2025屆廣西柳州市高三第二學期期末數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是A． B． C． D．2．已知函數，若，，,則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．3．復數(i為虛數單位)的共軛復數是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i4．復數為純虛數，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i5．在復平面內，復數（為虛數單位）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知集合，，，則()A． B． C． D．7．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線8．若變量，滿足，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．109．集合中含有的元素個數為（）A．4 B．6 C．8 D．1210．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．211．已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．12．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，分別為內角，，的對邊，，，，則的面積為__________.14．已知實數，滿足，則目標函數的最小值為__________．15．設為銳角，若，則的值為____________．16．已知一個圓錐的底面積和側面積分別為和，則該圓錐的體積為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定點，，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，是否存在定點，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標；若不存在，請說明理由。18．（12分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若關于的不等式的解集包含，求實數的取值范圍.19．（12分）已知是公比為的無窮等比數列，其前項和為，滿足，________．是否存在正整數，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．20．（12分）如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.21．（12分）在直角坐標系中，已知直線的直角坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數），以直角坐標系原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線和直線的極坐標方程；（2）已知直線與曲線、相交于異于極點的點，若的極徑分別為，求的值.22．（10分）在四棱椎中，四邊形為菱形，，，，，，分別為，中點..（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2，底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4，底面半徑為2，則其體積為，.故選B點睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據三視圖進行調整.2、D【解析】

根據題意，求出函數的導數，由函數的導數與函數單調性的關系分析可得在上為增函數，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據題意，函數，其導數函數，則有在上恒成立，則在上為增函數；又由，則；故選：．【點睛】本題考查函數的導數與函數單調性的關系，涉及函數單調性的性質，屬于基礎題．3、B【解析】分析：化簡已知復數z，由共軛復數的定義可得．詳解：化簡可得z=∴z的共軛復數為1﹣i.故選B．點睛：本題考查復數的代數形式的運算，涉及共軛復數，屬基礎題．4、B【解析】

復數為純虛數，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題.5、C【解析】

化簡復數為、的形式，可以確定對應的點位于的象限．【詳解】解：復數故復數對應的坐標為位于第三象限故選：．【點睛】本題考查復數代數形式的運算，復數和復平面內點的對應關系，屬于基礎題．6、A【解析】

求得集合中函數的值域，由此求得，進而求得.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查函數值域的求法，考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎題.7、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據判斷A的正誤.根據，判斷B的正誤.根據與相交，判斷C的正誤.根據，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因為，所以平面，故A正確.因為，所以，所以平面故B正確.因為，所以平面，故D正確.因為與相交，所以與平面相交，故C錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.8、D【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義求解最大值即可．【詳解】解：畫出滿足條件的平面區域，如圖示：如圖點坐標分別為，目標函數的幾何意義為，可行域內點與坐標原點的距離的平方，由圖可知到原點的距離最大，故.故選：D【點睛】本題考查了簡單的線性規劃問題，考查數形結合思想，屬于中檔題．9、B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B10、D【解析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.11、A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A，再根據求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的據圖求式問題以及三角函數的公式變換.據圖求式問題要注意結合五點法作圖求解.屬于中檔題.12、B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據題意，利用余弦定理求得，再運用三角形的面積公式即可求得結果.【詳解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面積.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式，考查計算能力.14、-1【解析】

作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出實數x，y滿足對應的平面區域如圖陰影所示；由z＝x+2y﹣1，得yx，平移直線yx，由圖象可知當直線yx經過點A時，直線yx的縱截距最小，此時z最小．由，得A（﹣1，﹣1），此時z的最小值為z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1，故答案為﹣1．【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法，是基礎題15、【解析】

∵為銳角，，∴，∴，，故.16、【解析】

依據圓錐的底面積和側面積公式，求出底面半徑和母線長，再根據勾股定理求出圓錐的高，最后利用圓錐的體積公式求出體積。【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，所以有解得，故該圓錐的體積為。【點睛】本題主要考查圓錐的底面積、側面積和體積公式的應用。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)存在定點，見解析【解析】

（1）設動點，則，利用，求出曲線的方程．（2）由已知直線過點，設的方程為，則聯立方程組，消去得，設，，，利用韋達定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程，推出結果．【詳解】解：（1）設動點，則，，，即，化簡得：。由已知，故曲線的方程為。（2）由已知直線過點，設的方程為，則聯立方程組，消去得，設，，則又直線與斜率分別為，，則。當時，，；當時，，。所以存在定點，使得直線與斜率之積為定值。【點睛】本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．18、（1）（2）【解析】

（1）按進行分類，得到等價不等式組，分別解出解集，再取并集，得到答案；（2）將問題轉化為在時恒成立，按和分類討論，分別得到不等式恒成立時對應的的范圍，再取交集，得到答案.【詳解】解：（1）當時，等價于或或，解得或或，所以不等式的解集為：.（2）依題意即在時恒成立，當時，，即，所以對恒成立∴，得；當時，，即，所以對任意恒成立，∴，得∴，綜上，.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，分類討論研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.19、見解析【解析】

選擇①或②或③，求出的值，然后利用等比數列的求和公式可得出關于的不等式，判斷不等式是否存在符合條件的正整數解，在有解的情況下，解出不等式，進而可得出結論.【詳解】選擇①：因為，所以，所以．令，即，，所以使得的正整數的最小值為；選擇②：因為，所以，．因為，所以不存在滿足條件的正整數；選擇③：因為，所以，所以．令，即，整理得．當為偶數時，原不等式無解；當為奇數時，原不等式等價于，所以使得的正整數的最小值為．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20、（1）（2）不存在；詳見解析【解析】

（1）設，，，通過，即為的中點，轉化求解，點的軌跡的方程．（2）設直線的方程為，先根據，可得，①，再根據韋達定理，點在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決【詳解】（1）設，，則，，由題意知，所以為中點，由中點坐標公式得，即，又點在圓：上，故滿足，得.曲線的方程.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，因為，故，即①，聯立，消去得：，設，，，，，因為四邊形為平行四邊形，故，點在橢圓上，故，整理得②，將①代入②，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數學轉化思想方法，是中檔題．21、（1），.（2）【解析】

（1）先將曲線的參數方程化為直角坐標方程，即可代入公式化為極坐標；根據直線的直角坐標方程，求得傾斜角，即可得極坐標方程.（2）將直線的極坐標方程代入曲線、可得，進而代入可得的值.【詳解】（1）曲線的參數方程為（為參數），消去得，把，代入得，從而得的極坐標方程為，∵直線的直角坐標方程為，其傾斜角為，∴直線的極坐標方程為.（2）將代入曲線的極坐標方程分別得到，則.【點睛】本題考查了參數方程化為普通方程的方法，直角坐標方程化為極坐標方程的方法，極坐標的幾何意義，屬于中檔題.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）證明，得到平面，得到證明.（2）以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，平面的一個法向量為，平面的