2024-2025學年遼寧省朝陽市建平縣高二下學期第一次月考數學檢測試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：人教B版必修第一冊，必修第二冊，必修第三冊，必修第四冊，選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊3.1.1.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據并集和補集的定義求解即可.【詳解】由已知，或，所以.故選：C．2.某學校食堂有5種大葷菜式，8種半葷半素菜式，5種全素菜式，現任意打一種菜，則可以打到的菜式品種有（）A.200種 B.33種 C.45種 D.18種【正確答案】D【分析】根據分類加法計數原理求解即可.【詳解】任意打一種菜，由分類計數原理可知，有種．故選：D.3.已知向量，，且，則實數（）A.1或4 B.1或C.或1 D.或1【正確答案】B【分析】列出關于實數的方程，即可求得實數的值【詳解】由，，，有，解得．故選：B4.如圖，在正三棱錐中，點為的重心，點是線段上的一點，且，記，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據重心的性質可得，利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為為的重心，所以，又點是線段上的一點，且，所以．故選：A．5.某地氣象局把當地某月(共30天)每一天的最低氣溫作了統計，并繪制了如下圖所示的統計圖.記這組數據的眾數為M，中位數為N，平均數為P，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由統計圖分別求出該月溫度的中位數，眾數，平均數，由此能求出結果．【詳解】解：由統計圖得：該月溫度的中位數為，眾數為，平均數為．．故選：A．6.早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】令，，結合基本不等式可得，化簡可得，轉化為求關于的二次函數在區間上的最小值即可.【詳解】不妨設，，則，，所以，當且僅當時取等號，即，當且僅當時取等號，所以，（）所以當時，取得最小值，故選：D．7.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先根據兩角和的正切公式得到，再根據二倍角公式以及同角三角函數之間的關系求得結果.【詳解】因為，解得，所以，故選：B.8.已知為拋物線的焦點，點，，在拋物線上，為的重心，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據重心坐標公式，焦半徑公式求解．【詳解】由題意，，設，，，是的重心，則，，故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知焦點在軸上的橢圓的焦距大于6，則的值可以為（）A6 B.7 C. D.9【正確答案】AC【分析】根據橢圓中焦距的定義即可求解.【詳解】因為橢圓焦點在軸上，所以焦距為，所以，解得.故選：AC.10.已知直線，直線，若，則實數a可能的取值為（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】BC【分析】由，可得，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，解得或1．故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點是底面內的一點（包括邊界），且，則下列說法正確的是（）A.點的軌跡長度為B.點到平面的距離是定值C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.的最小值為【正確答案】BCD【分析】選項A：利用空間中到定點的距離為定長的點的集合為一個球，在正方體表面上的交線為圓求得的軌跡長度；選項B：可以證得平面，結合平面，所以點到平面的距離是定值；選項C：要求直線與平面所成角的正切值的最大值，則求得在平面的投影為，當取得最小值時，直線與平面所成角的正切值最大；選項D：要求的最小值，則利用到直線的距離為，當點落在上時，求得的最小值.【詳解】對于A，因為，即，所以，即點在底面內是以為圓心?半徑為1的圓上，所以點的軌跡長度為，故A錯誤；對于B，在正方體中，，又平面，所以平面，所以點的軌跡為線段，又平面，所以點到平面距離是定值，故B正確；對于C，因為平面，所以為直線與平面所成角，因為點到的距離為定值2，記點在平面的投影為，所以當取得最小值時，直線與平面所成角的正切值最大，又，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故C正確；對于D，到直線的距離為，當點落在上時，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從甲地去乙地有4班火車，從乙地去丙地有3班輪船，若從甲地去丙地必須經過乙地中轉，則從甲地去丙地可選擇的出行方式有______________種．【正確答案】12【分析】由分步乘法計數原理可得答案.【詳解】由分步乘法計數原理知從甲地去丙地可選擇的出行方式有（種）．故12.13.已知圓點P是直線上的一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則當取得最小值時，直線的方程為______.【正確答案】【分析】由題意可得最小時，直線，求得直線的方程，聯立方程組求得，進而求得以為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減可求得直線的方程.【詳解】取最小值四邊形而積最小直線，此時直線方程為，與直線聯立求出點，以為直徑的圓的方程為，又圓，兩圓方程左右兩邊相減可得直線的方程為.故答案為.14.如圖，已知，是雙曲線的右支上的兩點（點在第一象限），點關于坐標原點對稱的點為，且，若直線的斜率為，則該雙曲線的離心率為__________．【正確答案】【分析】作圖，取的中點并連接，得到，，從而求出直線的斜率，設，，利用點差法得到的值，再根據離心率的公式計算即可得結果.【詳解】如圖，設直線與軸交于點，取的中點，連接，由雙曲線的對稱性可知為線段的中點，則，所以．由直線的斜率，得，則直線的斜率．設，，則兩式相減，得，化簡得，即，所以該雙曲線的離心率．故方法點睛：本題主要用到了點差法，即利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。求出兩交點的中點坐標和直線斜率的關系，然后再結合題中的相應條件建立等式便可解決問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.如圖，的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．過點作交線段于點，且．（1）求；（2）求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，由此求得.（2）利用余弦定理求得，進而求得三角形的面積.【小問1詳解】依題意，，由正弦定理得，整理得，所以為鈍角，且.【小問2詳解】由于，，，所以，則，所以，由余弦定理得，即，所以.16.已知圓過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓C標準方程；（2）若過圓心的直線在軸，軸上的截距相等，求直線的方程.【正確答案】（1）；（2）或.【分析】（1）求出線段的中垂線方程，與已知直線方程聯立求出圓心坐標及半徑即可.（2）按截距為0和不為0分類，并借助直線的截距式方程求解.【小問1詳解】由點，得線段的中點，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，即圓心，半徑，所以圓C的標準方程為.【小問2詳解】由（1）知，點，當直線過原點時，直線在軸，軸上的截距相等，此時直線的方程為，當直線不過原點時，設直線的方程為，則，解得，方程為，所以直線的方程為或.17.如圖，在四棱柱中，，點分別為.與AB的中點.（1）證明：平面；（2）當底面且三棱錐的體積為時，求平面.與平面的夾角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，則可得點是的中點，再結合是的中點，，再由線面平行的判定定理可證得結論；（2）由已知的體積可求得，然后以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：連接，因為點是的中點，為平行四邊形，則，三點共線，則點是的中點，且是的中點，所以，因為平面平面，所以平面；【小問2詳解】當底面時，所以，因為底面，底面，所以，，因為在四棱柱中，，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以設平而的法向量，，取，則，則平面的法向量，平面的一個法向量為設平面與平面夾角為，為銳角，則，所以.故平而與平面的夾角的正弦值為.18.已知雙曲線與橢圓的焦點相同，且過點（1）求C的標準方程；（2）若點是軸上關于原點對稱的兩點，直線與交于另外一點，直線與交于另外一點，試判斷直線是否過定點？若是，則求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.【正確答案】（1）（2）直線恒過定點，坐標為【分析】（1）根據的關系以及雙曲線過的頂點列方程組，求出的值即可；（2）由題意設設直線的方程為，聯立雙曲線方程，由韋達定理得，用含的式子表示點的坐標，同理用含的式子表示點的坐標，結合以及韋達定理可得出的關系，由此即可得解.【小問1詳解】由題意知，解得，所以的標準方程為；【小問2詳解】由題意知，直線的斜率存在，設直線的方程為，由，得，則，且，所以直線的方程為，令，可得，即，同理，因為原點為的中點，所以，即，所以.所以，所以或，若，則直線方程為，即，此時直線過點，不合題意；若時，則直線方程為，恒過定點.19.已知橢圓：的左右頂點分別為，，上下頂點分別為，，且四邊形的周長為，過點且斜率為的直線交于兩點，當直線過的左焦點時，．（1）求的標準方程；（2）若為坐標原點，的面積為，求直線的方程；（3）記直線與直線的交點為，求的最小值．【正確答案】（1）（2）或或或（3）【分析】（1）根據題中條件得到關于的等量關系，再結合的關系進行求解即可；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系將的面積表示出來，結合的面積為，求出直線的斜率，即可得到直線的方程；（3）設直線的方程為，與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，利用，，在同一條直線上得到，利用，，在同一條直線上，所以，結合根與系數的關系得到，即，所以點在直線上，即可求出的最小值．【小問1詳解】由題意知，解得，，，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由題意知直線的方程為，設，，由，得，所以，解得，所以，，所以，又點到直線距離，所以的面積，解得或，所以或或或，所