2024-2025學年四川省成都市高二下學期3月月考數學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知數列滿足：，，則等于（）A．4 B．5 C．6 D．72．下列求導運算正確的是（）A． B．C． D．3．在正方體中，若為的中點，則等于（）A． B． C． D．4．若等比數列滿足，，則等于（）A． B． C． D．5．已知曲線，直線與曲線交于兩點，且點是線段的中點，則直線的斜率為（）A． B． C． D．6．下列結論正確的是（）A．若數列的前項和，則數列為等差數列B．若數列為等比數列，且前項和，則 C．若數列為單調遞增的等比數列，則公比 D．若是不全相等的非零實數，且成等差數列，則能構成等差數列7．已知數列的通項公式為，若是單調遞增數列，則實數t的取值范圍是（）A．B．C．D．8．已知數列的前項和為則使得的最小整數的值為（）A．851 B．852 C．853 D．854二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知點，，點在圓：上運動，則（）A．直線與圓相離 B．的面積的最小值為C．圓上存在點使得 D．當最小時，10．如圖，正方體中，分別是上的中點，是上的動點.下列結論正確的是（）A．平面截正方體所得截面為等腰梯形B．平面平面C．當點為中點時，平面D．存在點，使得11．若數列滿足對任意的正整數，都有，則稱為“凸數列”．下列結論正確的是（）A．若，則數列為“凸數列”B．若，則數列為“凸數列”C．若單調遞減數列的前項和為，則數列為“凸數列”D．若數列的前項和為，且數列為“凸數列”，則為單調遞減數列三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡上.12．已知函數，曲線在點處的切線方程為．13．已知等比數列的前項和為，若，則．

14．已知數列的通項公式為，若，…，，…是從中抽取的部分項按原來的順序排列組成的一個等比數列，，令，則數列的前項和為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（本題共13分）如圖，在三棱柱中，，，點分別在棱和棱上，且，為棱的中點．（=1\*ROMANI）求證：平面；(=2\*ROMANII)若，平面，求與平面的所成角的正弦值.16．（本題共15分）已知等比數列的前項和為，且．（=1\*ROMANI）求的通項公式；(=2\*ROMANII)若，令，求數列的前項和．17．（本題共15分）已知為等差數列，前項和為，是首項為2且公比大于0的等比數列，，，．（=1\*ROMANI）求和的通項公式；(=2\*ROMANII)若數列滿足：，且數列的前項和為，求證：．18．（本題共17分）設拋物線：的準線被圓：所截得的弦長為．（=1\*ROMANI）求拋物線的方程；（=2\*ROMANII）設為坐標原點，點是拋物線的焦點，過的直線交于兩點，若的面積為，求直線的方程；（=3\*ROMANIII）在(=2\*ROMANII)的條件下，若直線分別與拋物線的準線交于兩點，求線段的長度. 19．（本題共17分）如圖是一個小球壘成的正三角形垛示意圖，每一層的小球都排成一個正三角形，從下往上第二層起，每一層小球數比下一層小球數少的數量構成等差數列，底層每條邊均為個小球.從下往上，設第層的小球個數為，前層的小球總數為.（=1\*ROMANI）當時，求；(=2\*ROMANII)求關于和的表達式；（=3\*ROMANIII）對于給定的，若能分解為兩個連續正整數的乘積，求滿足條件的的值.參考公式.答案一．單項選擇題：題號12345678答案DDCABBDC二．多項選擇題：題號91011答案ACDABCBC三．填空題：12.13.14.四．解答題：15.解：（1）取的中點為，連接，如圖所示：M為棱的中點，的中點為，可得且；又易知，且，所以，；又，所以；由三棱柱性質可得，因此，所以，可知四邊形為平行四邊形；……4分可得，又平面，平面；所以平面……6分（2）①由已知平面，可得；又，可知兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：易知，可知,設平面的一個法向量為，所以，令，可得，因此，……10分設與平面所成角為，則與平面所成角的正弦為……13分16.（1）由，得兩式相減，得：……3分即，……6分（2）……7分①……9分②……11分①②，得：……13分……15分17.（1）設的公差為，的公比為，解得或（舍）故數列的通項公式為·········3分即，得故數列的通項公式為·········7分（2）由題得：·········9分········11分在上單調遞增，當時，·········13分，即·········15分18.（1）解：圓，圓心，半徑為設準線與圓的交點為，則，2分，又準線方程，4分拋物線的方程為.5分（2）由（1），為，易知直線的斜率存在，設，聯立，消去，得，6分設，則，7分，9分即，解得或，10分為或11分（3）設，由得，，將帶入得，同理，14分.17分19．解：（1）由題知，，，，………………2分故………………4分(2)不妨設從上往下每一層的小球個數為，由題知故，從而因為從下往上第二層起，每一層小球數比下一層小球數少的數量構成等差數列所以，也是等差數列，且公差為1，首項為2………………6分所以，所以，滿足上式故………………8分所以，……………10分（3）因為表示整個三角垛中小球的個數，所以不妨按照第(=2\*ROMANII)題從上往下的方式計算每