不等式、推理與證明第七章第4講合情推理與演繹推理【考綱導學】1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用．2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．合情推理類型定義特點歸納推理根據一類事物的______對象具有某種性質，推出這類事物的______對象都具有這種性質的推理由______到______、由______到______類比推理根據兩類事物之間具有某些類似(一致)性，推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質的推理由______到______部分全部部分整體個別一般特殊特殊2．演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到______的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結論——根據一般原理，對特殊情況作出的判斷．特殊

1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(

)A．28

B．76

C．123

D．199【答案】C【解析】由給出的式子特點觀察可推知，從第三個式子開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，依據此規律，后續各式的右端值依次為18,29,47,76,123，…，故a10＋b10＝123.故選C．2．命題“有些有理數是無限循環小數，整數是有理數，所以整數是無限循環小數”是假命題，推理錯誤的原因是(

)A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但推理形式錯誤D．使用了“三段論”，但小前提錯誤【答案】C【解析】由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤．故選C．3．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個關系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c＝_______.【答案】2014．類比平面內“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質，可得出空間內的下列結論：①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行．則正確的結論是(

)A．①② B．②③C．③④ D．①④【答案】D【解析】顯然①④正確；對于②，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，也可以異面或相交；對于③，在空間中垂直于同一個平面的兩個平面可以平行，也可以相交．故選D．5．(教材習題改編)在等差數列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質，在等比數列{bn}中，若b9＝1，則b1b2b3b4…bn＝________________.【答案】b1b2b3b4…b17－n(n<17，n∈N*)1．合情推理是從已知的結論推測未知的結論，發現與猜想的結論都要經過進一步嚴格證明．2．演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數學問題．注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規范性．3．合情推理中運用猜想不能憑空想象，要有猜想或拓展依據．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)歸納推理得到的結論不一定正確，類比推理得到的結論一定正確．(

)(2)由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理．(

)(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(

)(4)“所有3的倍數都是9的倍數，某數m是3的倍數，則m一定是9的倍數”，這個三段論推理的錯誤原因是大前提錯誤．(

)(5)一個數列的前三項是1,2,3，那么這個數列的通項公式是an＝n(n∈N*)．(

)(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結論就一定正確．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)×

(6)×課堂考點突破2類比推理(2)在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為______．【答案】(1)D

(2)1∶8【規律方法】在進行類比推理時，要注意以下兩點：(1)找兩類對象的對應元素，如三角形對應三棱錐，圓對應球，面積對應體積等等；(2)找對應元素的對應關系，如兩條邊(直線)垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等．

歸納推理【考向分析】歸納推理是每年高考的常考內容，題型多為選擇題和填空題，難度稍大，屬中、高檔題．常見的考向有：(1)與數字有關的推理；(2)與式子有關的推理；(3)與數列有關的推理；(4)與圖形有關的推理．

(2017年陜西模擬)觀察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上式子的結果可推測出一個一般性結論：對于n∈N*，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.【答案】n2【解析】∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴歸納可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.與數字有關的推理與式子有關的推理與數列有關的推理六邊形數N(n,6)＝2n2－n，…，可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝_______.【答案】1000與圖形有關的推理

下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規律，并依此規律，寫出第n個圖形中小正方形的個數是________．【規律方法】歸納推理問題的常見類型及解題策略：常見類型解題策略與數字有關的等式的推理觀察數字特點，找出等式左右兩側的規律及符號可解與式子有關的推理觀察每個式子的特點，找到規律后可解與圖形變化有關的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，并用賦值檢驗法驗證其真偽性演繹推理【規律方法】演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結論之間有著某種蘊含關系，解題時要找準正確的大前提．一般地，若大前提不明確時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提．【跟蹤訓練】2．某國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝．”結論顯然是錯誤的，是因為(

)A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤【答案】C【解析】因為大前提“鵝吃白菜”本身正確，小前提“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，所以不符合三段論推理形式，所以推理形式錯誤．課后感悟提升31個區別——合情推理與演繹推理的區別(1)歸納推理是由特殊到一般的推理．(2)類比推理是由特殊到特殊的推理．(3)演繹推理是由一般到特殊的推理．(4)從推理的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待證明；若大前提、小前提和推理形式都正確，則演繹推理得到的結論一定正確．3個注意點——應用合情推理與演繹推理應注意的問題(1)在進行類比推理時要盡量從本質上去類比，不要被表面現象迷惑，如果只抓住一點表面現象的相似甚至假象就去類比，那么就會犯機械類比的錯誤．(2)合情推理是從已知的結論推測未知的結論，發現與猜想的結論都要經過進一步嚴格證明．(3)演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來證明和推理數學的問題，注意推理過程的嚴密性，書寫格式的規范性．1．(2015年廣東)若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數n的取值(

)A．大于5

B．等于5C．至多等于4

D．至多等于3【答案】C【解析】顯然正三角形和正四面體的頂點是兩兩距離相等的，即n＝3或n＝4時命題成立．故選