吉林地區(qū)普通高中2024-2025學年度高三年級第二次模擬考試數(shù)學試題說明：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上.字體工整，筆跡清楚.3.請按題號順序在答題卡相應區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.命題，則為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定直接判斷得解.【詳解】命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以為：.故選：C2.設全集，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，，而陰影部分表示的集合是，則圖中陰影部分表示的集合是，故B正確.故選：B3.在中，點D為的中點，點O為的重心，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合重心性質與向量運算化簡可得.【詳解】如圖，連接，因為點O為的重心，則為的三等分點，且，所以，故選：A.4.已知隨機事件A和B，下列表述中錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若互斥，則 D.若互斥，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)根據(jù)事件的包含關系即概率的性質，可判斷AB的真假；根據(jù)事件的互斥關系即互斥事件的概率特征可判斷CD的真假.【詳解】若，則，，故AB選項的內(nèi)容都是正確的；若互斥，則，，所以C選項的內(nèi)容是錯誤的，D選項的內(nèi)容是正確的.故選：C5.已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上且滿足軸，若，則雙曲線的實軸長為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】利用給定條件求出，再設出雙曲線方程，求解基本量，得到實軸長即可.【詳解】因為軸，且，雙曲線的右焦點為，所以，設雙曲線方程為，且，將代入雙曲線方程，得到，聯(lián)立解得(負根舍去)，則雙曲線的實軸長為，故B正確.故選：B6.定義：到定點的距離為定值的直線系方程為，此方程也是以為圓心，為半徑的圓的切線方程.則當變動時，動直線圍成的封閉圖形的面積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】弄清楚懂直線圍成的封閉圖形的形狀，就可以求它的面積.【詳解】由.根據(jù)條件中的定義，可得：動直線是以為圓心，以1為半徑的圓的切線.所以動直線圍成的封閉圖形為：以為圓心，以1為半徑的圓.其面積為：.故選：C7.已知等差數(shù)列的首項為1，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（）A. B. C.505 D.1013【答案】A【解析】【分析】利用給定條件結合分類討論確定公差，再將目標數(shù)列求出，利用并項求和法求和即可.【詳解】設公差為，因為成等比數(shù)列，所以，則，解得或，當時，，此時與成等比數(shù)列矛盾，故排除，當時，，此時令，而其前項和為，，故A正確.故選：A8.定義：為不超過x的最大整數(shù)，區(qū)間（或）的長度記為.若關于x的不等式的解集對應區(qū)間的長度為1，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】問題可轉化為不等式的正整數(shù)解有且只有一個，設，利用導數(shù)刻畫該函數(shù)的單調(diào)性后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則.因為原不等式的解集對應區(qū)間的長度為，故不等式的正整數(shù)解有且只有一個.設，則，故當時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又，.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設復數(shù)，則（）A.在復平面內(nèi)z對應的點位于第一象限B.C.D.若z是關于x的方程的一個根，則【答案】AC【解析】【分析】A項結合對應點坐標可得；B項由復數(shù)除法運算可得；C項由復數(shù)乘法運算可得；D項將代入方程，化簡整理由復數(shù)相等條件可待定.【詳解】A項，復數(shù)對應點位于第一象限，故A正確；B項，，故B錯誤；C項，，故C正確；D項，若z是關于x的方程的一個根，則，化簡得，所以有，解得，故D錯誤.故選：AC.10.數(shù)學與音樂有緊密的關聯(lián)，每個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是函數(shù).像我們平時聽到的音樂不只是一個音在響，而是許多個音的結合，稱為復合音.復合音的產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為f的基音的同時，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如等，這些音叫諧音，因為振幅較小，我們一般不易單獨聽出來.所以我們聽到的聲音的函數(shù)是，記，則（）A.的最大值為 B.在上單調(diào)遞增C.的周期為 D.【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦函數(shù)性質得到和無法同時取得最大值判斷A，利用正弦函數(shù)性質分別判斷得，，的單調(diào)性求解B，利用周期性的定義求解C，利用導數(shù)結合分類討論證明，再結合絕對值三角不等式放縮證明D即可.【詳解】對于A，，若的最大值為，則和必須同時取得最大值，由正弦函數(shù)性質得和無法同時取得最大值，則的最大值不為，故A錯誤；對于B，由題意得，因為，所以，，由正弦函數(shù)性質得，，在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的性質得，多個增函數(shù)相加，結果一定是增函數(shù)，得到在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，令，而，，，得到的周期為，故C正確；對于D，欲證，則證即可，令，而，，則是偶函數(shù)，則證當時，即可，此時，當時，，，故在上單調(diào)遞減，得到則成立，當時，同理可得成立，綜上，結合是偶函數(shù)，可得恒成立，故，則對于時，成立，故D正確.故選：BCD.11.已知是定義在上的函數(shù)，對于任意實數(shù)滿足，當時，，則（）A. B.C.有3個零點 D.若，則或【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法求值判斷A，利用賦值法得到判斷B，利用賦值法求解零點個數(shù)判斷C，對參數(shù)范圍分類討論結合奇函數(shù)的性質判斷D即可.【詳解】對于A，已知，令，則，故；令，則，解得，故A正確；對于B，令，則，解得；令，則，得到是奇函數(shù)，不滿足，故B錯誤；對于C，令，則，而，得到是奇函數(shù)，且在上有定義，則，，得到有3個零點，故C正確，對于D，結合，解得，顯然，而，若，則即可，當時，此時，則，符合題意，而在時，，則，，不符合題意，排除，當時，，，故，由奇函數(shù)性質得，符合題意，當時，，此時，由奇函數(shù)性質得，不符合題意，排除，綜上，若，則或，故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是對參數(shù)范圍分類討論，然后結合奇函數(shù)的性質得到符合條件的解集即可．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.其中14題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式先求，再求可得結論.【詳解】因函數(shù)，所以，所以.故答案為：.13.已知橢圓的上頂點為A，點均在C上，且關于x軸對稱.若直線，的斜率之積為，則橢圓C的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)軌跡的求法，確定橢圓方程，可求其離心率.【詳解】由題意：，設（），則.由直線，的斜率之積為，可得.所以，，，所以.故答案為：14.如圖，在三棱錐中，平面平面，，點E在棱上，且，側面內(nèi)一動點P滿足，則點P的軌跡長度為__________；直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】分析點的軌跡，可求點的軌跡長度，建立空間直角坐標系，利用空間向量可求直線與直線所成角的余弦值的取值范圍（或者用三余弦定理求直線與直線所成角的余弦值的取值范圍）.【詳解】（法一）由得，點P軌跡是以A為球心，1為半徑的球面，又點P在平面內(nèi)，點P在以A為圓心，1為半徑，為圓心角的圓弧上，因此點P的軌跡長度為.建系如圖，設，則..令，.故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.（法二）設直線與直線所成角為，取的中點，根據(jù)三余弦定理可知，，易知P從點M運動至N處，逐漸減小，則逐漸增大，由圖可知，P從點M運動至N處逐漸增大，則P在點M處時，取得最小值，此時，則P在點N處時，取得最大值，此時，故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為.（1）若，求的面積S；（2）若角C的平分線與的交點為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的平方關系，把化成，根據(jù)正弦定理可得，在根據(jù)余弦定理，可得角，再結合余弦定理，表示出，可得的值，進而利用可求面積.（2）根據(jù)，結合可得：，再結合基本不等式，可求的最小值.【小問1詳解】由，得.由正弦定理得.所以，因為，所以.在中，，由余弦定理，得，解得.所以.即的面積S為.【小問2詳解】因為為角C平分線，，所以.在中，，所以，由，得，所以.因為，所以由基本不等式，得，所以，當且僅當時取等號.所以的最小值為.16.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）、（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由參變量分離法可得出對任意的恒成立，利用導數(shù)求出函數(shù)在時的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域與，且，令，得或，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、.【小問2詳解】對任意的，.由于，則，令，其中，則，令，則.當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.所以，，則，因此，實數(shù)取值范圍是.17.如圖，一個直三棱柱和一個正四棱錐組合而成的幾何體中，.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求正四棱錐的高.【答案】（1）證明見解析（2）2或【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質得到，結合并利用線面垂直的判定定理得到線面垂直，再利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標系，利用平面夾角的向量求法建立方程，求解所求高即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，平面，又平面.又平面，平面.又平面，平面平面.【小問2詳解】以A為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設正四棱錐的高為h，則，故，設平面的一個法向量為.則，即，取，則.設平面的一個法向量為，則，即，取，則，故，設平面與平面夾角為，則，解得或.所以正四棱錐的高為2或.18.國家設立國家自然科學基金，用于資助基礎研究，支持人才培養(yǎng)和團隊建設.現(xiàn)對近4年的國家自然科學基金項目支出（以下簡稱項目支出）概況進行統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下表：年份2020年2021年2022年2023年年份序號1234項目支出/百億元9096100108（1）經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)年份序號與項目支出具有線性相關關系.請求出項目支出y關于年份序號x的經(jīng)驗回歸方程，并預測2025年的項目支出；（2）天元基金是國家自然科學基金中的數(shù)學專項基金之一，為促進甲、乙兩個地區(qū)天元基金申報者的交流，天元基金委員會舉辦了論壇活動.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，甲、乙兩個地區(qū)共有200人參加此次論壇活動，具體數(shù)據(jù)如下表：男生女生合計/人甲6535100乙4555100合計/人11090200（i）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為申報者所在地區(qū)與性別有關聯(lián)？（ii）為了解此次論壇活動的滿意度（滿意度評分滿分為10分），現(xiàn)采用按男、女樣本量比例分配的分層隨機抽樣，從上述200人中抽取40人進行訪談，其中男生樣本的滿意度平均數(shù)為9分，方差為7.19，女生樣本的滿意度平均數(shù)為7分，方差為6.79，由這些數(shù)據(jù)，請求出總樣本的滿意度的平均數(shù)和方差，并對全體參加此次論壇活動的天元基金申報者的滿意度的平均數(shù)和方差作出估計.附：，，，其中.0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），118.8百億元（2）（i）能；（ii）平均數(shù)為8.1，方差為8；全體參加論壇活動天元基金者的滿意度的平均數(shù)為8.1，方差為8【解析】【分析】（1）利用所給的公式求回歸方程，并用之預測2025年的項目支出.（2）（i）計算，根據(jù)獨立性檢驗的思想進行判斷；（ii）根據(jù)部分數(shù)據(jù)與整體數(shù)據(jù)特征數(shù)的關系求值.【小問1詳解】（法一），，，所以，所以國家自然科學技術基金項目支出y關于年份序號x的經(jīng)驗回歸方程為.當時，（百億元），預測2025年的國家自然科學技術基金項目支出為118.8百億元.（法二），，，所以國家自然科學技術基金項目支出y關于年份序號x的經(jīng)驗回歸方程為.當時，（百億元），預測2025年的國家自然科學技術基金項目支出為118.8百億元.【小問2詳解】（i）零假設為申報天元基金者的所在地區(qū)與性別無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到.依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為申報天元基金者的所在地區(qū)與性別有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.（ⅱ）把男生樣本的滿意度平均數(shù)記為，方差記為；女生樣本的滿意度