解答題：本題共5小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數列的公比，且，是的等差中項．數列滿足，數列的前n項和為．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求數列的通項公式．16.某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立.（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點.（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求.17.已知橢圓的離心率為的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設為第三象限內一點且在橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點.求證：四邊形的面積為定值.18.已知函數（1）討論單調性；（2）證明函數為中心對稱圖形；（3）設，當時，，求的最大值.19.如圖，在三棱錐中，的中點分別為．（1）求的長；（2）證明：平面平面；（3）求平面和平面夾角的余弦值．

高三年級月考數學試卷202504一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因為，且注意到，從而.故選：A.2.展開式中的系數為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡已知代數式，利用二項式展開式的通項公式可以求出展開式中的系數．【詳解】因為，則展開式中含的項為；展開式中含的項為，故的系數為，故選：C．3.平均數?中位數和眾數都是刻畫一組數據的集中趨勢的信息，它們的大小關系和數據分布的形態有關在下圖分布形態中，a，b，c分別對應這組數據的平均數?中位數和眾數，則下列關系正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數據分布圖左拖尾，即平均數小于中位數，再利用眾數是用最高矩形的中點值來估計，可判斷眾數大于中位數，即可作出判斷.【詳解】由數據分布圖知，眾數是最高矩形下底邊的中點橫坐標，因此眾數為右起第二個矩形下底邊的中點值，直線左右兩邊矩形面積相等，而直線左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則，又數據分布圖左拖尾，則平均數小于中位數，即，所以.故選：A4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數為（）A.44 B.46 C.48 D.54【答案】B【解析】【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3種情況，分類討論結合組合數分析求解；解法二：利用間接法，根據題意先排甲不排首尾，再排除不符合題意的情況，結合組合數分析求解.【詳解】解法一：多重限制的排列問題：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲為優先元素分類計數，甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；綜上，該5名同學可能的名次排情況種數為種.解法二：間接法：甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；從而該5名同學可能的名次排情況種數為種.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據兩角和的余弦可求的關系，結合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因為，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.6.已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】結合等差數列性質將代換，求出直線恒過的定點，采用數形結合法即可求解.【詳解】因為成等差數列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，，此時.故選：C7.已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8.已知函數．設，若關于不等式在上恒成立，則的取值范圍是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】滿足題意時的圖象恒不在函數下方，當時，函數圖象如圖所示，排除C,D選項；當時，函數圖象如圖所示，排除B選項，本題選擇A選項.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列說法正確的是（）A.，B.C.若，，則的最小值為1D.若是關于x的方程的根，則【答案】ACD【解析】【分析】根據復數的乘法運算結合復數的模的計算，可判斷A；根據虛數單位的性質可判斷B；設，根據復數的模的計算公式，可得，以及，結合x的范圍可判斷C；將代入方程，結合復數的相等，求出p，即可判斷D.詳解】對于A，，設復數，則，，故，A正確；對于B，由于，故，B錯誤；對于C，，設，由于，則，故，由，得，則，故當時，的最小值為1，C正確；對于D，是關于x方程的根，故，即，故，D正確，故選：ACD10.已知函數的圖像關于點中心對稱，則（）A.在區間單調遞減B.在區間有兩個極值點C.直線是曲線的對稱軸D.直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】根據三角函數的性質逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數圖象知在上是單調遞減；對B，當時，，由正弦函數圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數的唯一極值點；對C，當時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．11.在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區域的面積大于4【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用旋轉前后拋物線焦點和對稱軸變化，即可確定拋物線方程；對于B，聯立拋物線方程，求出點的坐標，即得；對于C，將直點線與拋物線方程聯立求出的坐標，由兩點間距離公式求得弦長，利用換元和函數的圖象即可求得弦長最大值；對于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對陰影部分面積大小進行判斷.【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點在原點，焦點為,將其逆時針旋轉后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，即，故A正確；對于B，根據A項分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對稱性，可得,故，即B正確；對于C，如圖，設直線與第一象限花瓣分別交于點,由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經過點時取最大值4，經過點時取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設，則，且，代入得，，（）由此函數的圖象知，當時，取得最大值為，即C錯誤；對于D，根據對稱性，每個象限花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點，使過點的切線與直線平行，由可得切點坐標為,因,則點到直線的距離為，于是,由圖知，半個花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：本題主要考查曲線與方程的聯系的應用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結合圖形對稱性特征，通過曲線方程聯立，計算判斷，并運用函數的圖象單調性情況，有時還需要以直代曲的思想進行估算、判斷求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，，則______．【答案】3【解析】【分析】根據向量的數量積公式計算即可．【詳解】解：向量，滿足，，則，故答案為：313.在中，內角，，所對的邊分別為，，，若，，則_____________【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到的值，最后代入計算即可.【詳解】在中，因為，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，化簡得，由正弦定理得，所以，而，為三角形內角，所以，所以.故答案為：14.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.【答案】【解析】【分析】設直線與曲線相切于，表示出切線方程；設直線與曲線相切于，表示出切線方程.利用兩個方程相同建立方程，解出m，進而求出.【詳解】由可得：設直線與曲線相切于，則有.所以切線方程可表示為，即.由可得：設直線與曲線相切于，則有.所以切線方程可表示為，即.所以，消去s，整理得：，解得：，所以.所以斜率.故答案為：四?解答題：本題共5小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數列的公比，且，是的等差中項．數列滿足，數列的前n項和為．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求數列的通項公式．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】分析:（Ⅰ）根據條件、等差數列的性質及等比數列的通項公式即可求解公比；（Ⅱ）先根據數列前n項和求通項，解得，再通過疊加法以及錯位相減法求.【詳解】詳解：（Ⅰ）由是的等差中項得，所以，解得.由得，因為，所以.（Ⅱ）設，數列前n項和為.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.設，所以，因此，又，所以.點睛：用錯位相減法求和應注意的問題：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.16.某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立.（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點.（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用獨立重復實驗成功次數對應的概率，求得，之后對其求導，利用導數在相應區間上的符號，確定其單調性，從而得到其最大值點；（2）根據二項分布的期望先求件數對應的期望，之后應用變量之間的關系，求得賠償費用的期望.【小問1詳解】記20件產品中的次品件數為X，由題設知，則問題可理解為求的最大值，因此.令，得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以的最大值點為；【小問2詳解】由（1）知，.令表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知，，即所以（元）.17.已知橢圓的離心率為的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設為第三象限內一點且在橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點.求證：四邊形的面積為定值.【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由離心率可得，又由面積為1，可得，據此可得答案；（2）設，結合（1）可得直線PA，PB方程，據此可表示M，N坐標，可得四邊形的面積關于的表達式，最后結合在橢圓上可完成證明.【小問1詳解】因離心率為，又，則，又，則，所以橢圓C方程為：；【小問2詳解】設，由（1），，則，，直線PA：，直線PB：.對于直線PA，令，可得，對于直線PB，令，可得.注意到，則，注意到在橢圓上，則，則.【點睛】關鍵點睛：對于四邊形的面積，常可將其分為幾個三角形面積之和，也可利用對角線乘積乘以對角線夾角正弦乘以二分之一.18.已知函數（1）討論的單調性；（2）證明函數為中心對稱圖形；（3）設，當時，，求的最大