函數概念與基本初等函數第二章第9講函數模型及其應用【考綱導學】1．了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義．2．了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．幾類函數模型及其增長差異(1)幾類函數模型：(2)三種函數模型的性質：遞增遞增y軸x軸2．解函數應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)解模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．以上過程用框圖表示如下：【答案】D【解析】根據x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數據代入函數y＝log2x，可知滿足題意．故選D．2．如圖是張大爺晨練時所走的離家距離(y)與行走時間(x)之間函數關系的圖象，若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是(

)【答案】D【解析】由圖可知，張大爺開始勻速離家直線行走，中間一段離家距離不變，說明在以家為圓心的圓周上運動，最后勻速回家．故選D．3．用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為(

)A．3 B．4 C．6 D．12【答案】A【解析】設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元，日均銷售量為480－40(x－1)＝520－40x(桶)，則y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.當x＝6.5時，y有最大值，所以只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤．1．函數模型應用不當，是常見的解題錯誤．所以要正確理解題意，選擇適當的函數模型．2．要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域．3．注意問題反饋．在解決函數模型后，必須驗證這個數學結果對實際問題的合理性．(5)“指數爆炸”是指數型函數y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻．(

)(6)指數函數模型，一般用于解決變化較快、短時間內變化量較大的實際問題．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√課堂考點突破2一次函數、二次函數模型

提高市內跨江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：km/h)是車流密度x(單位：輛/km)的函數．橋上的車流密度達到200輛/km時，造成堵塞，此時車流速度為0；車流密度不超過20輛/km時，車流速度為60km/h.研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/h)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/h)．【規律方法】一次函數、二次函數模型問題的常見類型及解題策略：(1)直接考查一次函數、二次函數模型．解決此類問題應注意三點：①二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯；②確定一次函數模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數法；③解決函數應用問題時，最后要還原到實際問題．(2)以分段函數的形式考查．解決此類問題應關注以下三點：①實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解；②構造分段函數時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏；③分段函數的最值是各段的最大(最小)值的最大者(最小者)．【跟蹤訓練】2．某村計劃建造一個室內面積為800m2的矩形蔬菜溫室．在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1m寬的通道，沿前側內墻保留3m寬的空地．當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？構建指數函數、對數函數模型

(1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數據lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)(

)A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%(2)某位股民購進某只股票，在接下來的交易時間內，他的這只股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為(

)A．略有盈利 B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況【答案】(1)C

(2)B【規律方法】(1)指數函數模型常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數函數模型來表示．(2)應用指數函數模型時，關鍵是對模型的判斷，先設定模型并將有關已知數據代入驗證，確定參數，從而確定函數模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數運算與對數函數的性質求解．【跟蹤訓練】3．一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL；在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少．為了保障交通安全，某地根據《道路交通安全法》規定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL.那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經過______小時才能開車．(精確到1小時，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)【答案】5課后感悟提升31個防范——實際問題的定義域要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域.4個步驟——解決實際應用問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)求模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．以上過程用框圖表示如下：1．(2015年四川)某食品的保鮮時間y(單位：h)與儲存溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e為自然對數的底數，k，b為常數)．若該食品在0℃的保鮮時間是192h，在22℃的保鮮時間是48h，則該食品在33℃的保鮮時間是_______h.【答案】24【答案】B3．(2014年北京)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：min)