函數概念與基本初等函數第二章第3講函數的奇偶性與周期性【考綱導學】1．結合具體函數，了解函數奇偶性的含義．2．會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性．3．了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有___________，那么函數f(x)就叫做偶函數關于______對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有_____________，那么函數f(x)就叫做奇函數關于______對稱f(－x)＝f(x)

y軸f(－x)＝－f(x)

原點2．函數的周期性(1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有_____________，那么就稱函數f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個_____________，那么這個__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)

最小的正數最小正數5．(教材習題改編)已知函數f(x)是定義在R內的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x<0時，f(x)＝________.【答案】x(1－x)【解析】當x<0時，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)．∴當x＜0時，f(x)＝x(1－x)．1．判斷函數的奇偶性，易忽視判斷函數定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．2．判斷函數f(x)的奇偶性時，必須對定義域內的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函數奇偶性判定時，誤用函數在定義域某一區間上不是奇偶函數去否定函數在整個定義域上的奇偶性．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)函數y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數．(

)(2)偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(

)(3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱．(

)(4)如果函數f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數，則F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函數．(

)(5)若T為函數f(x)的一個周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函數f(x)的周期．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√課堂考點突破2函數奇偶性的判斷【規律方法】判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數)是否成立．【跟蹤訓練】1.設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(

)A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數【答案】C【解析】依題意得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函數，A錯；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數，B錯；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函數，C正確；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數，D錯．函數的周期性函數性質的綜合應用【考向分析】函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數相結合，并以結合奇偶性求函數值為主．多以選擇題、填空題形式出現．常見的考向有：(1)奇偶性的應用；(2)單調性與奇偶性結合；(3)周期性與奇偶性結合；(4)單調性、奇偶性與周期性結合．【答案】(1)C

(2)B【解析】因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R內的奇函數，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區間[0,2]上是增函數，f(x)在R內是奇函數，所以f(x)在區間[－2,2]上是增函數．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故選D．【規律方法】函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略：(1)單調性與奇偶性結合．注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性結合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．(3)周期性、奇偶性與單調性結合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解．課后感悟提升31條規律——奇、偶函數定義域的特點奇、偶函數的定義域關于原點對稱．函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件.2個性質——奇、偶函數的兩個性質(1)若奇函數f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.(2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3條結論——與周期性和對稱性有關的三條結論(1)若對于R內的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(2)若對于R內的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(