第五章金融工程定價原理《金融工程》主要內容第一節金融產品定價原則第二節

利息的度量第三節

金融工程的定價原理第四節

定價的目的和用途學習要求了解衍生金融產品定價的基本假設、目的與用途；理解連續復利的概念，掌握利率的等價換算；理解金融工程的無套利定價原理和風險中心定價原理的核心思想和應用技巧。5第一節金融產品定價原則一、絕對定價法與相對定價法絕對定價法就是根據金融工具未來現金流的特征，運用恰當的貼現率將這些現金流貼現成現值，該現值就是絕對定價法要求的價格。相對定價法則利用基礎產品價格與衍生產品價格之間的內在關系，直接根據基礎產品價格求出衍生產品價格。資產的當前價值等于其未來現金流貼現值之和。假設是面值為100元的債券在第k年獲得的利息，則n年期的面值為100元的債券的價格為一、絕對定價法與相對定價法二、衍生金融產品定價的基本假設市場不存在摩擦，即沒有交易成本、沒有保證金、沒有賣空限制市場參與者不承擔對手風險。即合同沒有違約問題市場是完全競爭的市場參與者厭惡風險，且希望財富越多越好市場不存在套利機會。無套利假設是金融衍生工具定價理論生存和發展的最重要的假設所有市場參與者能夠以無風險利率進行借貸9第二節利息的度量一、利息的度量利息：利息是指在一個借貸關系中，由借款人為了取得一定數量的資金在一定期限內的使用權，而支付給貸款人的報酬。其實質是一定期限內資金延遲使用的成本。現值：指未來某個時刻的資金折算到當前時刻的價值。終值：指當前時刻的資金在未來某個時刻的價值。一、利息的度量單利(SimpleInterest)：僅以本金計息的方式，利息為本金、利率與時間的乘積。復利(CompoundInterest)：在每期滿時，將應得利息加入本金再計息的方式，由計息周期不同而產生差異，如年復利、半年復利、季度復利。貼現因子(DiscountFactor，DF)：指未來某個時刻的資金在當前時刻的價值折算系數累計因子(AccumulationFactor，AF)：指當前時刻的資金在未來某個時刻的價值增長系數假設在銀行存入$1,年利率為R，投資n年。如果利息按每一年計一次復利，則上述投資的終值為：如果每年計m次復利，則一年后賬戶金額為：現年支付頻率逐步增加，當m趨于無窮大時，1年后賬戶余額為：這就是當利率為連續復利（Continuouscompounding）時，一年后能從銀行獲得的金額。那t年后呢？二、連續復利例5.1：單利、復利、連續復利差距有多大唐朝的一元歷經1300年,按年利率5％計算，至今的本息和：單利、復利、連續復利這表明要獲得長期穩定收益很困難例5.1：單利、復利、連續復利差距有多大（一）連續復利的本質通過微分的方法來得出復利公式。如果在t時刻查詢一下賬戶，過會，即t+dt時刻再查詢一次，會發現金額增加了:…等式的右邊就是泰勒級數展開。但是所增加的利息也是與所擁有金額M、利率r、時間段dt成比例的因此：故：在上述求解過程中，若每個時刻的利率都不同，記為r(t)，我們就有：（一）連續復利的本質（二）連續復利的優點通常認為連續復利率與每天計復利等價，連續復合利率的優點：連續復合利率反映了利率的本質特征在衍生工具定價中，采用連續復合利率可以簡化表達

三、利率的等價換算例：假設即期利率為8%，連續復利，一個1000面值的債券以面值發行，利息每季度支付一次，試計算1000元面值的債券每次支付的利息。三、利率的等價換算20第三節金融工程的定價原理一、無套利定價原理套利：在某項資產的交易過程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下，獲得無風險利潤。如果市場是有效的話，市場價格必然由于套利行為作出相應的調整，重新回到均衡的狀態。這就是無套利的定價原則。根據這個原則，在有效的金融市場上，任何一項金融資產的定價，應當使得利用該項金融資產進行套利的機會不復存在。

（二）無套利定價方法的主要特征

無套利定價原則首先要求套利活動在無風險的狀態下進行。無套利定價的關鍵技術是所謂“復制”技術，即用一組證券來復制另外一組證券。要點是使復制組合的現金流特征與被復制組合的現金流特征完全一致，復制組合的多頭（空頭）與被復制組合的空頭（多頭）互相之間應該完全實現頭寸對沖。

無風險的套利活動從即時現金流看是零投資組合賣空，是套利組合的一個重要特征（三）無套利定價的實施過程（四）無套利定價應用1——遠期利率計算

即期利率（spotrate）：指在當前時刻計算的期限為T的利率水平，我們通常所說的零息債券的到期收益率就是即期利率的例子，記為r(t,T)

遠期利率（forwardrate）：指在當前時刻確定的，未來某時刻T開始的，距T期限為T’-T的利率水平。一般用F(t，T，T’)表示，t代表當前時刻；利率期限結構：指在其他條件相同的情況下，利率與到期期限之間的關系。利率曲線：利率期限結構的圖形表達常見類型：到期收益率曲線，即期利率曲線，遠期利率曲線，貼現因子曲線實踐應用：中國債券信息網https:///cbweb-mn/yield_main?locale=zh_CN（四）無套利定價應用1——遠期利率計算到期收益率曲線：債券價格計算散點圖，平滑函數擬合曲線即期利率曲線遠期利率曲線債券數據，bootstrap方法+曲線擬合利率建模，用市場數據校正參數：債券數據，利率互換數據等；（四）無套利定價應用1——遠期利率計算27（四）無套利定價應用1——遠期利率計算衍生品定價的折現因子：折現未來的現金流到未來的時點確定遠期利率協議（FRA）的協議利率歐洲美元期貨的理論報價利率互換的協議利率確定（四）無套利定價應用1——遠期利率計算應用：FRA協議利率的確定--單利計算方式下is,DsiF，DFiL,DL例5.4FRA交易商報價利率確定

遠期利率協議的協議利率計算

6.遠期利率協議的合約價值計算

解析：

解析（續）：T：遠期合約到期時間St：標的資產在t時刻的價格K:遠期合約中的交割價格ft：t時刻遠期合約的價值F(t,T):資產在t時刻確定的，到期日為T的遠期價格r：連續復利下的無風險利率。符號定義：（四）無套利定價應用2——遠期價格計算例5.6：考慮一個基于不支付紅利的股票的遠期合約多頭，三個月后到期，設當前股價為$40，三個月期即期無風險利率為5%（連續復利），試求使得該遠期合約價值為0的協議價格？（四）無套利定價應用2——遠期價格計算例題解析：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數額為Ke-rT的現金；組合B：一單位標的資產。期末價值：A：-K+K+ST=STB：ST資產的遠期價格（ForwardPrice）：指當前確定的使得相應到期時間的遠期合約價值為零的協議價格。遠期價格作用：1）遠期合約理論上的協議價格2）任何時刻期貨的理論報價3）遠期合約價值的計算依據（四）無套利定價應用2——遠期價格計算套利策略的設計如何構造套利策略？第一種情況：K=43，協議價格被高估第二種情況：K=39，協議價格被低估K=43，買現賣期——持有成本策略具體套利策略(1單位標的資產為例，期末獲益)：初始時刻（0）到期日（T）策略實施凈現金流具體套利策略(1單位標的資產為例,期初獲益)：K=39，賣現買期——反向持有成本策略初始時刻（0）到期日（T）策略實施1.取出無風險資產投資獲益K2.執行遠期合約買入資產，支付K3.平倉資產空頭凈現金流遠期價格的作用遠期價格，一方面是遠期合約理論上的協議價格，一方面也是期貨的理論報價遠期價格也是遠期合約價值的計算依據二、風險中性定價原理在對衍生證券定價時，我們可以假定所有投資者都是風險中性的，此時所有證券的預期收益率都可以等于無風險利率r，所有現金流量都可以通過無風險利率進行貼現求得現值。這就是風險中性定價原理。

風險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。

（一）風險中性定價原理使用風險中性方法為遠期和期貨定價是非常容易的，根據風險中性定價法則：任何產品的未來收益預期都是無風險收益，因此當前價值應該等于未來現金流期望的無風險折現。遠期合約到期的價值為：故當前遠期合約的價值為：（二）風險中性定價原理的應用若標的資產在有效期內沒有產生現金流，則：由于遠期合約初始時刻沒有價值，即V0=0，故：（二）風險中性定價原理的應用三、無套利定價與風險中性定價的關系風險中性定價原理是在市場無套利下，利用數學理論獲得的一種簡便的定價技巧，風險中性定價法的基本前提也是市場不存在套利機會和資產可復制，因此風險中性定價和無套利定價是內在一致的。風險中性定價作為一種定價的便捷方法，其在定價方面可以化繁為簡，大大簡化過程，相對無套利定價具有明顯的優勢。風險中性定價無法給出價格不合理時如何設計套利策略三、無套利定價與風險中性定價的關系風險中性定價作為一種數學技巧，是嚴格依賴市場假設的。一旦加入市場摩擦如借貸利率的差異，交