期中真題必刷壓軸60題（14個考點專練）

一.一元二次方程的解（共1小題）

I.（2022秋?吁胎縣期中）已知關于.1的一元二次方程（〃[-1）f+6x+〃P-|=。的一個根是0,

（1）求〃？的值.

（2）求方程的另一根.

【分析】（1）把x=0代入方程得到加2-1=0,m-1K0,求出m；

（2）把m的值代入方程求出方程的解即可.

【解答】解：（1）把x=0代入方程得：i=o,加?MO,

解得：機=-1,

（2）當m=-1時，原方程為：-2?+6.\=0

解得：x=0或x=3,

???方程的另一根為3.

【點評】本題主要考查對一元二次方程的解，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能求出機的值是

解此題的關鍵.

二.換元法解一元二次方程（共1小題）

2.（2022秋?泗洪縣期中）閱讀下面的材料，解決問題：

解方程/-5』+4=0,這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：

設f=y,那么x4=y2,于是原方程可變為y2-5y+4=0,解得_yi=1,y2=4.

當y=l時，,=1,Ax=±1；

當y=4時，7=4,.*.x=±2；

，原方程有四個根：xi=l,X2=-1,X3=2,X4=-2.

請參照例題，解方程（f+x）2-4（?+x）-12=0.

【分析】根據題目中的例子和換元法解方程的方法可以解答本題.

【解答】解：設/+%=?原方程可變為）,2?4廠12=0,

解得y1=6,），2=-2,

當y=6時，/+彳=6,得加=-3,X2=2,

當y=-2時，x2+x=-2,得方程/+x+2=0,

VA=lr-4ac=l24X2=7<0,此時方程無實根，

所以原方程有兩個根：X1=-3,A-2=2.

【點評】本題考查換元法解一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，會用換元法解方程.

三.根的判別式（共3小題）

3.（2022秋?惠山區校級期中）已知關于人的方程（-2）A+2Z=0.

（1）求證：氏取任何實數值，方程總有實數根；

（2）若等腰△ABC的一邊長為4,另兩邊長〃?，〃恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長.

【分析】（1）計算其判別式，得出判別式不為負數即可；

（2）當邊長為4的邊為腰時，則可知方程有一個根為4,代入可求得A的值，則可求得方程的另一根,

可求得周長：當邊長為4的邊為底時，可知方程有兩個相等的實數根，可求得人的值，再解方程即可.

【解答】（1）證明：???△=（A+2）2_8%=F+4女+4-8左="-2）2^0,

，無論k取何值，方程總有實數根；

（2）解：當邊長為4的邊為腰時，則可知方程有一個實數根為4,

/.16-4（k+2）+2左=0,解得4=4,

?\方程為7-6x+8=0,解得x=4或x=2,

.??/〃、〃的值分別為2、4,

???△A8C的周長為10：

當邊長為4的邊為底時，則機=〃，即方程有兩個相等的實數根，

???△=（）,即（k-2）2=0,解得2=2,

，方程為x2-4x+4=0,解得m=n=2,

此時2+2=4,不符合三角形的三邊關系，舍去；

綜上可知△A8C的周長為10.

【點評】本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵.

4.（2021秋?寶應縣期中）已知關于x的一元二次方程』-（2m+l）x+m（w+1）=0.

（1）求證：無論機取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若△/IBC的兩邊人8、人。的長是這個方程的兩個實數根，且8c=8,當△ABC為等腰三角形時，

求機的值.

【分析】（1）先根據題意求出△的值，再根據一元二次方程根的情況與根的判別式△的關系即可得出答

案；

（2）根據△ARC的兩邊4仄八C的長是這個方程的兩個實數根，設AB=xi=8,得出82-8（2加+1）+m

（tn+1）=0,求出/〃的值即可.

【解答】解：（1）-（2m+l）I2-4m（m+\）=l>0,

???不論加為何值，方程總有兩個不相等的實數根.

（2）由于無論加為何值，方程恒有兩個不等實根，故若要AABC為等腰三角形，那么必有一個解為8；

設A8=xi=8,則有：

82-8（2/M+I）+m（m+1）=0,即：m2-15/n+56=0,

解得：〃71=7,〃72=8.

經檢驗,n=l或8符合三角形的三邊關系，

則當ZXABC為等腰三角形時，的值為7或8.

【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與根的判別式△的關系：

（1）A>0o方程有兩個不相等的實數根；

（2）A=00方程有兩個相等的實數根；

（3）△<（）0方程沒有實數根.

5.（2020秋?梁溪區期中）已知關于x的方程/+⑥+12-〃=0有兩個不相等的實數根.

（1）求。的取值范圍；

（2）當。取滿足條件的最小整數時，求出方程的解.

【分析】（1）根據方程有兩個不相等的實數根根，則根的判別式A>0,建立關于“的不等式，求出。的

取值范圍：

（2）得到。的最小整數，利用因式分解法解一元二次方程即可.

【解答】解：（1）???一元二次方程/+8.r+12-〃=0有兩個不相等的實數根，

:.△=82-4（12-6?）=4〃+16>0,

：.a>-4；

（2）〃滿足條件的最小值為〃=-3,

此時方程為7+81+15=0,

解得xi=-3,X2=-5.

【點評】本題考查的是根的判別式，熱知一元二次方程q2+以+c=0（aWO）中，當△>（）時，方程有兩

個不相等的兩個實數根是解答此題的關鍵.

四.根與系數的關系（共3小題）

6.（2022秋?工業園區期中）已知關于x的方程『+履+4-2=0.

（1）求證：不論攵取何值，方程必有兩個不相等的實數根：

（2）若方程的一個根為x=-2,求女的值及方程另一個根.

【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出A=（4-2）2+4>0,由此可證出不論k取何

值，方程必有兩個不相等的實數根；

（2）將x=-2代入原方程可求出力值，再根據兩根之和等于?上可求出方程另一個根.

a

【解答】（1）證明：A=^-4（^-2）=9■依+8=（女?2：2+4.

???（A?2）220,

:.a-2）2+4>0,即A>0,

，不論“取何值，方程必有兩個不相等的實數根：

（2）將x=-2代入原方程得4-2介h2=0,

解得：k=2,

???方程的另一個根為-A-（-2）=-2-（-2）=0.

答：k的值為2,方程的另一個根為0.

【點評】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）牢記“當△>（）時，方程有兩

個不相等的實數根”；（2）牢記兩根之和等于■也.

a

7.（2022秋?沐陽縣期中）已知關于x的一元二次方程（2&-1）X+PHI-1=0有實數根.

（1）求A的取值范圍；

（2）若此方程的兩實數根不，X2滿足川2+42=11,求火的值.

【分析】（1）根據方程有實數根得出△=[-（2Z;-1）]2-4X|X{/c+k-I）=-弘+520,解之可得.

（2）利用根與系數的關系可用A表示出W+X2和川X2的值，根據條件可得到關于人的方程，可求得A的

值，注意利用根的判別式進行取舍.

【解答】解：（1）.??關于x的一元一次方程『-（2A-1）廬M-1=0有實數根，

???△20,即[?（2^-1）]2-4XlX（必+攵-1）=?8k+520,

解得^1.

8

(2)由根與系數的關系可得K+J2=2A-I,X\X2=/C+k-L

/.XI2+X22=(X1+X2)2-2A」X2=(2k-1)2-2(必+%-I)=2女2-6k+3,

VA|2+X22=11,

，2F-62+3=11,解得左=4,或左=-l,

8

，A=4（舍去），

：.k=-1.

【點評】此題主要考杳了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用

的解題方法.

8.（2021秋?工業園區校級期中）已知關于x的方程f?2（左-1）x+必=0有兩個實數根不、A2.

（1）求人的取值范圍.

（2）若X1A-2+X1+X2-1=0,求k的值.

【分析】（1）由方程有兩個實數根，根據判別式可得到關于上的不等式，可求得A的取值范圍；

（2）由根與系數的關系可用％表示出X1+X2和XU2的值，代入已知條件可得到關于火的方程，可求得女

的值.

【解答】解：

（1）???方程有兩個實數根，

???△20，即4a?1）2?4乒》0,

解得攵W2；

2

（2）???方程W-2a-1）X+戶=0兩個實數根為XI、XI,

'?x\+xi=2（k-I）,x\x2=/r,

VxiX2+Xl+X2-1=0,

???9+2&-1）-1=0,解得k=-3或4=1,

K」，

2

:.k=-3.

【點評】本題主要考查根的判別式及根與系數的關系，掌握方程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵.

五.一元二次方程的應用（共15小題）

9.（2022秋?濱湖區期中）某水果商場經銷一種高檔水果，原價每千克50元，連續兩次降價后每千克32元，

若每次下降的百分率相同

（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利1（）元，每天可售出50（）千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，商場決定

采取適當的漲價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現該商場要保證每天盈利6000元，

且要盡快減少庫存，那么每千克應漲價多少元？

【分析】（1）設每次降價的百分率為小（1-。）2為兩次降價的百分率，50降至32就是方程的平衡條

件，列出方程求解即可；

（2）根據題意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根據題意確定其值.

【解答】解：（I）設每次下降的百分率為小根據題意，得：

50（1-?）2=32,

解得：4=1.8（舍）或“=0.2,

答：每次下降的百分率為20%：

（2）設每千克應漲價“元，由題意，得

（10+x）（500-20%）=6000,

整理，得x2-15A+50=0,

解得：XI=5,X2=10,

因為要盡快減少庫存，所以x=5符合題意.

答：該商場要保證每天盈利6（X）（）元，那么每千克應漲價5元.

【點評】此題主要考查了一元二次方程應用，關鍵是根據題意找到蘊含的相等關系，列出方程，解答即

可.

10.（2022秋?東臺市期中）某商店經銷一批小商品，每件商品的成本為8元.據市場分析，銷售單價定為

1。元時，每天能售出200件；現采用提高商品售價，減少銷售量的辦法增加利潤，若銷售單價每漲1元，

每天的銷售量就減少20件.

設銷售單價定為x元.據此規律，請回答：

（1）商店日銷售量減少200-10）件,每件商品盈利（x-8）元（用含x的代數式表示）;

（2）針對這種小商品的銷售情況，該商店要保證每天盈利640元，同時又要使顧客得到實惠，那么銷售

單價應定為多少元？

【分析】（1）根據題目的條件：銷售單價每漲1元，每天的銷售量就減少20件，填空即可；因為每件商

品的成本為8元，所以每件商品盈利（x?8）元：

（2）由利潤=每件利潤X銷售數量建立方程求出其解即可.

【解答】解：

（1）???銷售單價每漲1元，每天的銷售量就減少20件，

，商店日銷售量減少20G-10）件，

???每件商品的成本為8元.

???每件商品盈利為（x-8）元，

故答案為:20（x-10）（x-8）；

（2）由題意可得：

（x-8）[200-20（x-10）]=640,

解得：xi=12X2=16（舍）.

答：該商店要保證每天盈利640元，同時又要使顧客得到實惠，銷售單價應定為12元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是設售價，分別表示每件利潤和銷售量，根據求

利潤的公式列出方程.

11.（2022秋?錫山區期中）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、

增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價

每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為26件:

（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為120（）元？

【分析】（1）根據銷售單價每降低I元，平均每天可多售出2件，可得若降價3元，則平均每天可多售

出2X3=6件，即平均每天銷售數量為20+6=26件；

（2）利用商品平均每天售出的件數X每件盈利=每天銷售這種商品利潤列出方程解答即可.

【解答】解：（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為20+2X3=26件.

故答案為：26；

（2）設每件商品應降價1元時，該商店每天銷售利潤為1200元.

根據題意，得（40-x）（20+2x）=1200,

整理，得/-30x+200=0,

解得：xi=10,X2=20.

???要求每件盈利不少于25元，

=20應舍去,

.*.x=10.

答：每件商品應降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，利用基本數量關系：平均每天售出的件數X每件盈利=

每天俏售的利潤是解題關鍵.

12.(2022秋?海陵區校級期中)某香蕉經營戶以4元1kg的價格購進一批香蕉，以6元/依的價格出售，每

天可售出200版.為了盡快售罄，該經營戶決定降價促銷，經調查發現，這種香蕉每降價0.1元/依，每天

可多售出50口.另外，經營期間每天還需支出固定成本50元.該經營戶要想每天盈利650元，應將每千

克香蕉的售價降低多少元？

【分析】設應將每千克香蕉的售價降低x元.那么每千克的利潤為：(6-4-x),由于這種香蕉每降價0.1

元1kg,每天可多售出50口，所以降價x元，則每天售出數量為：200+500X千克.本題的等量關系為：每

千克的利潤X每天售出數量-固定成本=650元，依此列出方程求解即可.

【解答】解：設應將每千克香蕉的售價降低八?元，依題意有

(6-4-x)(200+500.1)-50=650,

解得x=l,X2=-^-

5

因為要盡快售罄，

所以x=l.

答：應將每千克香蕉的售價降低1元.

【點評】考杳了一元二次方程的應用，重點考查學生分析、解決實際問題能力，又能較好地考杳學生“用

數學”的意識.

13.(2022秋?東臺市期中)如圖所示，在△ABC中，ZB=90°,AB=6cm,8c=12。小點P從點A開始

沿AB邊向點B以IcMs的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cMs的速度移動，如果點P、

2分別從A、B同時出發.

(1)幾秒鐘后，△P3。的面積等于8“/?

(2)/kPSQ的面積可能等于10。/嗎？為什么？

【分析】（1）根據直角二角形的面積公式和路程=速度X時間進行求解即可.

（2）根據（1）中的解題思路列出方程，結合根的判別式進行解答.

【解答】解：（1）設x秒鐘后，△PBQ的面枳等于80戶，由題意可得:

2x（6-x）+2=8,

解得川=2,X2=4.

答：2或4秒鐘后，△PBQ的面積等于8C〃?2.

（2）設x秒鐘后，△P6Q的面積等于10。/,由題意可得：

匕（6-x）4-2=10,

整理，得

?-6x+10=0,

因為△=36-40=-4<0,

所以該方程無解，

答：△PBQ的面積不可能等于lOc/n2.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，抓住關鍵描述語“△P8Q的面積等于85?2”，找到等量關系

是解決問題的關鍵.

14.（2021秋?寶應縣期中）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售，

增加盈利，商場采取了降價措施.假設在一定范圍內，襯衫的單價每降I元，商場平均每天可多售出2

件.如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價降了多少元？

【分析】設襯衫的單價降了x元.根據題意等量關系：降價后的銷量X每件的利潤=1250,根據等量關

系列出方程即可二

【解答】解：設襯衫的單價降了x元.根據題意，得

（20+20（40-x）=1250,

解得；xi=4=15,

答:襯衫的單價降了15元.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方

程.

15.（2020秋?無錫期中）如圖，A4BC中，ZC=90°,AC=8c，〃，BC=4cm,一動點尸從點C出發沿著

CB方向以Icm/s的速度運動，另一動點Q從A出發沿著AC邊以2c〃?/s的速度運動，P,。兩點同時出

發，運動時間為/（s）.

（1）若△PCQ的面積是△A3C面積的』，求t的值？

4

（2）△PCQ的面積能否為△/歷C面積的一半？若能，求出/的值；若不能，說明理由.

A

CPB

【分析】（1）根據三角形的面積公式可以得出△然0面積為1x4X8=16,△PC。的面積為L（8-2/）,

22

由題意列出方程解答即可；

（2）由等量關系S"CQ=^SA48c列方程求出，的值，但方程無解.

【解答】解：（1）???S/\FCQ=L（82r）,SA/?BC=—X4X8=16,

22

???L（8-2f）=16XA,

24

整理得r-4什4=0,

解得f=2.

答：當t=2s時△PCQ的面積為△ABC面積的

(2)當S?CQ=時，

乙

L(8-2t)=16XA,

22

整理得尸-4什8=0,

A=(-4)2-4XlX8=-16<0,

???此方程沒有實數根,

.??△PCQ的面積不可能是5c面積的一半.

【點評】本題考杳一元二次方程的應用，三角形的面積，解題關鍵是要讀懂題目的意思、，杈據題目給出

的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.

16.(2020秋?揚州期中)已知：如圖所示，在△A8C中，NB=90°,AB=5cm,BC=7a〃.點尸從點A開

始沿AB邊向點B以IcmJs的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點、C以2cm/s的速度移動，當其中

一點達到終點后，另外一點也隨之停止運動.

(1)如果P,。分別從A,3同時出發，那么幾秒后，△P40的面積等于

(2)如果P,Q分別從A,8同時出發，那么幾秒后，。。的長度等于5c〃?？

(3)在(1)中，△尸Q8的面積能否等于7a〃2?說明理由.

【分析】(1)設P、Q分別從人、B兩點出發，/秒后，AQ=icm,BP=(5-t)cm,BQ=25?則△2時

的面積等于2X2/(5?f),令該式等于4,列出方程求出符合題意的解.；

2

(2)利用勾股定理列出方程求解即可；

(3)看△尸BQ的面積能否等于只需令』X2M5-/)=7,化簡該方程后，判斷該方程的A與0的

2

關系，大于或等于。則可以，否則不可以.

【解答】解：設/秒后，貝ij：AP=tcm,BP=(5-/)amBQ=2tcm.

(1)S?BQ=BPX典,即4=(5-/)—,

22

解得：1=1或4.(f=4秒不合題意，舍去)

故：1秒后，△P6Q的面積等于4c〃/.

(2)PQ=5,則PQ2=25=B產+8。2,即25=(5?f)2+(2r)2,r=0(舍)或2.

故2秒后，PQ的長度為5。兒

(生

(3)令Sa08=7,即：BPXBQ=7,5-/)X=7,

22

整理得：』-5什7=0.

由于g-4ac=25-28=-3<0,則方程沒有實數根.

所以，在（I）中，△尸QB的面積不等于7C〃?2.

【點評】本題主要考查一元二次方程的應用，關鍵在于理解清楚題意，找出等量關系列出方程求解，判

斷某個三角形的面積是否等于一個值，只需根據題意列出方程，判斷該方程是否有解，若有解則存在，

否則不存在.

17.（2021秋?灌云縣期中）某商店經銷的某種商品，每件成本為40元.經市場調研，售價為50元時，可

銷出200件；售價每增加1元，銷出量將減少10件.如果這種商品全部銷售完，那么該商店可盈利2000

元.問：該商店銷售了這種商品多少件？每件售價多少元？

【分析】等量關系為：（售價■成本）X（原來的銷售量-10X提高的價格）=2000,把相關數值代入計

算即可.

【解答】解：設每件商品售價為x元，則銷售量為［200-10%-50）］件，

由題意得:（x-40）［200-10（x-50）1=2000,

整理得:x2-110x4-3000=0,

解得巾=60,X2=50.

當％=60時,銷售量為:200-10（x-50）=200-10（60-50）=100（件）;

當工=5（）時，銷售量為：200ft.

答：該商店銷售了這種商品100或200件，每件售價為60或5（）元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用；根據利潤得到相應的等量關系是解決本題的關鍵；得到銷售

量是解決本題的難點.

18.（2020秋?徐州期中）如圖，小李從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊

長為1米的正方形后，剩卜的部分剛好能圍成一個容積為35）的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底

面長比寬多2〃?，現已知購買這種鐵皮每平方米需30元錢，問小李購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？

1米

【分析】本題可設無蓋長方體箱子寬為x米，則長為（x+2）米，根據剛好能圍成一個容積為35//的無

蓋長方體箱子，結合圖形可列出方程，求出答案.

【解答】解：設長方體箱子寬為x米，則長為G+2）米.

依題意，有x（x+2）X1=35.

整理，得7+2x-35=0,

解得xi=-7（舍去），X2=5,

，這種運動箱底部長為7米，寬為5米.

由長方體展開圖可知，所購買矩形鐵皮面積為

（7+2）X（5+2）=63,

，做一個這樣的運動箱要花63X30=1890（元）.

答：小李購回這張矩形鐵皮共花了1890元.

【點評】本題主要考杳一元二次方程的應用，解答時由長方體的體積公式建立方程求解是關鍵.

19.（2020秋?常州期中）一家水果店以每斤2元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，

每天可售出100斤，通過調查發現，這種水果每斤的售價每降低01元，每天可多售出20斤.

（1）若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是多少斤（用含x的代數式表示”

（2）銷售這種水果要想每天盈利300元，且保證每天至少售出260斤，那么水果店需將每斤的售價降低

多少元？

【分析】（I）銷售量=原來銷售量+下降銷售量，據此列式即可；

（2）根據銷售量X每斤利潤=總利潤列出方程求解即可.

【解答】解：（1）將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是100+上乂20=100-20（1]（斤）；

0.1

（2）根據題意得：（4?2-x）（100+200X）=300,

解得：Xl=l,X2=1，

2

當大=工時，銷售量是|（M）+200XA=200<260；

22

當x=l時，銷售量是100+200=300（斤）.

???每天至少售出260斤，

.*.x=1.

答：水果店需將每斤的售價降低1元.

【點評】本題考查理解題意的能力，第一問關鍵求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而利潤.第二問，

根據售價和銷售量的關系，以利潤作為等量關系列方程求解?.

20.（2020秋?惠山區期中）某工廠設計了一款工藝品，每件成本40元，為了合理定價，現投放市場進行試

銷.據市場調查，銷售單價是80元時，每天的銷售量是50件，若銷售單價每降低I元，每天就可多售

出5件，但要求銷售單價不得低于65元.如果降價后銷售這款工藝品每天能盈利3000元，那么此時銷

售單價為多少元？

【分析】設此時銷售單價為（80-A）元/件，則每天的銷售量為（50+5x）件，根據單件利澗X銷售量=

每天利潤，即可得出關于X的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根據80?x265即可確定x的值，

此題得解.

【解答】解：設此時銷售單價為（80-x）元/件，則每天的銷售量為（50+5x）件，

根據題意得：（807-40）（50+5x）=3000,

整理得：x2-3Ox+2OO=O,

解得：xi=10,X2=20,

???80-x265,

?'xW15,

:?x=10,

，807=80-10=70.

答：此時銷售單價為70元/件.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，根據單件利潤X銷售量=每天利潤，列出關于』的一元二次

方程是解題的關鍵.

21.（2021秋?鹽都區期中）閱讀材料：各類方程的解法

求解■元?次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為工=。的形式.求解二元一次方程組，把它轉化

為一元一次方程來解：類似的，求解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組.求解一元二次方

程，把它轉化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可

能產生增根，所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思

想--轉化，把未知轉化為已知.

用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程,d+f?2x=0,可以通過因式

分解把它轉化為x（r+廠2）=0,解方程x=0和/+工?2=0,可得方程4+f-2x=0的解.

（1）問題：方程-2x=0的解是xi=0,X2=-2,X3=1;

（2）拓展：用“轉化”思想求方程展2x+3=x的解;

（3）應用：如圖，已知矩形草坪A8CZ）的長AO=8加，寬AB=3〃?，小華把一根長為10”?的繩子的一端

固定在點從沿草坪邊沿84,AO走到點尸處，把長繩PB段拉直并固定在點尸，然后沿草坪邊沿PQ、

DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C求人戶的長.

AP?

M1I*11Y1，1

,,

【分析】(1)因式分解多項式，然后得結論；

(2)兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解，注意驗根；

(3)設AP的長為.加，根據勾股定理和BP+CP=10,可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把

無理方程轉化為整式方程，求解，

【解答】解：⑴/+--2x=0,

x(7+x-2)=0,

x(%+2)(x-1)=0

所以x=0或x+2=0或x-1=0

/.XI=0,X2=-2>X3=1：

故答案為：-2,I；

(2)〃2x+3=x，

方程的兩邊平方，得2計3=/

即x2-2.3=0

(x-3)(x+1)=0

?二文?3=0或x+l=0

/.XI=3,X2=-1,

當x=-1時，V2x+3=V1=1W-1，

所以-I不是原方程的解.

所以方程-2x+3=x的解是x=3；

(3)因為四邊形48CD是矩形,

所以NA=NO=90",AB=CD=3m

設40=入7小則0。=(8-x)m

為為3P+CP=10,

5P=VAP2+AB2*CP=VCD2+PD2

?*-79+X2+7（8-X）2+9=I°

（8-X）2+9=10-79+X2

222

兩邊平方，得（8-x）+9=IGO-2O^9+X+9+X

整理，得5，瓦芯=4戶9

兩邊平方并整埋，得K-8X+16=（）

即（X-4）2=0

所以工=4.

經檢驗，x=4是方程的解.

答：AP的長為4m.

【點評】本題考查了轉化的思想方法，一元二次方程的解法.解無理方程是注意到驗根.解決（3）時,

根據勾股定理和繩長，列出方程是關鍵.

22.（2021秋?梁溪區校級期中）如圖，某市近郊有一塊長為60米，寬為5。米的矩形荒地，地方政府準備

在此建一個綜合性休閑廣場，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的三個矩形（其中三個矩

形的一邊長均為”米）區域將鋪設塑膠地面作為運動場地.

（1）設通道的寬度為4米，貝！〃=_處紅—（用含x的代數式表示）；

（2）若塑膠運動場地總占地面積為2430平方米.請問通道的寬度為多少米？

【分析】（1）根據通道寬度為工米，表示出。即可；

（2）根據矩形面積減去通道面積為塑膠運動場地面積，列出關于x的方程，求出方程的解即可得到結果.

【解答】解：（1）設通道的寬度為x米，則。=處紅；

2

故答案為：嗎注

2

（2）根據題意得，（50?2%）（60-3x）?x?比紅=2430,

2

解得xi=2,X2=38（不合題意，舍去）.

答：中間通道的寬度為2米.

【點評】此題考查了一元二次方程的應用，弄清題意是解本題的關鍵.

23.（2020秋?錫山區期中）小明鍛煉健身，從4地勻速步行到B地用時25分鐘.若返回時,發現走一小路

可使A、8兩地間路程縮短2W米，便抄小路以原速返回I,結果比去時少用2.5分鐘.

（1）求返回時A、8兩地間的路程；

（2）若小明從A地步行到8地后，以跑步形式繼續前進到C地（整個鍛煉過程不休息）.據測試，在他

整個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱

量10卡路里；鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內平均每分鐘消耗的熱量就增加1

卡路里.測試結果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路旦熱量.問：小明從A地到C地共鍛煉多少

分鐘？

【分析】（1）可設48兩地之間的距離為x米，根據兩種步行方案的速度相等，列出方程即可求解；

（2）可設小明從A地到C地共鍛煉），分鐘，根據在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量，列出

方程即可求解.

【解答】解：（1）設返回時48兩地間的路程為x米，由題意得：

x+200_x

~~25--25-2.5’

解得x=1800.

答：A、8兩地間的路程為180D米：

（2）設小明從A地到C地共鍛煉），分鐘，由題意得：

25X6+5X10+（10+（y-30）XI]（y-30）=904,

整理得/—Oy-104=0,

解得>1=52,3,2=-2（舍去）.

答：小明從A地到C地共鍛煉52分鐘.

【點評】考查了一元一次方程的應用，一元二次方程的應用.解題關健是要讀懂題目的意思，根據題目

給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解.

六.圓周角定理（共6小題）

24.（2022秋?東臺市期中）如圖，點A、B、C在。0上，用無刻度的直尺畫圖.

（I）在圖①中，畫一個與N8互補的圓周角;

（2）在圖②中，畫一個與N5互余的圓周角.

國①國②

【分析】（1）根據四點共圓進行畫圖即可；

（2）根據90°的圓周角所對的弦是直徑進行畫圖即可.

（2）如圖2,NCBQ即為所求.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾

何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本

性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.熟練掌握圓周角定理是解決此題的關鍵.

25.（2022秋?東臺市期中）如圖，8C是的直徑，A是。0二一點，AD1BC,垂足為Q,標=標，BE

交于點立

（1）NAC8與N8A。相等嗎？為什么？

（2）判斷△物8的形狀，并說明理由.

【分析】（1）根據圓周角定理求出NBAC=90°,根據三角形內角和定理和垂直求出NAC8+/A8C=90°,

Z5ADiZABC=90°,即可得出答案;

（2）根據圓周角定理求出NAC8=N4BE,推出NB4/）=N4B￡根據等腰三角形的判定得出即可.

【解答】解：（1）N4CB與NBAQ相等，

理由是：:8C是。0的直徑，

/.ZBAC=90a,

AZACB+ZABC=90°,

ADIBC,

???NB4O+N4BC=90°,

???ZACB=ZBAD；

（2）△於3是等腰三角形，

理由是：???踴=靛，

，/ACB=NABE,

???ZACB=ZBAD,

：.ZBAD=ZABE,

；?AF=BF,

???△胡8是等腰三角形.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系

等知識點的應用，能求出/AC8=NA1。是解此題的關鍵，題目比較典型，綜合性比較強.

26.（2020秋?常州期中）如圖，在△A4C中，AB=ACf以A8為直徑的O。交BC于點O.

（1）判斷。。與AC的位置關系，并說明理由；

（2）。是8c的中點嗎？為什么？

【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到???N8=NC,/B=NODB,得到NOQ3=NC,根據平行線的

判定定理證明；

（2）根據三角形中位線定理證明.

【解答】解；（1）OD//AC,

理由如下：???/W=AC,

:,4B=/C,

?：OB=OD,

：,ZB=ZODB,

：./ODB=/C,

???OD//AC；

（2）。是BC的中點，

VOD//AC,OA=OB,

:.BD=DC,即。是8C的中點.

【點評】本題考查的是圓周角定理、平行線的判定和性質，掌握等腰三角形的性質、平行線的判定定理

是解題的關鍵.

27.（2021秋?新吳區期中）如圖，A3是OO的直徑，弦于點K,且。。=24,點M在。。上，MD

經過圓心O,連接MB.

（1）若B￡=8,求。。的半徑；

（2）若N￡>M8=N。，求線段OE的長.

【分析】（1）根據題意和圖形，利用勾股定理、垂徑定理可以解答本題;

（2）根據三角形全等、勾股定理可以求得線段OE的長.

【解答】解：（I）設。。的半徑長為「，

則（7E=r-8,

???AB是OO的直徑，弦CDLAB于點E,且CQ=24,

：.DE=\2,

???0。2=。爐+。爐，

即r=（r-8）2+122,

解得，r=13,

即O。的半徑是13；

(2)連接4C,

?：/DMB=ND,/DMB=/DCB,

：./D=/DCB,

〈AB是O。的直徑，弦CO_LA8于點E,且CO=24,

：,CE=DE=\2,ZCEB=ZDEO,

:ACEB式ADEO(ASA),

???OE=BE=65OB,

設00的半徑長為r,

則r=122+(0.5r)2,

解得，r=8點或r=-8^3(舍去)，

???OE=4M.

【點評】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件，利用數形結合的思想解答.

28.（2021秋?江陰市期中）如圖，在△A8C中，AB=AC,以若C為直徑的。。交48于點。，交BC于點

E.

(1)求證：BE=CE；

(2)若BO=2,BE=3,求AC的長.

【分析】（1）根據等腰三角形的三線合一即可解決問題;

（2）只要證明△BEQS^BAC,可得思=理，由此即可解決問題;

BABC

【解答】（1）證明：連接AE,如圖,

聯/Z、%?a：\\，//

B~~E—C

〈AC為。。的直徑，

AZ4EC=90°，

：.AELBC,

而AB=AC,

:.BE=CE；

（2）連接2￡如圖，

,:BE=CE=3,

:?BC=6,

?：NBED=NBAC,

而NDBE=NCBA,

:.ABEDsABAC,

?BE_BDgn3_2

??氤一而''前一E'

???BA=9,

,\AC=BA=9.

【點評】本題考查圓周角定理.、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學

會填空常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

29.（2020秋?宿城區校級期中）已知：如圖I,在OO中，直徑A5=4,CD=2,直線AO,5C"相交于點E.

（1）NE的度數為60°；

（2）如圖2,AZT與CO交于點人請補全圖形并求/￡的度數;

（3）如圖3,弦A8與弦。。不相交，求N4EC的度數.

E

DD

C

"9"爭金

⑴(2)(3)

【分析】(1)連接。。，OC,BD,根據已知得到4。。。為等邊三角形,根據直徑所對的圓周角是直角,

求出/E的度數；

(2)同理解答(2)(3).

【解答】解：(1)如圖1,連接。Q,OC,/3Q,

二

(1)

'：OD=OC=CD=2

???△QOC為等邊三角形,

：,ZDOC=60°

：,ZDBC=30°

/.Z￡BD=30°

二?AB為直徑,

???ZADB=90°

AZE=90°-30°=60°,

/上的度數為60°；

(2)①如圖2,直線A。，CB交于點E,連接OQ,OC,AC.

DE

⑵

,：OD=OC=CD=2,

???△OOC為等邊三角形，

AZDOC=60°,

AZDAC=30°,

/.ZEBD=30°,

???AS為直徑，

???NACB=90°,

???/E=90°-30°=60°,

(3)如圖3,連接OD,OC>

???△OOC為等邊三角形，

???NOOC=60°,

AZCBD=30°,

???NAD8=90°,

.??/BEO=60°,

/.ZAEC=600.

【點評】本題考查的是圓周角定理及其推論、等邊三角形的性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造

直角三角形，利用直徑所對的圓周角是直角進行解答.

七.圓內接四邊形的性質（共3小題）

3（）.（2022秋?祁江區期中）如圖，已知四邊形人8co內接于圓。，ZA=I05°,BD=CD.

（1）求NO3c的度數；

（2）若OO的半徑為3,求標的長.

【分析】（1）根據圓內接四邊形的性質可得NC的度數，然后根據等邊對等角可得答案；

（2）首先計算出N8OC的度數，再根據圓周角定理可得N80C的度數，進而可得標的長.

【解答】解：（1）???四邊形ABCO內接于圓。，

：.ZDCB+ZBAD=\SO°，

VZA=105°,

/.ZC=180°-105°=75°,

BD=CD,

:,NDBC=NC=75°；

(2)連接40、CO,

VZC=ZDBC=75°,

：.ZBDC=30°,

???NBOC=60°,

故標的長/=6QKX3

180

【點:評】此題主要考查了圓周角定理，以及圓內接四邊形的性質，關鍵是掌握圓內接四邊形對角互補.

31.（2020秋?吳江區期中）如圖，在。。的內接四邊形A8CO中，AB=AD,ZC=120°,點石在右上.

（1）求NAEO的度數;

（2）連接O。、OE,當NQOE=90。時，AE恰好為的內接正"邊形的一邊，求〃的值.

【分析】（1）首先連接8D,由在。。的內接四邊形A8C。中，NC=120°,根據圓的內接四邊形的性

質，N8AQ的度數，又由AB=A。，可證得△A3。是等邊三角形，則可求得乙48。=60°,再利用圓的

內接四邊形的性質，即可求得/AEO的度數；

（2）首先連接。4,由/相。=60°,利用圓周角定理，即可求得NAOO的度數，繼而求得NAO