專題07平面向量

易措點：注意零向量書寫及三角形

^題型一：平面向量線性運算

與平行四邊形適用前提

題型二：平面向星的基本定理

又易錯點：忽略基底選取原則

平面向量及坐標表示

題型三：平面向量的數量積及

又易錯點：忽視數品枳不滿足結合律

易錯點一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向

量線性運算）

1.向量的有關概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量A8的長度，記作|/記|.

（3）特殊向量：

①零向量：長度為。的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規定：0與任一向量平行.

④相等向量：長度相等巨方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等巨方向相反的向量.

2.向量的線性運算和向量共線定理

（1）向量的線性運算

運算定義法則（或幾何意義）運算律

①交換律

求兩個向量a+b=b+a

加法

和的運算a-②結合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求。與〃的

相反向量-〃的

減法a-b=ci+(-b)

和的運算叫做aa

與b的差三角形法則

(1)U?|=|2||a|

九(〃4)=(切)4

求實數4與

(2)當2>0時，/la與。的方向相同；

數乘向量a的積的運(Z+=而+pa

當aV。時，4a與4的方向相同；

算A(a+b)=Aa+Ab

當2=0時，Aa=O

共線向量定理

向量〃(4W0)與b共線，當且僅當有唯一的一個實數2,使得〃=々/.

共線向量定理的主要應用：

(1)證明向量共線：對于非零向量，，b，若存在實數3使〃=乂，則〃與〃共線.

(2)證明三點共線：若存在實數九使4B=/IAC，則A，B,C三點共線.

(3)求參數的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值.

平面向量線性運算問題的求解策略：

(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、

相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向量表示出來.

(2)向量的線性運算類似于代數多項式的運算，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提

取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用.

(3)用幾個基本向量表示其個向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置：

②尋找相應的三角形或多邊形；

③運用法則找關系；

④化簡結果.

解決向量的概念問題應關注以下七點：

(1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關.

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必

是相等向量.

（5）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數圖象移動混

為一談.

（6）非零向量〃與，二的關系：7^;是a方向上的單位向量.

（7）向量與數量不同，數量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數，故可以比較

大小

易錯提醒：（1）向量表達式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

（2）兩個向量共線要區別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線

平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系.

（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起

點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩

個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件.

（4）向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：6A-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA<=>OA-OB=CA<^BA-CA=BA+AC=BC-

A.AB+AD=ACB.AB+CD+DO=OA

maiiitiuiiiaimiu

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA-^DA=0

【詳解】而于A,根據平面向量加法的平行四邊形法則，^AB±AD-AC>故A正確;

對于B,在平仃四邊形A8CQ中，CD=-AB?則AB+CO+OO=OOwOA，故B錯誤;

對于C,AB+AD+CD=AC^-CD=AD故C正確；

uuuuu

對于D,在平行四邊形A8CZ）中，CD=BA，

uuuuuuuuuiuuuwuuuumuui

AC+BA+DA=DA+AC+BA=DC+=故DlE確.故選：ACD.

變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（）

33

所以AO:AM====一

1411

變式3：如圖所示，在矩形48co中，忸4=4＞萬，AB=8,設8C=b，AB=a，BD=c，求卜-

【詳解】解：在矩形A8co中，,*的=46,k,=8,

則,4==潤+(4百『=4日,

因為8C%，AB=a，BD=c，

則a-b-c=AB-BC-BD=AB-AD-BD=DB+DB=2DB，

因此，|?-/?-C|=2|DB|=2X4X/7=8V7.

uim,rr、

1.已知a、〃為不共線的向量，AB=a+5b^BC=-2a+85，CD=3^-/?j,則（）

A.AB,C三點共線B.AC,。三點共線

C.AB,。三點共線D.B,C,。三點共線

【答案】C

【分析［根據平面向量共線定理及基本定理判斷即可.

【詳解】因為〃、〃為不共線的向量，所以a、〃可以作為一組基底，

對于A：AB=a+5b^BC=-2a+8〃，若存在實數/使得AB=/8C，

.21—］

則。+5力=4-24+84，所以［二，方程組無解，所以A6與8c不共線，故A、B、C三點不共

線，即A錯誤；

對于B：因為AB=a+5》，5C=—2a+8Z?，所以AC=A8+8C=。+5〃+（-2。+8〃）=一〃+13/?,

同理可以說明不存在實數/,使得AC=/C。，即AC與。。不共線，故A、C、。三點不共線，即

B錯誤；

對于C：因為8c=-2。+魴，8=3（〃-〃），

所以4。=8。+8=—2〃+86+3（々—力）=4+5人，

又AB=a+5b=BD，所以AB//BD，故A、3、￡＞三點共線，叩C正確;

uuu/rr、

對于D：8c=-2。+助，CD=3^-bj,

同理可以說明不存在實數/，及得8C=/C￡＞，即8c與。。不共線，故3、C、。三點不共線，即D

錯誤：

故選：C

2.如圖，在平行四邊形A8CZ）中，E是BC的中點，尸是線段AE上靠近點A的三等分點，則0尸等

于（）

B.-AB--AD

33

C.D.-AB--AD

3634

【答案】c

【分析】利用平面向量的線性運算求解.

【詳解】解：。尸=4尸一AO=』AE—A。，

3

=g（AB+閣一AO,

=-\ABA--AD\-AD,

312J

=-AB--AD,

36

故選：C

3.在四邊形A8C。中，若4C=A8+AO，則（）

A.四邊形A8CO是平行四邊形B.四邊形AECQ是矩形

C.四邊形AAC。是菱形D.四邊形/WCD是正方形

【答案】A

【分析】由AC=AK+A/）推出AC=AO,再根據向量相等的定義得8C=A。且8C//AO,從而可

得答案.

【詳解】因為AC=A8+A。，故AC-AB=AO，即BC="＞，

故8C=A。且BC//AD,故匹邊形A8CO一定是平行四邊形，

不一定是菱形、止方形和矩形，故A正確；BCD不止確.

故選：A.

4.已知4。,8E分別為A8C的邊ACAC上的中線，設AU=〃，BE=〃,則8C=（）

【答案】B

【分析】根據向量的線性運算即可聯立方程求解.

【詳解】AD8E分別為的邊BCAC卜的中線，

2

8￡=8A+AE=3A+gAC=8A+；（AB+BCj=g（8A+8C）,

由于AZ）=a，BE=b?所以。=58?！?A,Z?=58/1+55。，

2-4-

故解得80=彳。+彳及

33

故選：B

5.如果斗色是平面a內兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

①a=2q+"2（%,〃wR）可以表示平面a內的所有向量；

②對于平面a內任一向量a,使。="+22（4〃€口）的實數對（無〃）有無窮多個；

③若向量4q+〃1e；與46+外為共線，則，=今

④若實數7、〃使得40+〃華=。，則2="=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

【答案】B

【分析】由平面向量基本定理判斷①?②，由共線向量定理判斷③.

【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確.

對于②，由平面向量基本定埋可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底卜的實

數對是唯一的，故錯誤；

對于③，當力方=0或"/"2=0時不一定成立，應為入用2T砂=0,故錯誤.

故選：B.

6.給出下列各式：①A8+CA+8C，②AB-CD+BO—AC，③AO-OQ+OA，④

NQ-MQ+QP+MN,對這些式子進行化簡，則其化簡結果為0的式子的個數是()

A.4B.3C.2D.I

【答案】A

【分析】利用向量的加減法法則逐個分析判斷即可.

【詳解】對于①，"+C4+BC=A8+BC+CA=AC+CA=0，

對于②，AI3-CD+13D-AC=^AB+I3D)-^AC+CD)=AD-AD=(),

對于③，AD-OD+OA=^AD+DO)+OA=AO+OA=0,

對于④，NQ-MP+QP+MN=(NQ+QP)+(PM+MN)=NP+PN=0,

所以其化簡結果為0的式子的個數是4,

故選：A

7.已知平面向量a，b,c，下列結論中正確的是()

A.若4〃〃,則4=hB.若卜卜W，則

C.若〃〃力，/>〃c，則a〃cD.若卜+/,=忖+忖，則

【答案】D

【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.

【詳解】A：若〃為非零向量，〃為零向量時，有。力但不成立，錯誤；

B：忖=忖時，〃，方不一定相等，錯誤：

C：若Z?為零向量時，a。b,〃〃。不一定有“〃-，錯誤；

D：,+0="+忖說明a，〃同向或至少有一個零向量，故〃b,正確.

故選：D.

8.設e；與色是兩個不共線的向量，AB=M\+2e；,CB=kq+e?,CD=3e「2ke；,若A,B,。三點

共線，則上的值為()

37

A.-?8

【答案】B

【分析】根據向量共線的判定定理結合向量的線性運算求解.

UUDIlinUlfITlT\/iriT\IILT

【詳解】由題意可得：3/)=8—8=(34—23)-(何+ej=(3-母「(22+1).,

若人，B,。三點共線，所有必存在一個實數人使得44=480,

ITITrITIT-iITIT

即3q+2/=，[(3-3-"+l)c卜,

4(3-6=37

可得，(/)4解得

k-

4

故選：B.

9.在aOAB中，已知|。3卜2,|。$=4,尸是AB的垂直平分線/上的任一點，則OP?AB=（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】B

【分析】設M為的中點，結合P為線段人8垂直平分線上的任意一點，則有OP./W=OW./W，

再將OM,AZT都用OAO4表示，結合數量積的運算律即可得解.

【詳解】設“為A4的中點,

則OPAB=[OM+MP\AB=OMAB+MPAB,

因為P為線段A8垂直平分線上的任意一點,

所以MP.48=0,

則0P4B=0MAB=:(04+QA)(08-0A)=3(OB，-6M]=—6.

故選：B.

10.已知拋物線C），2=4x的焦點為R準線為/,點Aw/,線段Ab交拋物線。于點B,過點8

作/的垂線，垂足為〃，若/<4=3五4，則（）

A.|喇=5B.卜耳=4

3

c.網=3砌D.|AF|=4|BH

【答案】BC

【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.

【詳解】拋物線C）*=4x的焦點產（1,0）,準線/為4—1,

由一與相似得:

VFA=3FBfA8HAMM\MF\~\AF\~3

24—4

?.?|M尸|=2,：.\BH|=-x2=-,g[Jm=-,故A錯誤;

333

由拋物線定義得.?.|4邛=3|5臼=3|8H|=4,

即卜尸卜4,卜F卜3,”|,故BC正確，D錯誤.

故選：BC.

11.下列各式中結果為零向量的為（）

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+BD-CDD.OA+OC-^BO+CO

【答案】BC

【分析】根據平面線向量加法和減法的運算法則逐一判斷即可.

【詳解】因為A8+MB+8O+OM=A8+（8O+OM+M8）=A8,所以選項A不符合題意;

因為A8+BC+C4=0，所以選項B符合題意；

因為AB-AC+BD-CD=CB+BD-CD=CD-CD=O,

所以選項C符合題意；

因為QA+OC+3O+CO=（3O+0A）+（OC+CO）=6A+O=6A,

所以選項D不符合題意，

故選：BC

易錯點二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標表示）

1.平面向量基本定理和性質

（1）共線向量基本定理

如果。=則q/必；反之，如果且人工0，則一定存在唯一的實數4,使

〃=勸.（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）.

（2）平面向量基本定理

如果《和與是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量〃，都存在唯一

的一對實數4,4，使得〃我們把不共線向量6,與叫做表示這一平面內所有向量的

一組基底，記為｛%6｝，4"+4c2叫做向量。關于基底,修｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量“與與不共線，平面內的任一向量。都可以分解

成形如+41的形式,并且這樣的分解是唯一的.幺出+2,ez叫做“，e,的一個線性組合.平

面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的

基礎.

推論1：若〃=4弓+44=44+乙6，則4=4,4=4.

推論2：若。=4°]+4?2=0，則4=4=0.

（3）線段定比分點的向量表達式

如圖所示，在△4BC中，若點。是邊8c上的點，且8Q=/l￡>C（彳工一1），則向量

在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能有“化腐

AD=AB+ZAC

1+A

朽為神奇”之功效，建議熟練掌握.

BC

(4)三點共線定理

平面內三點A,B,C共線的充要條件是：存在實數4〃，使OC=〃M+〃OB,其中2-〃=1,

O為平面內一點.此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握.

4、B、C三點共線

o存在唯一的實數；I,使得人C=/l/W;

o存在唯一的實數4,使得OC=OA+；MB：

o存在唯一的實數4,使得2)04+208；

=存在2I〃=1,使得0c=MA十/JOB.

(5)中線向量定理

如圖所示，在△A8C中，若點。走邊8C的中點，則中線向量AO=g(A3+AC),反之亦正

確.

2.平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示.

在平面直角坐標中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量?作為基底，那么

由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量。，有且只有一對實數工，)'使。="+“，我們

把有序實數對(乂y)叫做向量。的坐標，記作。=(乂y).

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是'-對應的，即有

向量。,對.句量Q4一=^=?點4”).

(3)設。=(否,)1),b=(x2,y2),則a+l=(4+電，M+%)，a-b=(xi-x2,yi-y2),即兩個

向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

若a=(x,y),%為實數，則4a=(/lx,/ly),即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向

量的相應電標.

（4）設A（x”x）,8（占,為），則=—。4=（%-匕，Y-力），即一個向量的坐標等于該向

量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標.

3.平面向量的直角坐標運算

①己知點A（X］，y）,僅士，為），則48=（占-$，必-y），IA8|=—內）2+（%—）’1）2

②己知〃=（.￡,X）,b={x2,y2）,則〃±力=（.￡±々?X土）\），2d=（2xt,Ayt）,

ab=x^+y.y,,|止J"+y；?

=%兒一&X=°，aJLOo%占+乂％=°

向量共線（平行）的坐標表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地，在求與一個」知向量。共線的向量時，可設

所求向量為加（/IwR）,然后結合其他條件列出關于義的方程，求出2的值后代入而即可得到所

求的向量.

2.利用兩向量共線求參數.如果已知兩向量共線，求某些參數的取值時，則利用“若a=U，y）,

方=（/,左），則a〃8的充要條件是=WX”解題比較方便.

3.三點共線問題.A,B,。三點共線等價于A8與AC共線.

4.利用向量共線的坐標運算求三角函數值：利用向量共線的坐標運算轉化為三角方程，再利

用三角恒等變換求解.

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

（I）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成該基底的線性組合，

再進行向量的運算.

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段

中點的向量表達式.

向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.

兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.

易錯提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量.

（2）選定基底后，通過向量的加、減、數乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一組基

底表示出來.

（3）強調幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平

行、相似等。

三蘭

例.已知向量〃=(2,1),b=(-3,l),則()

A.若c=q，-半，則aleB.向量。在向量〃上的投影向量為一3〃

\Z

C.〃與的夾角余弦值為平D.(a+b)//a

【詳解】對于A選項，若。二冬一半,則〃c=2x半+lx-割=。，所以a_Lc,A正確；

對于B選項,設向量a在向量￡上的投影向量為動，則%片，即2、(-3)+12=]()/1,解得％=一；，

故向量a在向量〃上的投影向量為-g。，B選項正確；

a-(a-b]io2加

對于C選項，〃-匕=(5,0),cos<?,a-/>>=?(-；----r=—f=—=—T—?C選項正確；

6T-a-h\45x55

對于D選項，。+〃=(-1,2),-Ixlw2x2,所以〃+/?與a不共線，D選項錯誤.

故選：ABC.

變式1.下列說法中錯誤的為()

A.已知：J=(I,2),力=(i,i)且白與〃+勸的夾角為銳角，則實數X的取值范圍是(一5,+8

(13、

B.向量q二(2,-3),e=不能作為平面內所有向量的一組基底

24/

C.非零向量a，b>滿足。<力且a與。同向，則a>/>

D.非零向量〃和〃，滿足,卜力=|。一6,則a與a+8的夾角為30

【詳解】對于A,Q?=(1.2),Z?=(1J),且a與〃+勸的夾角為銳角，

.1.?-(?+2/?)=(1,2).(1+2,2+l)=l+Z+4+22=3/1+5>0,且力工0(2=0時，?與a+焉的夾角為

0)，所以且丸￥0,故A錯誤；

對于B,向量q=4e；，即共線，故不能作為平面內所有向量的一組基底，故B正確；

對于C,向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯誤:

對于D,因為M卜口一4,兩邊平方得，又向二%，

則4?4+b）=忖,a+b=J（a+b）=\la+2ab+b=6忖，

\a\a+b\||?|

故cos(〃M+b)=」——L=-^~r

/aa+ba.《3

而向量的夾角范圍為[（），180],所以〃和〃+〃的夾角為30,故D正確.

故選：AC.

變式2.（多選）下列說法中正確的是（）

A.若：=（“）"=（3），且消了共線，則;;

人2）2

B.若a=（X],yJ工=伍,）,2）,且內外"NX，則：與/；不共線

C.若A,B,。三點共線.則向量/，選，&都是共線向量

D.若向量;=（|,2）/=（-2,〃），旦房則〃=一4

【詳解】對選項A,1=?；蜓?=。時,比例式無意義,故錯誤;

對選項B,若“=（用,y）.力=（“2』），a與/?共線，則一定有/丫2="2乂，故正確;

對選項C,若A,B,C三點共線，則篇,靛,3在一條直線上.，則我，麗,&都是共線向量，故

正確；

對選項D,若向量〃=0,2）/=（-2,〃），且7"，則lx〃=-2x2,即〃二一4,故正確：

故選：BCD

變式3.已知華色是平面內的一組基底，則下列說法中正確的是（）

A.若實數/〃，〃使〃+〃6=0，則〃?=〃=0

B.平面內任意一個向量a都可以表示成。=〃匕+〃&2,其中〃?，〃為實數

C.對于〃?，〃eR,+ne2不一定在該平面內

D.對平面內的某一個向量。，存在兩對以上實數〃?，〃，使4=〃?q+〃%

【詳解】解：根據基底的定義知AB正確；

對于C,對于m,〃eR,/g+//在該平面內，故C錯誤;

對于D,切，72是唯一的，故D錯誤.

故選:AB.

1.在梯形A8CO中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是A8,的中點，AC與8。交于

設=AD=b?則卜列結論止確的是()

A.AC=—a+bB.BC=—a+b

22

12—|

C.BM=——a+—bD.EF=——a+b

334

【答案】ABD

【分析】結合已知梯形的性質及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對各選項進行判斷即

可.

由題意可得，AC=AD+DC=b+^at故A正確；

——-I-I

BC=BA+AC=—a+b-\—a=b—a,故B正確；

22

2——2-19-9

BM=BA+AM=-a+-AC=-a+—b+ax-=-b——a,故C錯誤；

33333

——一11.1

EF=EA+AD+DF=一一a+b+-a=b一一a故D正確.

244t

故選：ABD.

2.已知點4(1,2),5(3,x),向量〃=(2-工,-1),則()

A.冢=2+五時48與。方向相同

B.x=2-&時，八8與a方向相同

C.x=2—a時A8與a方向相反

D.戶2+&時，AB與a方向相反

【答案】BD

【分析】根據向量平行的坐標表示求出x,再I可代驗證方向相同或相反.

【詳解】A(l,2),8(3/)，可得A8=(2,x—2),

又a=(2-x,-l),AB/S，

可得(2-x)(x-2)=-2,解得％=2土及，

當x=2+&時，而=Q&)與。=卜"-1)方向相反,當工=2-&時，A8=(2,-及)與

。=(&，-1)方向相同.

故選：BD

3.已知點A(l,2),8(3,x),向量a=(2-x,-l),A8〃凡則()

A.x=3時與a方向相同

B.x=2-也時4?與4方向相同

c.x=3時A8與a方向相反

D.x=2+&,時A8與〃方向相反

【答案】BD

【分析】根據向量共線的坐標運算求解.

【詳解】A(l,2),8(3,?？傻?8=(2/-2),

又〃=(2-x,-1),AB//4,

可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2士立，

當x=2+&,時，A5=(2,&),。=(一點,一1)則48=—血〃，

所以與。方向相反，

當工=2-&,時，AB=Q「垃),〃=(&,一1),則A8=&。，

AB與。方向相同.

故選:BD.

4.如果不⑸是平面。內兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是()

A.陽&(4〃eR)可以表示平面a內的所有向量

B.對于平面。內任一向量a,使〃=〃0的實數對(九〃)有無窮個

C.若向量+M/與4耳+〃26共線，則有且只有一個實數義，使得+乂6二義(44+14G)

D.若存在實數Z〃使得2q+〃/=°，則丸=〃=0

【答案】AD

【分析】由平面向量基本定理可確定AD正確，B錯誤；通過反例可說明C錯誤.

【詳解】4,是平面a內兩個不共線的向量，.??用e2可以作為平面a的一組基底；

對FA,由平面向量基本定理可知：可以表示平面。內的所有向最，A正確；

對于B,對于平面。內任意向量。，有且僅有一個實數對（九〃），使得。=24+〃/，B錯誤；

對于c,當4=M=4=〃2=。時，4弓+〃品與+〃用均為零向量，滿足兩向量共線，此時使

得44+〃?="4烏+/6）成立的/1有無數個，c錯誤；

對于D,由得：狷=一“2，又6"2不共線，，2=-〃=0,即4=〃=0,D正確.

故選：AD.

5.已知平面內平行四邊形的三個頂點2,1）,4（T3）,C（3,4）,則第四個頂點。的坐標為（）

A.（-2,2）B.（4,6）

C.（-6,0）D.（2,-2）

【答案】ABC

【分析】若構成的平行四邊形為4BCR,即AC為一條對角線，設A（x。），則由4c中點也是BQ

中點，利用線段的中點公式求得R.

同理可求得，構成以48為對角線的平行四邊形A8CQ,和以8C為對■角線的平行四邊形ACQ5,

對應的。的坐標.

【詳解】若構成的平行四邊形為A8cA,即AC為一條對角線，

-2+31

.、99[%=2

設A,則由AC中點也是8R中點，可得；，解得.

所以A（2,2）：

同理可得，若構成以A4為對角線的平行四邊形48C2,則。式-6,0）；

以為AC對角線的平行四邊形，則D、（4,6）；

所以第四個頂點力的坐標為可以為：（-2,2）或（-6,0）或（4,6）.

故選：ABC.

2

6.已知橢圓E、+)，2=l的左、右焦點分別為6，5，過下頂點A和右焦點尸2的直線與E交于另

一點以36與y軸交于點p,則()

A.AF11AF2B.?陽

C.△A8G的內切圓半徑為立

D.4居P-3尸B=0

2

【答案】ABD

【分析】根據給定條件，求出焦點及下頂點坐標，而出圖形，再逐項分析計算、判斷作答.

2

【詳解】依題意，橢圓E:二+),2=1的焦點耳(一］,0),鳥(1,0),下頂點4(0,T),如圖，

對于A,||=|。5|=|OA|,因此A正確;

y=x-141

對于B,直線A用：)，=4-1,由，…。消去y得：3X2-4A=0,則點8(；.),

x+2y=233

于是?叫|=/一方+鏟=￥,B正確；

對于C,的周長為4vL令其內切圓半徑為「，54flA；=1/*F2|.||-(-l)=^,

因此:乂4血「二:，解得,?=①，C錯誤；

233

4I41一__4

對于D,B(-,-),設點P(0,y0)，則4P=(l,)b),PB=(4G—%),而F、P//PB,即有wKP=P8,

因此4月尸一3P8=0,D正確.

故選：ABD

7.設0＜。＜兀，非零向量a=(sin20,cos0),〃=(cos0,l),貝lj().

1..371

A.若tan0=彳，則〃〃。B.若8=—,則aA-b

24

C.存在6,使2a=bD.若〃〃人則tan〃=；

【答案】ABD

【分析】A選項，驗證COS26=sin2/9即可；

B選項，驗證ad=O；

C選項，由題可得2sin2e=cos6,cos^=-,據此可判斷選項正誤；

2

D選項，由題可得cos?0=sin20，據此可判斷選項

【詳解】A選巧］,tan=—=>S'n^=—=>cos6^=2sin=>cos?0=2sin0co^,0=sin20,

2cos^2

則〃〃h，故A正確；

B選項，6^=—=>sin2^=-l.cos^=--^?則。-~~力=_~~>,

42I2jI2J

故a?力=0=>aJ./?，故B正確；

c選項，假設存在e,使2a=〃，則2sin%=cos。，cos0=g,則可得

4sin0cos0=cos3=>2sin0=—=>sin0=—,故可得

24

sin20+cos2Owl,則假設不成立，故C錯誤；

D選項，Ba//bf則sin2。=cos'。，又由題可得COSIHO,則

sin2^=cos?^=>2sin<9cos<9=cos:2sin^=cos^=>Uin^=^,故D正確.

故選：ABD

8.已知向量〃=(2,-。力=(〃1,2),則下列結論正確的是()

A.若a〃〃，則〃?=-4B.若a_L/?,則〃?=I

C.^\2a-b\=\a+b\,則帆=1D.若卜+4=忖，則機=Y

【答案】AB

【分析】根據向量平行的坐標表示判斷A,根據向量垂直的坐標表示判斷B,根據向量的模的坐標

表示判斷C,D.

【詳解】對于A,因為〃〃/九所以2x2=(-l)x〃z,所以用=T,A正確；

對于B,因為所以2x〃?+(—l)x2=0,所以加=1,B正確；

,9

對于C,因為|2。-〃|=|〃+切，所以3(a)--6a力=0,所以，〃=1,C錯誤；

對于D,因為,+4=忖，所以僅+24/=0,所以〃?=()或〃?=Y,D錯誤；

故選：AB.

9.如圖，在,A5C中，8C=12,QE是8C的三等分點，則()

A

33

2—

B.若/WAC=O，則AE在48上的投影向量為

C.若A8AC=9，則4OAE=40

D.AL)AE=4,AB2+AC2=SS

【答案】AD

【分析】根據平面向量線性運算的性質，結合投影向量的定義、平面向量數量積的運算性質逐一判

斷即可.

【詳解】對于A,AE=AC+CE=AC+-CB=AC+-(AB-AC}=-AB+-AC,故A正確；

33、733

對于B,因為A8AC=0,所以A8XAC,

由題意得E為的一個三等分點(靠。點更近)，所以AE在4“上的投影向量為故B不正

確；

■■■■2.■2/■2-1.

對于C,AD=AC+CO=AC+—C8=AC+—=—48+—AC,

33VJ33

AE=-AB+-AC,

33

2,22，S2222

Ol,ADAE=-AB~+-AC+-ABAC=-AB'+-AC~+5,

99999

又C8=A8-AC=CB2=AB'+AC2-2AB4c=144，

所以+AC=2ABAC+\44=162，

2c2-2

故=g4+5=41,故C錯誤：

22'S

對于D,ADAE=-AB+-AC+-ABAC=4,

999

2-21/22\

而A8+AC-2ABAC=\M=>ABAC=^AB+AC)-72,

代入得，+AC)=44nAB?+AC?=88,故選項D正確，

故選：AD

10.已知ci=(l,2)力=(4j),則下列敘述正確的是()

A.若4b,貝Ijf=8B.^alb，則，=2

C.1一M的最小值為5D.若向量a與向量〃的夾角為鈍角，則/<-2

【答案】AD

【分析】由向量平行和垂直的坐標表示可得AB正誤；利用向量模長運算可知『=（/-2『+9,

由二次函數性質可求得卜-”.=3,知C錯誤；利用向量夾角為鈍角，則數量積必定小于0,可判

IImin

斷D.

【詳解】對于A,若出/b，則lxf-2x4=0,解得：r=8,A正確：

對于B,若G_￡b，則4+2/=0,解得：/=-2,B錯誤；

對于C,因為方=（_3,2—f）,所以,_〃『=（_3）2+（2_，）2=（，_2）2+9,則當/=2時，,_可二二9,

???卜-4.=3,C錯誤；

i1mm

對于D,若向量”與向量力的夾角為鈍角，則〃/=4+2，<Q，解得，<-2,由上可知，此時兩向量

不共線，D正確.

故選：AD.

11.已知空間向量〃=（1,-1,2）,則下列說法正確的是（）

A.p|=>/6

B.向量o與向量》=（2,2,—4）共線

C.向量a關于x軸對稱的向量為（1,I,-2）

D.向量a關于yOz平面對稱的向量為（一1,1,-2）

【答案】AC

【分析】根據空間向量的模、共線、對稱等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.

【詳解】4=（1,-1,2）,忖="+（-1）2+22=6A選項正確.

/?=（2,2,-4）=所以：,力不共線，B選項錯誤.

向量“關于x軸對稱的向量，尤不變，丁和z變為相反數，

即向量a關于x軸對稱的向量為（LL-2）,C選項正確.

向量a關于）0z平面對稱的向量，丁和z不變，工變為相反數，

即向量〃關于yOz平面對稱的向量為（-D選項錯誤.

故選：AC

易錯點三：忽視數量積不滿足結合律（平面向量的數量積及其應用）

1.平面向量的數量積。

（1）平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量與量我們把數量個ISIcosO叫做?與b的數量積（或內積），

記作a.兒即ab=|a|IWcos。,規定:零向量與任一向量的數量積為0.

（2）平面向量數量積的幾何意義

①向量的投影：lalcos〃叫做向量，在》方向上的投影數量，當夕為銳角時，它是正數；當。為

鈍角時，它是負數