導數及其應用第三章第2講導數在研究函數中的應用【考綱導學】1．了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次)．2．了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次)；會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次)．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．函數的單調性在(a，b)內可導函數f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區間內都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)內為________．f′(x)≤0?f(x)在(a，b)內為_________．增函數減函數2．函數的極值(1)函數的極小值：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側________，右側________，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．(2)函數的極大值：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側________，右側________，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點和極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．f′(x)<0

f′(x)>0

f′(x)>0

f′(x)<03．函數的最值(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則______為函數的最小值，______為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則______為函數的最大值，______為函數的最小值．f(a)

f(b)

f(a)

f(b)1．(教材習題改編)如圖所示是f(x)的導函數f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數為(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】A【解析】由題意知在x＝－1處f′(－1)＝0，且其左右兩側導數符號為左負右正．故選A．2．若函數f(x)＝kx－lnx在區間(1，＋∞)內單調遞增，則k的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)【答案】D3．函數y＝2x3－2x2在區間[－1,2]內的最大值是______．【答案】81．求函數單調區間與函數極值時沒有列表的習慣，會造成問題不能直觀且有條理地解決．2．求函數最值時，易誤認為極值點就是最值點，不通過比較就下結論．3．解題時要注意區分求單調性和已知單調性的問題，處理好f′(x)＝0時的情況；區分極值點和導數為0的點．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)f′(x)>0是f(x)為增函數的充要條件．(

)(2)函數在其定義域內離散的點處導數等于0不影響函數的單調性．(

)(3)函數的極大值不一定比極小值大．(

)(4)對可導函數f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點的充要條件．(

)(5)函數在開區間一定不存在最大值和最小值．(

)(6)函數的最大值不一定是極大值，函數的最小值也不一定是極小值．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√課堂考點突破2利用導數研究函數的單調性【規律方法】(1)利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，當f(x)含參數時，需依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論．(2)若可導函數f(x)在指定的區間D上單調遞增(減)，求參數的范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．利用導數研究函數的極值【考向分析】函數的極值是每年高考的必考內容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，為中、高檔題．常見的考向有：(1)由圖判斷函數極值；(2)已知函數求極值；(3)已知極值求參數．【答案】D【解析】由圖可知，當x＜－2時，f′(x)＞0；當－2＜x＜1時，f′(x)＜0；當1＜x＜2時，f′(x)＜0；當x＞2時，f′(x)＞0.由此可以得到函數f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值．故選D．【解析】(1)x＝2是函數f(x)＝x3－3ax＋2的極小值點，即x＝2是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，將x＝2代入得a＝4，所以函數解析式為f(x)＝x3－12x＋2，則由3x2－12＝0，得x＝±2，故函數在(－2,2)內是減函數，在(－∞，－2)，(2，＋∞)內是增函數，由此可知當x＝－2時函數f(x)取得極大值f(－2)＝18.故選D．【規律方法】(1)求函數f(x)極值的步驟：①確定函數的定義域；②求導數f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數定義域內的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值．(2)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．應注意，導數為零的點不一定是極值點．對含參數的求極值問題，應注意分類討論．利用導數求函數的最值

已知函數f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上單調遞減且滿足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范圍；(2)設g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．【解析】(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，則f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依題意對于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0.當a＞0時，因為二次函數y＝ax2＋(a－1)x－a的圖象開口向上，而f′(0)＝－a＜0，所以需f′(1)＝(a－1)e＜0，即0＜a＜1；當a＝1時，對于任意x∈[0,1]，有f′(x)＝(x2－1)ex≤0，且只在x＝1時f′(x)＝0，f(x)符合條件；當a＝0時，對于任意x∈[0,1]，f′(x)＝－xex≤0，且只在x＝0時，f′(x)＝0，f(x)符合條件；當a＜0時，因為f′(0)＝－a＞0，f(x)不符合條件．故a的取值范圍為[0,1]．(2)因為g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex，(ⅰ)當a＝0時，g′(x)＝ex＞0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e.(ⅱ)當a＝1時，對于任意x∈[0,1]有g′(x)＝－2x·ex≤0，g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝2，在x＝1處取得最小值g(1)＝0.【規律方法】求函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：(1)求函數在(a，b)內的極值；(2)求函數在區間端點的函數值f(a)，f(b)；(3)將函數f(x)的各極值與

f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．【跟蹤訓練】

2．已知函數f(x)＝xlnx.(1)求函數f(x)的極值點；(2)設函數g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數g(x)在區間[1，e]上的最小值(其中e為自然對數的底數)．(2)g(x)＝xlnx－a(x－1)，則g′(x)＝lnx＋1－a，x＞0，由g′(x)＝0，得x＝ea－1，所以在區間(0，ea－1)內，g(x)為減函數，在區間(ea－1，＋∞)內，g(x)為增函數．所以x＝ea－1是極小值點．以下對極小值點是否在[1，e]上作分類討論．當ea－1≤1，即a≤1時，在區間[1，e]上，g(x)為增函數，所以g(x)的最小值為g(1)＝0.當1＜ea－1＜e，即1＜a＜2時，g(x)的最小值為g(ea－1)＝a－ea－1.當ea－1≥e，即a≥2時，在區間[1，e]上，g(x)為減函數，所以g(x)的最小值為g(e)＝a＋e－ae.綜上，當a≤1時，g(x)的最小值為0；當1＜a＜2時，g(x)的最小值為a－ea－1；當a≥2時，g(x)的最小值為a＋e－ae.課后感悟提升31個提醒——函數的定義域求函數的單調區間應遵循定義域優先的原則．2個條件——函數在區間(a，b)內單調的條件(1)在某區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．(2)可導函數f(x)在(a，b)內是增(減)函數的充要條件是：對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區間內都不恒為零．4個步驟——求函數單調區間的步驟第一步：求函數f(x)的定義域；第二步：求導數f′(x)；